2.1.1　倾斜角与斜率 同步练习（含答案）2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.1.1　倾斜角与斜率
同步练习
考点一　直线的倾斜角与斜率
1．(多选题)下列说法中，错误的是（ ）
A．任何一条直线都有唯一的斜率
B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大
C．任何一条直线都有唯一的倾斜角
D．若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等
2.已知直线l的倾斜角为,则直线l的斜率为(　　)
A.　　B.-1　　C.1　　D.
3.已知直线l经过两点(0,0),(0,1),直线l的倾斜角是直线m的倾斜角的两倍,则直线m的斜率是(　　)
A.0　　B.1　　C.-2　　D.不存在
4．（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角取值范围是
B．若直线的斜率为，则该直线的倾斜角为
C．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D．直线的倾斜角越大，其斜率就越大
5.如图,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则下列结论正确的是(　　)
A.k1>k2>k3　　B.k3>k1>k2　　
C.k2>k1>k3　　D.k26.若d=(0,-1)是直线l的一个方向向量,则直线l的倾斜角大小为　　　　.
7.若直线l的斜率k∈[1,),则直线l的倾斜角θ的取值范围为　　　　.
考点二　直线的斜率公式及其应用
8.若直线l过点A(1,0)和B(-1,2),则直线l的倾斜角为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
9.若直线l经过两点A(2,m),B(-m,2m-1),且l的倾斜角为45°,则m的值为(　　)
A.　　B.2　　C.1　　D.-
10．（多选题）下列说法中正确的是（ ）
A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为
C．若，，则直线的倾斜角为
D．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点
11.已知(-3,)是直线l的一个方向向量,则直线l的倾斜角为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
12.已知三点A(1,-1),B(a,3),C(4,5)在同一直线上,则实数a的值是　　　　.
13.过点P(0,-1)作直线l,若直线l与连接A(-2,1),B(2,1)两点的线段总有公共点,则直线l的倾斜角的范围为　　　　.
14.已知坐标平面内两点M(m+3,2m+5),N(m-2,1).
(1)当m为何值时,直线MN的倾斜角为锐角
(2)当m为何值时,直线MN的倾斜角为钝角
(3)直线MN的倾斜角可能为直角吗
考点三　直线斜率的综合应用
15.已知实数x,y满足y=2x-1,且-1≤x≤2,则的取值范围为(　　)
A.∪[3,+∞)　　B.
C.∪[3,+∞)　　D.
16.如图,直线y=x+3交x轴于A点,将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O处,另两个顶点M,N恰好落在直线y=x+3上,若点N在第二象限内,则tan∠AON的值为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
17.已知A(a+2,a),B(1,-a),C(a-4,a-1)三点构成一个三角形,则实数a的取值范围是　　　　　　.
18.足球是一项很受欢迎的体育运动.如图,某标准足球场的底线宽为AB,球门宽为EF,且|AB|=72码,|EF|=8码(码是英制单位,1码≈0.914 4米),球门位于底线的正中位置.在比赛过程中,攻方球员带球运动时,往往需要找到一点P,使得∠EPF最大,这时候点P就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点O处(|OA|=|AB|,OA⊥AB)时,根据场上形势判断,有O→A,O→B两条进攻路线可供选择.
(1)若选择路线O→A,则甲带球多少码时,到达最佳射门位置
(2)若选择路线O→B,则甲带球多少码时,到达最佳射门位置
答案
1．ABD
解析　A错，因为倾斜角为90°的直线没有斜率；B错，因为0°<α<90°时，k>0，90°<α<180°时，k<0；C显然对；若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，D错．
2.C　直线l的斜率k=tan =1.
3.B　∵直线l经过两点(0,0),(0,1),∴直线l的倾斜角为90°,又直线l的倾斜角是直线m的倾斜角的两倍,∴直线m的倾斜角为45°,其斜率km=tan 45°=1.
4．AC
A：直线倾斜角范围为，正确；
B：当直线斜率为，则该直线的倾斜角为内正切值为的角，错误；
C：平面内所有直线都有倾斜角，当倾斜角为90°时没有斜率，正确；
D：倾斜角为锐角时斜率为正，倾斜角为钝角时斜率为负，错误.
故选：AC
5.C　易知k=tan α,作出函数y=tan x在∪上的图象,如图所示,
由题图知直线l3的倾斜角为钝角,对应所作的图象可知k3<0;
直线l1与l2的倾斜角都为锐角,且l2的倾斜角大于l1的倾斜角,则k2>k1>0,故k2>k1>k3.
