1.4.2 充要条件
【基础巩固】
1．已知，，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由，得，所以充分性成立；
由，得，所以必要性不成立，
所以是的充分不必要条件.
故选：A
2．“”成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由得，
所以是选项中对应集合的真子集，
结合选项可知，D符合.
故选：D
3．设，则“”的充要条件为（ ）
A．至少有一个为1 B．都为1
C．都不为1 D．
【答案】A
【解析】由，则，可得或，即至少有一个为1，
所以“”的充要条件为至少有一个为1，故只有A符合，其它选项均不符.
故选：A
4．已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集，
当时，，解得；
当时，，前两个等号不能同时取得，解得，
综上m的取值范围是，
故选：A.
5．（多选）下列选项中正确的是（ ）
A．点到圆心的距离大于圆的半径是点在外的充要条件
B．两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分而不必要条件
C．是的必要而不充分条件
D．或为有理数是为有理数的既不充分又不必要条件
【答案】AD
【解析】由“点到圆心的距离大于圆的半径”可得“点在外”，由“点在外” 可得“点到圆心的距离大于圆的半径”，故点到圆心的距离大于圆的半径是点在外的充要条件，故A正确；
由“两个三角形的面积相等”推不出“两个三角形全等”，由“两个三角形全等”可得“两个三角形的面积相等”，所以“两个三角形的面积相等”是“两个三角形全等”的必要不充分条件，故B错误；
由“”可得“”，由“”可得“”，故“”是“”的充要条件，故C错误；
由“或为有理数”推不出“为有理数”，如，，不是有理数；由“为有理数”推不出“或为有理数”，如，此时为有理数，但“或为有理数”不成立.故“或为有理数”是“为有理数”的既不充分也不必要条件，故D正确.
故选：AD
6．设全集为，给出下列条件：①；②；③；④.其中是的充要条件的有___________ (填序号)
【答案】③
【解析】由、、，均等价于，
由，等价于，
所以的充要条件的有③.
故答案为：③
7．已知，，若是的充要条件，则实数___________．
【答案】5
【解析】因为，又，是的充要条件，
所以，解得实数．
故答案为：5
8．已知集合，集合．
(1)若，求；
(2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】见解析
【解析】(1)，
若，则集合，
所以，
则=；
(2)∵命题是命题的必要不充分条件，
∴集合是集合的真子集，
当时，，解得，
当时，，或，
解得，
综上所述，实数的取值范围为．
【能力拓展】
9．如果对于任意实数表示不超过的最大整数，例如，那么“”是“”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】如果，那么和的整数部分是相同的，所以，
即“”是“”的必要条件，
如果，那么和的整数部分不一定相同，
例如，所以“”不是“”的充分条件.
综上，“”是“的必要不充分条件.
故选：B.
10．（多选）对任意集合，记，并称为集合的相异集，则（ ）
A．
B．若，则
C．命题“若，则”为假命题
D．若，则是成立的充分必要条件
【答案】AD
【解析】对A，，A正确；
对B，若，当时，，，且，当时，假设，
则，故，B错误；
对C，若，则，C错误；
对D，由得，反之也成立，D正确．
故选：AD．
11．有限集合中元素的个数记做，设，都为有限集合，给出下列命题：
①的充要条件是
②的必要不充分条件是
③ 的充分不必要条件是
④的充要条件是
其中，真命题有__________.（填序号）
【答案】①②
【解析】①若，则集合与无重复元素，则，
即是的充分条件，
若，则集合与无重复元素，，
即是的必要条件，
综上所述的充要条件是，①正确；
②若，即集合中所有元素均属于集合，此时，
即，所以是的充分条件，
即是的必要条件，
若，无法判断集合中元素与集合的关系，
即不是的充分条件，
综上所述，的必要不充分条件是，②正确；
③若，无法判断集合中元素与集合的关系，
即不是 的充分条件，③错误；
④若，无法判断集合中元素与集合的关系，不能说明，④错误；
故答案为：①②.
【素养提升】
12．设集合．
(1)证明：“”是“”的充分不必要条件；
(2)写出“偶数属于”的一个充要条件并证明．
【答案】见解析
【解析】(1)设集合中的元素，所以．因为，所以，所以，则成立，故“”是“”的充分条件．
若，则，可取，设．因为，所以与有相同的奇偶性．因为为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，而2不是4的倍数，所以假设不成立，所以，故“，”是“”的不必要条件．
综上所述，“”是“”的充分不必要条件．
(2)“偶数属于”的一个充要条件是为偶数．
充分性：因为为偶数，所以设，所以，而，所以满足集合，所以偶数属于．
必要性：因为偶数属于，所以．因为，所以与有相同的奇偶性．因为为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，必为4的倍数，即k必为2的倍数，所以k为偶数．1.4.2 充要条件
【基础巩固】
1．已知，，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．“”成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
3．设，则“”的充要条件为（ ）
A．至少有一个为1 B．都为1
C．都不为1 D．
4．已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（多选）下列选项中正确的是（ ）
A．点到圆心的距离大于圆的半径是点在外的充要条件
B．两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分而不必要条件
C．是的必要而不充分条件
D．或为有理数是为有理数的既不充分又不必要条件
6．设全集为，给出下列条件：①；②；③；④.其中是的充要条件的有___________ (填序号)
7．已知，，若是的充要条件，则实数___________．
8．已知集合，集合．
(1)若，求；
(2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【能力拓展】
9．如果对于任意实数表示不超过的最大整数，例如，那么“”是“”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10．（多选）对任意集合，记，并称为集合的相异集，则（ ）
A．
B．若，则
C．命题“若，则”为假命题
D．若，则是成立的充分必要条件
11．有限集合中元素的个数记做，设，都为有限集合，给出下列命题：
①的充要条件是
②的必要不充分条件是
③ 的充分不必要条件是
④的充要条件是
其中，真命题有__________.（填序号）
【素养提升】
12．设集合．
(1)证明：“”是“”的充分不必要条件；
(2)写出“偶数属于”的一个充要条件并证明．
