1.1集合的概念（第一课时）同步检测（含答案）2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.1 集合的概念（第一课时）（同步检测）
一、选择题
1.(多选)以下元素能构成集合的是(　　)
A.中国古代四大发明 B.地球上的小河流
C.方程x2－1＝0的实数根 D.自然数
2.(多选)下列结论中，正确的是(　　)
A.若a∈N，则 N B.若a∈Z，则a2∈Z
C.若a∈Q，则|a|∈Q D.若a∈R，则∈R
3.如果集合中的元素是三角形的边长，那么这个三角形一定不可能是(　　)
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
4.已知集合M由小于5的数构成，则有(　　)
A.3∈M B.－3 M
C.0 M D.7∈M
5.设A是方程2x2＋ax＋2＝0的解集，且2∈A，则实数a的值为(　　)
A.－5　　　B.－4
C.4 D.5
6.下列各组对象可以组成集合的是(　　)
A.数学必修第一册课本中所有的难题 B.小于8的所有素数
C.平面直角坐标系中第一象限的一些点 D.所有小的正数
7.若以方程x2－5x＋6＝0和x2－x－2＝0的解为元素组成集合M，则M中元素的个数为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
8.已知x∈R，由x，－x，|x|，，－所组成的集合中最多含有元素的个数是(　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
9.满足x－1＜的x构成集合A，则下列各式正确的是(　　)
A.3∈A且－3 A B.3∈A且－3∈A
C.3 A且－3 A D.3 A且－3∈A
二、填空题
10.已知集合A中的元素x满足2x＋a>0，a∈R，若2∈A，则实数a的取值范围为________
11.已知集合M中有两个元素3和a＋1，且4∈M，则实数a＝________
12.若集合A中含有两个元素x，x2－2x，则元素x应满足的条件为________
13.已知含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成{a2，a＋b,0}，则a2 024＋b2 025＝________
三、解答题
14.已知集合A含有两个元素a－3，2a－1，a∈R．
(1)若－3∈A，试求实数a的值；
(2)若a∈A，试求实数a的值．
15.已知集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，M＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}．
(1)若m∈M，则是否存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立？
(2)对任意a∈A，b∈B，是否一定存在m∈M，使a＋b＝m？证明你的结论．
参考答案及解析：
一、选择题
1.ACD　解析：A中，中国古代四大发明具有确定性，能构成集合；B中，地球上的小河流不确定，因此不能构成集合；C中，方程x2－1＝0的实数根为－1和1，能构成集合；D中，自然数具有确定性，能构成集合．
2.BC　解析：A不正确，如a＝1∈N，＝1∈N；D不正确，如a＝－1∈R，无意义；B，C都正确．
3.D　解析：根据集合元素的互异性可知，该三角形一定不可能是等腰三角形．故选D．
4.A　解析：∵3<5，∴3是集合M中的元素，故3∈M．故选A．
5.A 解析：因为2∈A，所以2×22＋2a＋2＝0，解得a＝－5.
6.B 解析：A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“平面直角坐标系中第一象限的一些点”不能构成集合；D中没有明确的标准，所以不能构成集合．故选B．
7.C 解析：方程x2－5x＋6＝0的解为x＝2或x＝3，x2－x－2＝0的解为x＝2或x＝－1，所以集合M中含有－1，2，3共3个元素．故选C．
8.A 解析：因为x，－x，|x|，＝|x|，－＝－x中，至多有2个不同的实数，所以组成的集合中最多含有元素的个数是2．故选A．
9.D 解析：因为3－1＝2＞，所以3 A．又因为－3－1＝－4＜，所以－3∈A.
二、填空题
10.答案：a>－4　
解析：因为2∈A，所以2×2＋a>0，即a>－4．
11.答案：3　
解析：因为4∈M，且集合M有两个元素3和a＋1，所以4＝a＋1，所以a＝3．
12.答案：x≠0且x≠3　
解析：由集合中元素的互异性可得x2－2x≠x，解得x≠0且x≠3．
13.答案：－1
解析：由题意，得＝0且a≠0，a≠1，所以b＝0，a2＝1，解得a＝－1(a＝1舍去)，所以a2 024＋b2 025＝－1.
三、解答题
14.解:(1)因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1．
若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意；
若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意．
综上所述，实数a的值为0或－1．
(2)因为a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1．
当a＝a－3时，有0＝－3，不成立；
当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2，1，符合题意．
综上，实数a的值为1．
15.解：(1)设m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2(k∈Z)，
令a＝3k＋1(k∈Z)，b＝3k＋2(k∈Z)，则m＝a＋b.
故若m∈M，则存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立．
(2)设a＝3k＋1，b＝3l＋2，k，l∈Z，则a＋b＝3(k＋l)＋3，k，l∈Z.
当k＋l＝2p(p∈Z)时，a＋b＝6p＋3∈M，此时存在m∈M，使a＋b＝m成立；
当k＋l＝2p＋1(p∈Z)时，a＋b＝6p＋6 M，此时不存在m∈M，使a＋b＝m成立．
故对任意a∈A，b∈B，不一定存在m∈M，使a＋b＝m.