1.1.2空间向量的数量积运算 学案（含答案）2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何
1.1.2·空间向量的数量积运算
学习指导
课标要求 核心素养 重难分析
1、掌握空间向量数量积的定义、运算律 2、能运用空间向量数量积解决空间中垂直、长度、角度等问题 3、体会空间向量数量积与平面向量数量积的联系与区别 通过从平面向量推广到空间向量，抽象出空间向量数量积的定义与运算律 重点 空间向量数量积的定义、运算律
利用数量积解决空间垂直、长度、角度问题
难点 空间向量数量积几何意义的深入理解
运用数量积解决复杂的空间几何问题
知识清单
知识点一 空间向量的数量积
1.空间向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，令，，则叫做向量a，b的夹角，记作__________.
若，则向量a，b__________，记作.
2.空间向量的数量积：已知两个非零向量a，b，则__________叫做a，b的数量积，记作__________，即.
特别地，零向量与任意向量的数量积为__________.
由向量的数量积定义得到：__________；__________.
3.向量的投影：向量a向向量b投影，得到与向量b__________的向量c，__________，则向量c称为向量a在向量b上的投影向量.
4.空间向量数量积的运算律：
（1）__________，；
（2）（交换律）；
（3）__________（分配律）.
答案：1. 互相垂直
2. 0
3.共线
4.
试题练习
1.如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则( )
A.4 B.5 C.6 D.
2.如图，空间四面体的每条棱都等于1，点E，F，G分别是，，的中点，则等于( )
A. B. C. D.
3.四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.如图，已知空间四边形的每条边长和对角线长都等于a，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于的是( )
A. B. C. D.
5.在棱长为2的正方体中，M为棱上任意一点，则________.
答案以及解析
1.答案：B
解析：
.
故选：B.
2.答案：B
解析：，.
故选：B.
3.答案：B
解析：四棱锥如图所示，
底面是矩形，∴，
底面，底面，∴，
过向量的始点B作直线的垂线，垂足为点A，
过向量的终点P作直线的垂线，
垂足为点D，在向量上的投影向量为，
由底面是矩形，，
故选：B.
4.答案：B
解析：由题意得，与，与的夹角均为，与的夹角为，与的夹角为0，故，，，，故选B.
5.答案：4
解析：棱长为2的正方体如图所示，
.