6.答案　
解析　∵d=(0,-1)是直线l的一个方向向量,∴直线l与y轴重合,∴直线l的倾斜角大小为.
7.答案　
解析　根据斜率k∈[1,),k=tan θ,θ∈[0,π),可知θ在范围内,又k=tan θ在上单调递增,所以倾斜角θ的取值范围为.
8.B　设直线l的倾斜角为θ,则0≤θ<π,
由直线l过点A(1,0)和B(-1,2),知直线l的斜率k==-,则有tan θ=-,故θ=.
9.D　由题意得=1,解得m=-.
10．CD
A：倾斜角为锐角，斜率为正；倾斜角为钝角时，斜率为负，错；
B：直线的倾斜角为时，直线的斜率不存在，错；
C：由题设，知两点横坐标相同，直线方程为，直线的倾斜角为，对；
D：过，两点的斜率为：，对.
故选：CD.
11.D　由直线l的方向向量可知直线l的斜率为=-,
设其倾斜角为θ,θ∈[0,π),则tan θ=-,解得θ=.
12.答案　3
解析　∵三点A(1,-1),B(a,3),C(4,5)在同一直线上,且kAC存在,
∴kAB=kAC,即=,解得a=3.
13.答案　
解析　如图,kPB==,kPA==-1,所以直线PB,PA的倾斜角分别为,.
设直线l的倾斜角为θ,因为直线l经过点P(0,-1),且与线段AB总有公共点,所以结合图可知≤θ≤.
14.解析　(1)若倾斜角为锐角,则斜率大于0,
即kMN==>0,解得m>-2.
(2)若倾斜角为钝角,则斜率小于0,
即kMN==<0,解得m<-2.
(3)当直线MN垂直于x轴时,直线的倾斜角为直角,此时m+3=m-2,此方程无解,故直线MN的倾斜角不可能为直角.
15.D　对于y=2x-1,当x=-1时,y=-3,当x=2时,y=3,记A(-1,-3),B(2,3),则点(x,y)在线段AB上移动,设Q(3,6),如图所示,
则kQA==,kQB==3,
易知的几何意义是点(3,6)与点(x,y)连线的斜率,所以结合图可知的取值范围是.
16.A　设直线y=x+3与y轴的交点为B,倾斜角为α,则A(-4,0),B(0,3),且tan α==,又∠ONM=,
所以由三角形的外角定理得∠AON=-α,
因此tan∠AON=tan===.
17.答案　∪
解析　由A(a+2,a),C(a-4,a-1),知kAC==.当a+2=1,即a=-1时,A(1,-1),B(1,1),C(-5,-2),则直线AB的斜率不存在,此时A,B,C三点能构成一个三角形;当a+2≠1,即a≠-1时,由A(a+2,a),B(1,-a),知kAB=,要使A,B,C三点能构成一个三角形,则kAB≠kAC,即≠,解得a≠.综上可得,实数a的取值范围为∪.
18.解析　(1)若选择路线O→A,设|AP|=t码,其中0tan∠APE==,tan∠APF==,
所以tan∠EPF=tan(∠APF-∠APE)
=
===≤=,
当且仅当t=,即t=16时,等号成立,
此时|OP|=|OA|-|AP|=(72-16)码.
由题意知∠EPF∈,因为函数y=tan x在上单调递增,所以tan∠EPF最大时,∠EPF最大,
所以若选择路线O→A,则甲带球(72-16)码时,到达最佳射门位置.
(2)若选择路线O→B,设线段EF的中点为N,以N为坐标原点,,的方向分别为x轴,y轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系,
则B(-36,0),O(36,72),F(-4,0),E(4,0),
则kOB==1,则∠OBA=45°,
过P作x轴的垂线,垂足为M,
设点P(x,x+36),其中-36当x≠±4时,tan∠AFP=kPF=,tan∠AEP=kPE=,
所以tan∠EPF=tan(∠AEP-∠AFP)
=
===,
令m=x+36,则m∈(0,72],x=m-36,
所以(x+36)+=m+=2m+-72≥2-72=32-72,
当且仅当2m=,即m=8,即x=8-36时等号成立,
所以tan∠EPF=≤=,当且仅当x=8-36时等号成立,
此时|OP|=|36-(8-36)|=(72-16)码;
当x=4时,P(4,40),tan∠EPF===;
当x=-4时,P(-4,32),tan∠EPF===.
由题意知∠EPF∈,因为函数y=tan x在上单调递增,所以tan∠EPF最大时,∠EPF最大,
所以若选择路线O→B,则甲带球(72-16)码时,到达最佳射门位置.