1.1直线的倾斜角与斜率 同步练（含解析）2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

直线的倾斜角与斜率
一、单选题
1．若直线的斜率为，则的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．已知两点，若直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A． B．6 C． D．4
4．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线经过点两点．直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
6．设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，直线、、的斜率分别为、、，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．若是直线l的倾斜角，则
B．若k是直线的斜率，则
C．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
D．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
10．下列说法中，正确的是（ ）
A．任何一条直线都有唯一的斜率 B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大
C．任何一条直线都有唯一的倾斜角 D．垂直于轴的直线倾斜角为
11．直线l过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线l斜率可能是（ ）
A．1 B．2 C．8 D．6
12．如图，直线，，的斜率分别为，，，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．直线过点和，则的斜率为 ．
14．已知是斜率为的直线的倾斜角，计算 ．
15．直线经过点，且倾斜角为，则实数为 ．
16．已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为 ，其斜率的取值范围为 ．
四、解答题
17．已知坐标平面内两点M(m＋3,2m＋5)，N(m－2,1).
(1)当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？
(2)当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？
(3)直线MN的倾斜角可能为直角吗？
18．已知坐标平面内三点、、.
(1)求直线、、的斜率和倾斜角；
(2)若为的边上一动点，求直线的倾斜角的取值范围.
19．已知坐标平面内三点.
(1)求直线的斜率和倾斜角；
(2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标；
(3)若是线段上一动点，求的取值范围.
《直线的倾斜角与斜率》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C C A C A C ABD CD
题号 11 12
答案 ABD ABD
1．C
【分析】由斜率（直线的倾斜角）求解即可.
【详解】设直线的倾斜角为，因为直线的斜率是，所以，
又因为，所以，即直线的倾斜角为．
故选：C
2．B
【分析】根据直线方程和倾斜角定义求解.
【详解】直线为平行于轴的直线，
所以倾斜角为.
故选：B
3．C
【分析】由题意可知直线的斜率，再结合斜率公式运算求解.
【详解】因为直线的倾斜角为，则直线的斜率，
又因为，则，解得.
故选：C.
4．C
【分析】先求直线的斜率，利用斜率与倾斜角的关系即可求解.
【详解】由题意有直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，
则，又因为,所以，
故选：C.
5．A
【分析】根据两点求解斜率，即可根据二倍角公式求解.
【详解】由得，设的倾斜角为，
所以，
故，
故直线的斜率为，
故选：A
6．C
【分析】先根据直线方程的特点，分和两种情况讨论，再分别计算出倾斜角的取值范围，最后取并集即可.
【详解】当时，直线的方程为，此时直线的倾斜角；
当时，直线的斜率为，
因为，
所以，即，
又因为，
所以结合正切函数的图象可得：.
综上可得：直线的倾斜角的取值范围是.
故选：C.
7．A
【分析】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可.
【详解】设直线、、的倾斜角为、、，由图可知，
所以，即.
故选：A.
8．C
【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果.
【详解】由直线的斜率公式可得：
；.
结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或.
故选：C.
9．ABD
【分析】根据直线的倾斜角和斜率的定义，依次判断选项即可.
【详解】直线的倾斜角必定存在，且满足；
直线的斜率，但不是所有直线都存在斜率.
所以ABD正确，C错误.
故选：ABD
10．CD
【分析】根据直线斜率与倾斜角的定义分别判断各选项.
【详解】A选项：当直线垂直于轴时，斜率不存在，A选项错误；
B选项：当倾斜角为锐角时，斜率为正，且倾斜角越大斜率越大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，且倾斜角越大斜率越大，B选项错误；
C选项：任何一条直线的倾斜角均存在且，C选项正确；
D选项：垂直于轴的直线与轴平行，由倾斜角定义可知该直线倾斜角为，D选项正确；
故选：CD.
11．ABD
【分析】分别计算出直线过点,时的斜率，结合斜率定义即可得直线的斜率的取值范围，即可得解.
