2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 同步练习（含答案）2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.1.2　两条直线平行和垂直的判定
同步练习
考点一　两条直线平行
1.下列说法正确的有(　　)
①若两直线斜率相等,则两直线平行;
②若两直线平行,则两直线斜率相等;
③若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交;
④若两直线的斜率都不存在,则两直线平行.
A.1个　　B.2个　　
C.3个　　D.4个
2.已知直线l1的一个方向向量为(-1,2),直线l2的一个方向向量为(m,6),若l1∥l2,则m=(　　)
A.-3　　B.3　　C.6　　D.9
3.已知直线l1过点A(1,2),其方向向量为a1=(k,2),直线l2过点B(2,1),其方向向量为a2=,若l1∥l2,则k=(　　)
A.-2　　B.1　　C.-2或1　　D.0或2
4.(多选题)已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若△OAB为直角三角形,则以下可能成立的有(　　)
A.b=a3　　
B.b=a3+
C.∠AOB=90°　　
D.|b-a3|+b-a3-=0
5.已知直线l1的倾斜角为45°,若直线l2过点A(2,3),B(5,n),且l1∥l2,则n=　　　　.
考点二　两条直线垂直
6.已知直线l1,l2的斜率k1,k2是关于a的方程2a2+8a+n=0的两根,若l1⊥l2,则实数n=　　　　.
7.(1)判断下列各对直线是否平行或垂直:
①经过A(-1,-2),B(2,1)两点的直线l1,与经过点P(1,0)且斜率为-1的直线l2;
②经过C(3,1),D(3,0)两点的直线l3,与经过点M(1,-4),N(1,5)的直线l4;
(2)试确定m的值,使过A(m,1),B(-1,m)两点的直线与过P(1,2),Q(-5,0)两点的直线:
①平行;
②垂直.
考点三　两条直线平行和垂直的应用
8.已知直线l的倾斜角为20°,直线l1∥l,直线l2⊥l,则直线l1与l2的倾斜角分别是(　　)
A.20°,20°　　B.70°,70°　　
C.20°,110°　　D.110°,20°
9.已知两点A(2,0),B(3,4),直线l过点B,交y轴于点C(0,y),O是坐标原点,如果O,A,B,C四点共圆,那么y的值是(　　)
A.19　　B.　　C.5　　D.4
10.已知A(-1,0),B(2,2),C(5,-2)三点,则△ABC的边AB上的高所在直线的斜率是(　　)
A.-　　B.-　　C.　　D.3
11.已知l1,l2不重合,直线l1经过点A(-2,m)和点B(m,4),直线l2的斜率为-2,直线l3的斜率为-,若l1∥l2,l2⊥l3,则m+n的值为　　　　.
12.已知直线l1,l2,l3的斜率分别是k1,k2,k3,其中l1∥l2,且k1,k3是方程2x2-3x-2=0的两根,则k1+k2+k3的值为　　　　.
13.已知直线l1的一个方向向量为(b,a),直线l2的一个方向向量为(1-a,2),其中a,b为正数,若l1⊥l2,则3a+2b的最小值为　　　　.
14.光线从点A(-3,4)射出,到x轴上的点B后,被x轴反射到y轴上的点C,又被y轴反射,这时反射光线恰好过点D(-1,6),则光线BC所在直线的斜率是　　　　.
15.某县相邻两镇在同一平面直角坐标系中的位置分别为A(-3,-4),B(6,3),交通枢纽的位置为C(0,-1),计划经过C修建一条马路l(l看成一条直线,l的斜率为k).若A,B两个镇到马路l的距离相等,则k=　　　　;若A,B两个镇位于马路l的两侧,则k的取值范围为　　　　　　　.
16.已知坐标平面内三点A(-2,-4),B(2,0),C(-1,1).
(1)求直线AB的斜率和倾斜角;
(2)若A,B,C,D可以构成平行四边形,且点D在第一象限内,求点D的坐标;
(3)若E(m,n)是线段AC上一动点,求的取值范围.
17.如图所示,一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路,已知矩形花园的长为AD,宽为AB,且|AD|=5 m,|AB|=3 m,其中一条小路定为AC,另一条小路过点D,在BC上能否找到一点M,使得两条小路所在直线AC与DM相互垂直
答案
1.C　①正确,两直线斜率相等时,倾斜角一定相等,故平行;②不正确,当两直线平行时,两直线的斜率相等或均不存在;③正确,两直线的倾斜角不相等,则一定相交;易知④正确.
2.A　记a=(-1,2),b=(m,6),
由于l1∥l2,所以a∥b,因此可得2m=-6,解得m=-3.
