1.1集合的概念课后提升训练（含解析）人教A版2019必修第一册2025-2026学年高一上册数学

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1.1集合的概念课后提升训练
人教A版2019必修第一册2025-2026学年高一上册数学
（一）、知识梳理
（1）集合的概念
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.
（2）常用数集及其记法
表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集.
（3）集合与元素间的关系
对象与集合的关系是，或者，两者必居其一.
（4）集合的表示法
①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.
②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.
③描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素.
④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.
（5）集合的分类
①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().
（二）、课后提升训练
一、单项选择题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列各对象可以组成集合的是（　　）
A．与1非常接近的全体实数
B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学
D．中国著名的数学家
3．下列四组中表示同一集合的为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．已知集合，且，则实数的值为（　　）
A． B．0 C．3 D．或3
5．若，则a的值为（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
6．若集合中只有一个元素，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数a的所有可能取值构成集合是T，则（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
8．已知集合，则A中元素的个数为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
二、多项选择题
9．下列四个命题中正确的是（ ）
A．方程的解集为
B．同时满足的整数解的集合为
C．由实数所组成的集合最多含2个元素
D．中含有3个元素
10．若集合有且只有一个元素，则实数的值可以为（ ）
A． B． C． D．
11．对于集合，给出如下结论，其中正确的结论是（ ）
A．如果，那么
B．若，对于任意的，则
C．如果，，那么
D．，使
三、填空题
12．已知集合，则集合中所有元素之和为 ．
13．已知集合各元素之和等于3，则实数
14．（1）设集合，，，则中元素的个数为 ．
（2）设，集合，则 ．
（3）若集合中只有一个元素，则 ．
解答题
15．已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数．
(1)若是单元素集合（只有一个元素），求的值：
(2)若中至多有一个元素，求满足的条件．
16．已知集合．
(1)若，求的值；
(2)若中只有一个元素，求的取值范围；
(3)若中至多有一个元素，求的取值范围．
17．设为实数，集合.
(1)若，求S；
(2)若，求满足的条件；
(3)设，且集合均恰有两个元素，求三元数对.
18．给定正整数，设集合，对，，，两数中至少有一个数属于，则称集合具有性质.
(1)设集合，，请直接写出，是否具有性质；
(2)若集合具有性质，求的值；
(3)若具有性质的集合恰有6个元素，且，求集合．
19．设数集A由实数构成，且满足：若（且），则.
(1)若，则A中至少还有几个元素？
(2)集合A是否为双元素集合？请说明理由；
(3)若A中元素个数不超过，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A中的元素.
（三）、参考答案
一、单项选择题
1．C
【分析】解方程，结合，化简集合即可求解.
【详解】因为，所以或.
又，所以，，故.
故选：C.
2．B
【分析】根据集合的元素必须具有确定性，逐个判断各个选项即可．
【详解】对于A：其中元素不具有确定性，故选项A错误；
对于B：对于任何一个学生可以判断其在高一学生这个集合中，故选项B正确；
对于C：其中元素不具有确定性，故选项C错误；
对于D：其中元素不具有确定性，故选项D错误.
故选：B．
3．B
【分析】根据集合元素的性质逐一判断即可.
【详解】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误；
选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确；
选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误；
选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误.
故选：B
4．C
【分析】由或求得并代入集合检验．
【详解】因为，所以分为以下两种情况讨论．
①或，当时，集合，满足题意；当时，集合，不满足集合的互异性，故舍去．
②，此时集合，不满足集合的互异性，故舍去．综上所述，．
故选：C．
5．A
【分析】由题意得，或，或，分别求解，再由集合元素的互异性验证即可.
【详解】因为，
所以，或，或，
当时，得，此时集合为，不合题意，舍去，
当时，得，此时集合为，
当时，得无解，
综上，.
故选：A
6．C
【分析】利用集合元素个数，结合方程的解求出.
【详解】当时，方程只有一个解，集合只有一个元素，因此，
当时，由集合只有一个元素，得有相等的两个实根，
，解得，
所以或.
故选：C
7．A
【分析】先得出，再分类讨论或，因，若，则；若，则问题转化为讨论方程的根个数，分两种情况，，但根异于，或，但一根为即可求出.
【详解】对于，有，所以；
因为，则或，
而是方程的根，
当时，故，而不是方程的根，
故是方程的唯一根，则，
经检验，当时满足；
当时，则方程有三个不同根，
则当满足，即，
当，则满足；当，则满足；
当满足，即，
必有为方程的根，即，得，
当时，则满足；
当，则满足；
则，故.
