2.2.1 对数与对数运算 学案（含答案）

2.2.1对数与对数运算
班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________
课前预习
·
预习案
【温馨寄语】
你的天赋好比一朵火花，假如你用勤勉辛劳去助燃，它一定会变成熊熊烈火，放出无比的光和热来。
【学习目标】
1．理解对数的概念，掌握常用对数及自然对数.
2．熟记并能够运用对数的性质进行计算或化简.
3．能够熟练地进行指数式与对数式的互化.
4．掌握对数的运算性质,并能运用运算性质进行对数的有关运算.
5．了解换底公式并能用换底公式将一般对数化成自然对数和常用对数.
【学习重点】
1．指数式与对数式的互化
2．对数的运算性质
3．换底公式的应用
【学习难点】
1．对数概念的理解
2．对数的运算性质的应用
3．对数的换底公式推导及换底公式的逆用
【自主学习】
1．对数的有关概念
2．换底公式
(1)前提：且且.
(2)公式：
.
3．对数的运算性质
【预习评价】
1．若
，则
A.

B.

C.

D.
2．
A.0
B.1
C.2
D.3
3．
A.4
B.3
C.2
D.1
4．在对数式
中，真数是
，底数是
.
5．计算

，

.
6．将
化为对数式为
.
7．若且,则下列等式正确的是
A.
B.
C.
D.
8．计算：
A.3
B.2
C.1
D.0
9．
A.1
B.2
C.3
D.4
10．若且,则
.
11．已知,那么
.
知识拓展
·
探究案
【合作探究】
1．对数的概念及其与指数式的互化
根据对数的概念及其与指数式的互化关系式
根据对数式中底数
的取值范围，回答下列问题：
(1)对数的底数
可以等于0或1吗？
(2)当对数的底数
时，对数式是否成立？
2．对数的概念及其与指数式的互化
根据对数的概念及其与指数式的互化关系式
结合指数式与对数式的互化完成下列问题，明确指数式与对数式之间的关系：
(l)在表格的空白处填写
，
，
这三个字母的名称.
(2)任何一个指数式都可以化成对数式呜？
3．对数的性质及对数恒等式
通过下列问题的探究，明确对数具有的性质.
(l)在对数式
(
)中只有
，才有意义，思考为什么负数和零没有对数？
(2)试利用所学的知识解释对数式
与
为什么成立？
4．对数的性质及对数恒等式
完成下列几个问题，认识对数恒等式及其具有的特点.
(1)若
且
，由
可知，
.把
代人
可得什么结论，它的意义如何？举例说明.
(2)在探究(1)所得结论的基础上，试化简式子
，结果如何？
(3)结合探究(2)说明利用公式
(
且
)化简求值的关键是什么？
5．对数的运算性质
运算性质中底数能等于零或小于零吗,真数呢？
6．对数的运算性质
对数的运算性质(1)能否推广为,试证明.
7．换底公式
观察换底公式,思考下列问题：
(1)换底公式中底数是特定数还是任意数？
(2)根据换底公式,式子能化为一个对数式吗？
8．换底公式
你能根据对数的定义推导出换底公式吗？
9．对数的运算性质
对数的运算性质逆用成立吗？请按下面的提示填空：
①
.
②
.
③
.
【教师点拨】
1．“三角度”认识对数式
角度一：对数式
可看作一种记号，只有在
时才有意义.
角度二：对数式
也可以看作一种运算，是在已知
求
的前提下提出的.
角度三：
是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写，也不可认为是
与
的乘积.
2．指数式与对数式互化的两点说明
(1)互化前后底数不变，均为
.
(2)互化前后要注意
，
，
位置的变化，特别是名称的改变.
3．
与
的作用
对数的这两个性质常常作为化“简”为“繁”的依据，即把0和1化为对数的形式，然后根据对数的有关性质求解问题.
4．对对数恒等式的两点说明
(1)对数恒等式的证明依据对数的定义.
(2)对于对数恒等式
要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数式；③其值为对数的真数.
5．关于对数运算性质的两点说明
(1)利用对数的运算性质时,要注意公式成立的前提条件.
(2)利用对数的运算性质,可以把乘、除、乘方运算转化为加、减、乘的运算,加快计算速度.
6．对换底公式的两点说明
(1)作用：换底公式的主要用途在于将一般的对数转化为常用对数或自然对数或其他同一底数的对数,这在计算和求值方面很有用处.
(2)常用结论：
①；
②,其中,且,且.
【交流展示】
1．下列指数式与对数式的互化中，不正确的一组是
A.与
B.与
C.与
D.与
2．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1).
(2).
(3).
(4).
3．已知，那么
A.4
B.8
C.3
D.2
4．计算.
5．已知，，都是大于1的正数，，且，，，
则的值为
A.
B.16
C.
D.
6．若，，则的值为
A.
B.
C.
D.
7．若，则
.
8．已知，，试用，表示.
9．抽气机每次抽出容器内空气的60%，那么约
次后，容器内的空气变为原来的(已知).
