1.2集合间的基本关系课后提升训练（含解析）人教A版2019必修第一册2025-2026学年高一上册数学

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1.2集合间的基本关系课后提升训练
人教A版2019必修第一册2025-2026学年高一上册数学
（一）、知识梳理
（1）子集、真子集、集合相等
名称 记号 意义 性质 示意图
子集 （或 A中的任一元素都属于B (1)AA (2) (3)若且，则 (4)若且，则 或
真子集 AB （或BA） ，且B中至少有一元素不属于A （1）（A为非空子集） (2)若且，则
集合 相等 A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A (1)AB (2)BA
（2）已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集.
（二）课后提升训练
一、单项选择题
1．设集合，则的真子集的个数是（ ）
A．8 B．7 C．4 D．3
2．已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知实数集合，，若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
4．已知集合，非空集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知集合，则满足 的集合C的个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
6．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知集合，则集合的子集个数为（ ）
A．16 B．15 C．4 D．8
8．规定集合为集合的第个子集，其中，若，则的值是（ ）
A．20 B．21 C．22 D．23
二、多项选择题
9．已知集合，，且，则可以取（ ）
A． B．0 C． D．1
10．已知集合，且 ，则的值可以是（ ）
A．4 B．3 C． D．0
11．若S是含有n个元素的数集，则称S为n数集S.n数集S中含有m（）个元素的子集，称为S的m子集.若在n数集S的任何一个t（）子集中，存在4个不同的数a，b，c，d，使得，则称该S的t子集为S的等和子集.下列结论正确的是（ ）
A．3数集A有6个非空真子集
B．4数集B有6个2子集
C．若集合，则C的等和子集有2个
D．若集合，则D的等和子集有24个
三、填空题
12．设集合满足 ，则满足条件的有 个．
13．已知，若，则的取值范围为 .
14．已知，，若集合，则的值为 ．
四、解答题
15．（1）已知或.若或， ，求的取值范围.
（2）若， ，求的取值范围.
16．已知集合，．
(1)若，存在集合使得 ，求这样的集合；
(2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围．
17．已知.
(1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合；
(2)若，求实数a的取值范围.
18．已知集合.
(1)若，求实数的取值集合.
(2)若的子集有两个，求实数的取值集合.
(3)若且，求实数的取值集合.
19．对于含有有限个元素的非空数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减，加后继的数，例如的“交替和”是的“交替和”是5.
(1)求集合的所有非空子集的交替和的总和；
(2)已知集合，求集合所有非空子集的元素和的总和；
(3)已知集合，其中求集合所有非空子集的交替和的总和.
（三）、参考答案
一、选择题
1．D
【分析】写出集合，计算真子集个数.
【详解】，因为集合中有个元素，所以真子集个数为.
故选：D.
2．C
【分析】分集合是否是空集进行讨论即可求解.
【详解】当时，满足为的真子集，此时，解得.
当时，则或解得.
综上，，即m的取值范围是.

故选：C.
3．A
【分析】根据得到，或，，然后解方程，再根据集合中元素的互异性得到，，最后计算即可．
【详解】当，时，，或任意，（不符集合元素的互异性，舍）；
当，时，，，不符集合元素的互异性，
所以，，．
故选：A．
4．C
【分析】利用集合关系列出不等式组求解即可.
【详解】因为集合，非空集合，且，
所以，解得：．
故选：C．
5．C
【分析】求出集合、，再根据 写出所有的满足条件的集合C，进而可得正确答案.
【详解】因为，，
且 ，
故集合可以为，，共6个．
故选：C.
6．A
【分析】根据集合A，B中元素的特征可判断各选项.
【详解】由题意知，集合，
因为，所以C、D不正确；
“”用于表示元素与集合之间的关系，故B不正确
所以．
故选：A.
7．A
【分析】根据题意先求集合，进而得集合元素个数，利用子集个数公式即可求解.
【详解】因为，，
所以或或或，
故，
即集合中含有4个元素，所以集合的子集个数为．
故选：A.
8．D
【分析】根据二进制写出即可求出.
【详解】因，
则．
故选：D．
二、多项选择题
9．BD
【分析】分别讨论情况下的集合的元素，然后结合子集的定义求出的可能取值.
【详解】当时，集合，满足，B正确；
当时，集合，要使，则或．
当时，，此时，集合不满足集合中元素的互异性，舍去；
当时，，此时，集合，满足题意，D正确，
所以的值可以为0或1．
故选：BD.
10．BCD
【分析】根据题意，分或或，三种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解.
【详解】因为 ，则或或，
当时，可得且，解得，则；
当时，可得且，解得，则；
当时，可得，解得，则，
综上可得，的值可以是或或.
故选：BCD.
11．ABD
【分析】根据集合的新定义结合子集及真子集的性质分别判断各个选项即可.
【详解】3数集A有个非空真子集，A正确.
假设，
则B的2子集有，，，，，，共6个，B正确.
C的等和子集有，，，共3个，C错误.
因为，，，所以在D中，
只有，两组符合条件的等式.在D的4子集中，
D的等和子集有，，共2个；
在D的5子集中，D的等和子集有，，，，，，，共7个；
在D的6子集中，D的等和子集有，，，，，，，，，共9个；
在D的7子集中，D的等和子集有，，，，，共5个；
在D的8子集中，D的等和子集有，共1个.
综上，D的等和子集有个，D正确.
故选：ABD.
三、填空题
12．7
【分析】根据子集和真子集的概念求解即可.
【详解】由题意可知，集合中一定包含元素, 且是的真子集，
所以或或或或或或，
即满足条件的集合有7个.
故答案为：7.
13．或
【分析】分为单元素集合、为双元素集合三种情况讨论，分别求出参数的取值范围即可得解.
【详解】集合中含有参数，所以先考虑是否为空集.
因为，
所以，若为空集，则，解得；
若为单元素集合，则，解得，
将代入方程，得，解得，
所以，符合要求；
若为双元素集合，则，即，
此时，即，解得
综上所述，的取值范围为或.
故答案为：或.
14．
【分析】由两集合相等及分式的分母不为0可求出n，再利用集合相等和互异性求m，代入计算即可.
【详解】因为，，所以，故，所以解得或．
当时，不满足集合元素的互异性，
当时，集合为，符合条件.
所以．
故答案为：
三、解答题
15．（1）或（2）
【分析】根据集合的包含关系，建立不等式即可解出结果.
【详解】（1） 即的范围小于的范围.
当，即时，，满足 ；
当，即时，要使 ，由图1得，
①②等号不同时成立，解得.