故选：A.
8．C
【分析】首先求出x的值，然后代入分别求出y的值即可.
【详解】因为，所以，
又，所以，可得，所以x可能取值为
当时：代入得，又，
所以，此时得到元素；
当时：代入得，，，
此时得到元素；
当时：代入得，.，，
此时得到元素；
当时：代入得，，，
此时得到元素；
当时：代入得，所以，
此时得到元素；
满足条件的元素分别为：
，，，，共11个，
故选：C
二、多项选择题
9．BC
【分析】对于A，解方程求解集即可；对于B，解不等式组并结合整数解的概念即可；对于C，化简，得在，中，当时，，当时，，当时，，三者中至少有两个相等，所以由集合中元素的互异性判断元素个数即可；对于D，结合6的因数并对讨论即可.
【详解】对于A，由二次根式和绝对值的非负性可得方程的解为解集为，故A错误；
对于B，由得，所以整数解组成的集合为，故B正确；
对于C，由于，且在，，中，
当时，，当时，，当时，，
三者中至少有两个相等，所以由集合中元素的互异性可知，该集合中最多含2个元素，故C正确；
对于D，当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以集合含有4个元素，故D错误，
故选：BC．
10．AD
【分析】根据题意可知，方程的根只有一个，分当和当时，直接根据方程只有一个根求解即可.
【详解】当，即时，，符合题意；
当，即时，若集合只有一个元素，
由一元二次方程根的判别式，解得.
综上实数的值可以为，.
故选：AD
11．ACD
【分析】对于A：令，，可知对任意，均有，所以，即可判断A；说明，即可判断B；设，则，进而分析判断C；利用特殊值判断D.
【详解】对于A：令，，则，
即对任意，均有，所以，故A正确；
对于B：因为，不妨设，
若，则；
若，则为奇数；
若，则；
综上可知：，但是，故B错误；
对于C：因为，，设，
则，
因为，则，
所以，故C正确；
对于D：因为，，即，所以，使，故D正确.
故选：ACD
三、填空题
12．
【分析】根据元素与集合间的关系，分类讨论即可求解.
【详解】由知，或0或1．
当时，，此时，则，不满足题意，舍去；
当时，，若，此时，则，不满足题意，舍去，
若，此时，则，满足题意；
当时，，此时，满足题意．
所以，
所以集合中所有元素之和为．
故答案为：
13．或
【分析】先求得方程的解为，根据题意，结合集合元素的互异性，列出方程，分类讨论，即可求解.
【详解】由方程，可得化为，
解得，
当时，此时，可得，不符合题意，舍去；
当时，即时，可得，此时，符合题意；
当且时，可得，解得，符合题意，
所以实数的值为或.
故答案为：或.
14． 5 0或
【分析】（1）根据给定条件计算出所有的值，再借助集合中元素的性质即可作答.
（2）由已知可得，所以，则，进而求得，可求结论.
（3）分析当与两种情况进行讨论即可求解.
【详解】（1）因集合，，
当时，的值有：6，7，8，9，
当时，的值有：7，8，9，10，
于是得，所以中元素的个数为5.
（2）由题意，可得，所以，则，
所以，所以.
（3）当时，有，解得，满足条件；
当时，仅有一根，故，解得，
综上，或.
故答案为：①；②；③或
四、解答题
15．(1)或
(2)或
【分析】（1）讨论，根据得出结果；
（2）讨论，根据得出结果；
【详解】（1）因为是单元素集合（只有一个元素），
①当时，原方程变为，此时，符合题意；
②则，，解得，
所以或．
（2）因为中至多有一个元素，则或，
解得或.
16．(1)
(2)或时，
(3)或
【分析】（1）将代入方程中即可求解，
（2）（3）将问题转化为：关于的方程解的问题，分类讨论二次项系数的值，结合二次方程根与判别式的关系，即可得到答案．
【详解】（1）由于，所以是的实数根，故，故
（2）当时，原方程变为，此时，符合题意；
当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意．
故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素．
（3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素，
由（1）知当时只有一个元素，
当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集；
，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素．
中最多有一个元素，或
17．(1)
(2)，，或，
(3)
【分析】（1）代入，解方程求解可得；
（2）由2是方程的根得，再按是否为方程的根分类讨论即可；
（3）先分析方程的一次项系数及方程的二次项系数均不为0，再分，，且三类情况讨论即可.
【详解】（1）当时，.
（2）因为，则，即，
当2为方程的根时，则，解得；
当2不为方程的根时，则.