3.B　因为l1∥l2,所以a1∥a2,因此k2-2=0,解得k=1或k=-2,
当k=1时,两直线的斜率均为2,又kAB=-1,故满足题意;
当k=-2时,两直线的斜率均为-1,又kAB=-1,故此时两直线重合,舍去.
综上,k=1.
4.AB　由题意知a≠0,b≠0.若O为直角顶点,则B在x轴上,则a必为0,此时O,B重合,不符合题意,故C错误;若A为直角顶点,则b=a3,故A正确;若B为直角顶点,则OB⊥AB,故kOB·kAB=-1,即a2·=-1,所以a(a3-b)=-1,即b=a3+,故B正确;b=a3和b=a3+不可能同时成立,所以|b-a3|+b-a3-=0不可能成立,故D错误.
5.答案　6
解析　因为直线l1的倾斜角为45°,所以=1.
又l1∥l2,所以==1,解得n=6.
6.答案　-2
解析　若l1⊥l2,则k1·k2=-1,即=-1,可得n=-2.
7.解析　(1)①因为直线l1经过A(-1,-2),B(2,1)两点,所以==1,
又直线l2的斜率为-1,所以·=-1,
则直线l1与直线l2垂直.
②易知l3与l4都与x轴垂直,且l3与l4不重合,所以l3与l4平行.
(2)易得过P(1,2),Q(-5,0)两点的直线的斜率kPQ==.
①当直线AB与直线PQ平行时,kAB==kPQ=,解得m=.
②当直线AB与直线PQ垂直时,kAB·kPQ=×=-1,解得m=-2.
8.C　∵l1∥l,∴直线l1的倾斜角与直线l的倾斜角相等,即为20°.∵l2⊥l,∴直线l2向上的方向与x轴负向之间所成的角为70°,因此直线l2的倾斜角为110°.
9.B　由于A,B,C,O四点共圆,所以四边形OABC的对角互补,所以AB⊥BC,∴kAB·kBC=-1,即·=-1,∴y=.
10.B　∵kAB==,∴所求直线斜率k==-.
11.答案　-10
解析　由题意可得,直线l1的斜率为,且=-2,解得m=-8.
由于直线l3的斜率为-,l2⊥l3,所以-2×=-1,解得n=-2.所以m+n=-10.
12.答案　1或
解析　因为k1,k3是方程2x2-3x-2=0的两根,所以或
又l1∥l2,所以k1=k2,
所以k1+k2+k3=1或k1+k2+k3=.
13.答案　7+4
解析　由两直线垂直,知两直线的方向向量垂直,即两方向向量的数量积为零,可得b(1-a)+2a=0,即2a+b=ab,所以+=1,
由a>0,b>0得3a+2b=(3a+2b)=7++≥7+4,当且仅当=,即a=1+,b=+2时取等号.
14.答案　
解析　设B(a,0),C(0,b),过点B,C分别作x轴,y轴的垂线交于点E,如图,
则∠E=90°,所以∠ECB+∠EBC=90°,
所以2∠ECB+2∠EBC=180°,
由反射角等于入射角,得∠EBC=∠ABE,∠DCE=∠BCE,所以∠DCB+∠ABC=180°,
所以AB∥CD,故kAB=kCD,即=,得ab-6a+3b-14=0,
又由反射角等于入射角,可得直线AB的倾斜角与直线BC的倾斜角互补,所以kAB=-kBC,即=-,即ab+4a+3b=0,
联立解得
故B,C,所以kBC==.
15.答案　或;∪(1,+∞)
解析　若A,B两个镇到马路l的距离相等,则有两种情况:当l与直线AB平行时,k==;当l与直线AB相交时,直线l过线段AB的中点,又线段AB的中点为,所以k==.故k=或k=.易得kAC==1,kBC==,若A,B两个镇位于马路l的两侧,则k的取值范围为∪(1,+∞).
16.解析　(1)因为A(-2,-4),B(2,0),所以kAB==1,由直线倾斜角与斜率的关系可得倾斜角为.
(2)设D(x,y),由题意知四边形ABDC为平行四边形,如图,
可得kAC=kBD,kCD=kAB,即即解得即点D的坐标为(3,5).
(3)易知即为B点与线段AC上的E点连线的斜率,
结合图可知kBE∈[kBC,kBA],而kBC==-,kBA==1,
所以的取值范围为.
17.解析　以B为坐标原点,,的方向分别为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则C(5,0),D(5,3),A(0,3).由题可设M(x,0),0