10．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的84%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的一半(结果保留1个有效数字).
【学习小结】
1．指数式与对数式互化时的技巧及应注意的问题
(1)技巧：若是指数式化为对数式，只要将幂作为真数，指数当成对数值，而底数不变即可；若是对数式化为指数式，则正好相反.
(2)注意问题：①利用对数式与指数式间的互化公式互化时，要注意字母的位置改变；
②对数式的书写要规范：底数
要写在符号“㏒”的右下角，真数正常表示.
2．求对数值的四个步骤
(1)设：设出所求对数值.
(2)化：把对数式转化为指数式.
(3)解：解有关方程.
(4)答：总结得结果.
提醒：求对数
就是求
中的
，可利用指数的运算性质来处理.
3．对数的运算性质在解题中的两种应用
提醒：对数的运算性质主要用于化简与求值,它只适用于同底的对数的化简.
4．利用换底公式计算、化简、求值问题的两种思路
一是先利用对数的运算性质进行部分运算,最后再换成统一底计算.
二是一次性地统一换为常用对数(或自然对数),再化简、通分、求值.
5．解决对数应用题的四个步骤
【当堂检测】
1．求下列各式的值:
(1)
.
(2)
.
2．求下列各式中的的值:
(1).(2).(3).(4).
3．计算：(1).(2).(3).
4．将下列指数式改写成对数式，对数式改写成指数式：
(l).
(2).
5．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：㎏)满足为自然对数的底).
(1)当燃料质量为火箭(除燃料外)质量的两倍时，求火箭的最大速度.(单位：m/s)
(2)当燃料质量为火箭(除燃料外)质量的多少倍时，火箭的最大速度可以达到8km/s.(结果精确到个位，数据：)
6．计算：.
2.2.1对数与对数运算
详细答案
课前预习
·
预习案
【自主学习】
1．x　x＝1ogaN　N　a　10　lgN　e　lnN　(2)0　(3)1
2．(2)
3．logaM＋logaN　logaM－logaN　
【预习评价】
1．B
2．B
3．C
4．8
2
5．0
1
6．3＝1og464
7．D
8．C
9．A
10．a＋b
11．
知识拓展
·
探究案
【合作探究】
1．(1)不可以，因为x＝1ogaN可以化为ax＝N，当a＝0时，若x＝0，则无意义，故a不可以等于0；又因为当a＝1时，无论x取何值，N都为1，没有研究的必要，故a也不可以等于1.
(2)不一定成立，当a＞0时，x＝1ogaN一定成立，但当a＜0，则N为某些值时，x的值不存在，如x＝1og－28.
2．不是，如(－2)3＝－8，不能写作1og－2(－8)＝3.
3．(1)依据对数的定义，若ax＝N，则x＝1ogaN，对于a＞0，不论x取何实数总有ax＞0，故需N＞0时1ogaN才有意义.
(2)由指数式与对数式之间的互化关系知1oga1＝0等价于a0＝1，1ogaa＝1等价于a1＝a，故1oga1＝0与1ogaa＝1成立.
4．(1)因为b＝1ogaN，所以a1ogaN＝N.此式子可以化简求值，如
＝3；此式子也可以把一个大于零且不等于1的数写成幂的形式，如3＝
.
(2)由探究1知
＝N(a＞0且a≠1，N＞0)，故
.
(3)用
＝N(a＞0且a≠1)化简求值的关键是凑准公式的结构，尤其是对数的底数和指数式的底数要一致，为此要灵活应用幂的运算性质.
5．由对数的定义知底数a＞0且a≠1,故a不能小于或等于0,M,N均为正数.
6．能.loga(M·N·P)＝loga(M·N)＋logaP＝logaM＋logaN＋logaP.
7．(1)是大于0,且不等于1的任意数.
(2)能..
8．令logab＝x,则ax＝b,两边取以c为底的对数,得xlogca＝logcb,所以,所以.
9．成立　①loga(M·N)
②
③logaMn
【交流展示】
1．C
2．(1)lga＝-1.5.(2)e4.605＝100.(3).(4).
3．B
4．原式.
5．B
6．D
7．3
8．由已知，，
.
9．8
10．设最初的质量是1.经过x年，剩余量是y，则经过1年，剩余量是y＝0.84；
经过2年，剩余量是y＝0.842；
……
经过x年，剩余量是y＝0.84x.
依题意得0.8x＝0.5，用科学计算器计算：
，即约经过4年，该物质的剩余量是原来的一半.
【当堂检测】
1．(1)4　(2)－3
2．(1)因为log8x＝2，所以x＝82＝64.
(2)因为logx2＝8，所以x8＝2.又因为x＞0，所以.
(3)因为log2x＝0，所以20＝x，所以1＝1.
(4)因为logx8＝2，所以x2＝8.
又因为x＞0，所以.
3．(1)原式＝6×＝6×36＝216.
(2)原式.
(3)原式＝＝c.
4．(1)e－1.2＝a.(2).
5．(1)因为，所以υ＝2
000·ln
3≈2
000×1.099＝2
198(m/s).
答：当燃料质量M为火箭质量m的两倍时，火箭的最大速度为2
198m/s.
(2)因为，所以.
答：当燃料质量M为火箭质量m的54倍时，火箭的最大速度可以达到8
km/s.
6．
.