【详解】已知，，根据直线斜率公式，可得.
已知，，根据直线斜率公式，可得.
根据题意，直线与线段有交点，则.
故选：ABD.
12．ABD
【分析】结合图象利用斜率的定义判断即可.
【详解】设直线，，的倾斜角分别为，
由图象可知，，
易知，当时，
又在时，且上单调递增，
所以，，即.
故选：ABD
13．
【分析】根据斜率的计算公式求解即可.
【详解】，
故答案为：
14．
【分析】根据正切函数值求出角进而得出正弦值即可.
【详解】因为是斜率为的直线的倾斜角，所以，
所以，
所以．
故答案为：.
15．
【分析】利用倾斜角和斜率的关系、斜率公式计算即可得解.
【详解】解：由题意，直线的斜率为，
∵为直线上的点，
∴由斜率公式得，
解得：.
故答案为：.
16．
【分析】解法一：根据题意，求出，，结合图形求出直线斜率的范围，进而可求出倾斜角的范围.
解法二：设直线的斜率为，则直线的方程为，点，在直线的两侧或其中一点在直线上，所以，即可求出直线斜率的范围，进而可求出倾斜角的范围.
【详解】解法一：由题意，，．
设直线，的倾斜角分别为α，β，则，．
如图所示，过点作轴的垂线，与线段交点于，
当直线由变化到的位置时，直线的倾斜角由增到，其斜率的范围为；当直线由变化到的位置时，直线的倾斜角由增到，其斜率的范围为．
故直线倾斜角的取值范围为，其斜率的取值范围为．
故答案为：； ．
解法二：设直线的斜率为，则直线的方程为，即．
由题意，点，在直线的两侧或其中一点在直线上，
所以，即，解得或．
故直线的斜率的取值范围为，
所以其倾斜角的取值范围为．
故答案为：； ．
17．(1) m>－2. (2) m<－2. (3) 不可能为直角.
【分析】(1)由倾斜角为锐角，则斜率大于0，根据斜率公式，得到不等式，即可求解；
(2)由倾斜角为钝角，则斜率小于0，根据斜率公式，得到不等式，即可求解；
(3)当直线MN垂直于x轴时直线的倾斜角为直角，此时m＋3＝m－2，即可作出判定．
【详解】(1)若倾斜角为锐角，则斜率大于0，
即k＝＝>0，
解得m>－2.
(2)若倾斜角为钝角，则斜率小于0，
即k＝＝<0，
解得m<－2.
(3)当直线MN垂直于x轴时直线的倾斜角为直角，此时m＋3＝m－2，此方程无解，故直线MN的倾斜角不可能为直角.
【点睛】本题主要考查了直线的斜率公式及其应用，其中解答中熟记直线的倾斜角与斜率的关系，合理利用斜率公式列出不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
18．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）利用斜率公式可得出直线、、的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系可得出这三条直线的倾斜角；
（2）数形结合可得出直线斜率的取值范围，再利用直线斜率与倾斜角的关系可得出直线倾斜角的取值范围.
【详解】（1）由斜率公式，得，，，
因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是，
所以直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为.
（2）如图，当直线绕点由逆时针转到时，
直线与线段恒有交点，即在线段上，此时由增大到，
所以的取值范围为，
即直线的倾斜角的取值范围为.

19．(1)斜率为1，倾斜角为；
(2)；
(3).
【分析】(1)根据过两点的斜率公式求出斜率，再求倾斜角；
(2) 设，根据求解即可；
(3) 因为表示直线的斜率,求出与点重合时，直线的斜率；与点重合时，直线的斜率即可得答案.
【详解】（1）解：因为直线的斜率为.
所以直线的倾斜角为；
（2）解：如图，当点在第一象限时，.
设，则，解得，
故点的坐标为；
（3）解：由题意得为直线的斜率.
当点与点重合时，直线的斜率最小，；
当点与点重合时，直线的斜率最大，.
故直线的斜率的取值范围为，
即的取值范围为.