综上所述，，，或，.
（3），
若，，
则，又，
所以有，解得
验证：当时，，
不满足集合S恰有两个元素，故；
若，由，
，
则，又，则，又，
所以，即.
由，则，即，解得.
验证：当时，
也不满足集合S恰有两个元素，故；
由上可知，且.则，
且方程与有相同的判别式，
即两方程根的个数相同.由集合均恰有两个元素，则.
，
因为，则是方程或的根.
由，且，则是方程或的根.
①当时，是方程的根，，则，
又，则，由，
则是方程的根，则.
（i）若，联立解得.
验证：当时，
，
，满足题意；
（ii）若，方程有两个不相等的实数根，
又，则方程的两根必为和2.
故由韦达定理得，解得；
验证：当时，
，
，满足题意；
②当时，，即是方程的根，
则，又，则，
则是方程的根，则，即
（i）若，联立解得.
验证：当时，
，
，满足题意；
（ii）若，方程有两不等的实数根，
又，则方程的两根必为和.
故由韦达定理得，解得；
验证：当时，
，
，满足题意；
③当且时，则不是方程的根，也不是方程的根.
由，则是方程的两实数根，
且是方程的根，
则有，解得.
验证：当且时，有.
有三个元素，故不满足题意；
综上所述，满足题意的所有三元数对有.
【点睛】关键点点睛：本题第3问的关键在于两个突破口，一是以方程与的两根情况为入手点，当时可知，且；二是以，为入手点，以“是否为方程的根”与“是否为方程的根”为分类界点产生讨论即可.
18．(1)集合具有性质，集合不具有性质
(2)
(3)，，，，
【分析】（1）根据性质的定义，即可判断两个集合是否满足；
（2）根据性质的定义，首先确定，再讨论是否属于集合，即可确定的取值，即可求解；
（3）首先确定集合中有0，并且有正数和负数，然后根据性质讨论集合中元素的关系，即可求解.
【详解】（1）因为集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，
两数中至少有一个属于集合，所以集合具有性质，
集合中的，，
所以集合不具有性质，
所以集合具有性质，集合不具有性质；
（2）记，易知，
令，
所以，
由集合具有性质，
所以，
不妨设，则，且，
令，，
则，且，且，
①当时，显然，
因为，所以，
所以，解得，
此时，具有性质；
②当时，则，
因为且，
所以，，
所以，解得，
此时，与题意不符（舍），
综上，，
故；
（3）记，易知，
令，
所以，
由集合具有性质，
所以，
不妨设，，
此时，
若，显然，
所以，
由集合具有性质，
所以，，
因为且与互为相反数，
所以，两个数中必然一正一负，
所以中有0，有正数也有负数，
下面对中元素的正负个数进行讨论：
（1）当中有1个负数，4个正数时，
不妨设，，
因为均大于，
所以均不属于，
由集合具有性质，
所以，
因为，
所以不可能同时等于，
所以此时集合不具有性质，舍去；
（2）当中有4个负数，1个正数时，
不妨设时，，
因为均小于，
所以均不属于，
由集合具有性质，
所以，
因为，
所以不可能同时等于，
所以此时集合不具有性质，舍去；
（3）当中有2个负数，3个正数时，
不妨设时，，，
因为，
所以，
由集合具有性质，
所以，
因为，
所以，
即，①
因为均大于，
所以均不属于，
由集合具有性质，
所以，，
因为，，
所以，，，
故，，，，
所以，，，②
由①②，得，
于是：.
（4）当中有3个负数，2个正数时，
由（3），同理可得，
由此，当恰有6个元素，且时，可得符合条件的集合有5个，
分别是，，，
，.
19．(1)两个；
(2)不是，理由见解析；
(3).
【分析】（1）利用给定的定义，依次计算即得.
（2）由，求得A中其它元素，再判断不相等即可.
（3）由（2）中信息，可得，再结合已知列出方程求解即得.
【详解】（1）由，得，则，因此
所以A中至少还有两个元素为，.
（2）不是双元素集合．理由如下：
由，得，则，
而且，，即，，
于是，由，得，则，
因此集合A中至少有个元素，所以集合A不是双元素集合．
（3）由（2）知A中有三个元素为、、（且），且，
依题意，A中除上述3个元素外，还有其它元素，设A中有一个元素为，
则，，且，
于是A中的元素为，且集合A中所有元素之积为，
由A中有一个元素的平方等于所有元素的积，设或，解得或．
此时，，，依题意，，
整理得，即，解得或或，
所以集合A中的元素为.
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