1.1.1 课时1 集合的概念
【基础巩固】
1．下列给出的对象中能构成集合的是（ ）
A．著名的物理学家 B．很大的数
C．聪明的人 D．小于的实数
【答案】D
【解析】只有D项有明确的标准，能构成一个集合.
2．梯形的边长构成集合，则集合中元素个数的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为梯形的四条边可以都不相等，所以集合中最多有个元素.
故选：D.
3．若以方程和的解为元素组成集合，则中元素的个数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，解之可得或，
，解之可得或，
根据集合元素的互异性可知集合一共有个元素.
故选：C
4．已知是满足下列条件的集合：
①，； ②若，，则； ③若且，则.
则下列说法正确的个数为（ ）
(1)； (2)； (3).
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】D
【解析】因为，，由②得，即，
故，即，由③得，(1)正确；
，，由②得，故，(2)正确；
若，则，若，则，
若且，因为，，由②得，
由③得，，又，
由②得，由③得，
由②得，(3)正确.
故选：D.
5．（多选）已知不超过的实数组成的集合为，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A，因为，所以，所以A正确，
对于B，因为，
所以，所以B错误，
对于C，因为，所以，
所以，所以C正确，
对于D，因为，所以，
所以，所以D正确.
故选：ACD
6．给出下列个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为_________.
【答案】
【解析】依题意，，，，，，，
因此①④正确，②③⑤⑥错误，
所以正确命题的个数是2.
故答案为：2
7．若集合由三个元素组成，且，则_________.
【答案】
【解析】因为，
所以或，
若，，不满足互异性；
若或，又，所以，
故答案为：.
8．已知集合中含有两个元素和．
(1)若是集合中的元素，试求实数的值；
(2)能否为集合中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由．
【答案】见解析
【解析】(1)因为是集合中的元素，
所以或．
若，则，
此时集合含有两个元素，，符合要求；
若，则，
此时集合中含有两个元素，，符合要求．
综上所述，满足题意的实数的值为或．
(2)不能．理由如下：
若为集合中的元素，则或．
当时，解得，此时，显然不满足集合中元素的互异性；
当时，解得，此时显然不满足集合中元素的互异性．
综上，不能为集合中的元素．
【能力拓展】
9．非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，错误的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【解析】对于A，由①知，，由②知，，即，因此，A正确；
对于B，由①知，，，由②知，，，依此类推得正整数，
因此，则，B正确；
对于C，由选项B知，，，由①知，，则当时，，C正确；
对于D，若，则，D错误.
故选：D
10．（多选）已知为非零实数，代数式的值组成的集合，下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】依题意，当都为正数，代数值等于；
当中只有一个负数两个正数，代数值为；
当中只有一个正数两个负数，代数值为；
当都为负数，代数值为.
故选：CD.
11．若，，组成的集合与组成的集合为同一个含个元素的集合，则的值为_________.
【答案】
【解析】因为，，组成的集合与组成的集合为同一个集合，
所以，解得，或，
当时，三个元素分别为，符合题意，
当时，集合中有相同的元素，所以不合题意，
综上，，
所以，
故答案为：
【素养提升】
12．（24-25高一上·江苏苏州月考）已知是满足下列条件的集合：
①，；②若，则；③若且，则.
(1)判断，是否正确，并说明理由；
(2)证明：若，且，则；
(3)证明：若，则.
【答案】见解析
【解析】(1)，正确，理由如下：
因为，，由条件②可知，
由，，可得；
由，，可得，
因此，的说法正确；
(2)因为，且，又，可得；
结合条件③可知，；
再由条件②可知，
即；
(3)由(2)中可得，
又由条件②知，
当或时，易知，
即可得当时，，同理可得；
又当时，，则，则，
则由可知，则，
所以，可得，
因此，所以，故，
即若，则得证.1.1.1 课时1 集合的概念
【基础巩固】
1．下列给出的对象中能构成集合的是（ ）
A．著名的物理学家 B．很大的数
C．聪明的人 D．小于的实数
2．梯形的边长构成集合，则集合中元素个数的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
3．若以方程和的解为元素组成集合，则中元素的个数为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知是满足下列条件的集合：
①，； ②若，，则； ③若且，则.
则下列说法正确的个数为（ ）
(1)； (2)； (3).
A．0 B．1
C．2 D．3
5．（多选）已知不超过的实数组成的集合为，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．给出下列个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为_________.
7．若集合由三个元素组成，且，则_________.
8．已知集合中含有两个元素和．
(1)若是集合中的元素，试求实数的值；
(2)能否为集合中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由．
【能力拓展】
9．非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，错误的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
10．（多选）已知为非零实数，代数式的值组成的集合，下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．若，，组成的集合与组成的集合为同一个含个元素的集合，则的值为_________.
【素养提升】
12．已知是满足下列条件的集合：
①，；②若，则；③若且，则.
(1)判断，是否正确，并说明理由；
(2)证明：若，且，则；
(3)证明：若，则.
【答案】见解析
【解析】(1)，正确，理由如下：
因为，，由条件②可知，
由，，可得；
由，，可得，
因此，的说法正确；
(2)因为，且，又，可得；
结合条件③可知，；
再由条件②可知，
即；
(3)由(2)中可得，
又由条件②知，
当或时，易知，
即可得当时，，同理可得；
又当时，，则，则，
则由可知，则，
所以，可得，
因此，所以，故，
即若，则得证.