综上所述，的取值范围为或.
（2） 即的范围小于的范围.
要使 ，优先考虑是否为空集.
当，即时，，满足 ；
当，即时，要使 ，由图2得或，
解得.又因为，所以.

综上所述，的取值范围为.
16．(1)，，，，，
(2)
【分析】（1）根据集合间的包含关系可直接写出符合题意的集合；
（2）对集合是否为空集进行分类讨论，解不等式即可求出的取值范围.
【详解】（1）当时，方程的根的判别式，所以．
又，故 ．
由已知得应是一个非空集合，且是的一个真子集，
用列举法可得这样的集合共有6个，分别为,,,,,．
（2）当时，是的一个子集，
此时对于方程，有，所以．
当时，因为，所以当时，，即，
此时，因为，所以不是的子集；
同理，当时，，也不是的子集；
当时，，也不是的子集．
综上，满足条件的的取值范围是．
17．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，分类讨论与两种情况，结合一次方程与二次方程的解法即可得解；
（2）先解二次方程化简集合，再由分类讨论集合的各种情况，结合二次方程的解法即可得解.
【详解】（1）因为只有一个元素，，
当时，；
当时，对于，有，解得，
把代入集合，得；
综上，或，对应的集合或.
（2）因为，，
当时，对于，有，解得；
当时，将代入，得，则，
此时（舍去）；
当，将代入，得，则，
此时（舍去）；
当，则有，方程无解析，此时不存在满足条件；
综上，的取值范围为.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据，可得，再分和两种情况讨论即可；
（2）由题意可得集合中只有一个元素，再分和两种情况讨论即可；
（3）先根据求出，进而求出集合，再分和两种情况讨论即可.
【详解】（1）因为，所以，
当时，则，与题意矛盾，
当时，则，解得，
综上所述，实数的取值集合为；
（2）因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素，
当时，则，符合题意，
当时，则，解得，
综上所述，实数的取值集合为；
（3）因为，
所以，解得，
所以，
当时，，
当时，，
因为，所以或，解得或，
综上所述，实数的取值集合为.
19．(1)12；
(2)672；
(3).
【分析】（1）先求出集合的所有非空子集，根据“交替和”的定义分别求和后可得所有的“交替和”的和；
（2）根据题意计算每个元素出现的次数求所有非空子集的元素和的总和；
（3）将集合的所有非空子集分类，并将含有3的多元素子集与不含有3的非空子集配对求出每对集合的“交替和”的和，再加上单元素集的“交替和”即可.
【详解】（1）集合的非空子集有，
根据题意，集合的交替和分别为，
集合的交替和为，
集合的交替和为，
集合的交替和为，
集合的交替和为，
所以，集合的所有非空子集的交替和的总和为.
（2）集合的所有非空子集中，考虑数字1在子集中出现的情况，
相当于从剩下的5个元素中选取若干个元素与1组成子集，那么1出现的次数为次.
同理，每个元素出现的次数为次，
所以，集合所有非空子集的元素和的总和为.
（3）集合，其非空子集有个，
将这些非空子集分为3类：第一类，含元素3的单元素集，有1个，其“交替和”为3；
第二类，含元素3的多元素集合（至少两个元素），有个；
第三类，不含元素3的非空集合，有个，
将第二类中的集合与第三类中的集合（集合中的元素去掉元素3构成的新集合）配对，
则集合与集合的“交替和”的和始终为3，
如取，则，集合与集合的“交替和”的和为，
这样的配对共有组，因此集合的所有非空子集的“交替和”的总和为.
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