2.1.2两条直线平行和垂直的判定 同步练（含答案）2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

两条直线平行和垂直的判定
一．单选题
1．过点A(2,5)和点B(－4,5)的直线与直线y＝3的位置关系是(　　)
A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对
2．直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为(　　)
A．－ B. C．－ D.
3．已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是(　　)
A．平行 B．垂直
C．可能重合 D．无法确定
4．若直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，则实数a的值为(　　)
A．1 B．3
C．0或1 D．1或3
5.若直线l1的倾斜角为135°，直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，则直线l1与l2的位置关系是(　　)
A．垂直 B．平行
C．重合 D．平行或重合
6．已知A(1，－1)，B(2,2)，C(3,0)三点，且有一点D满足CD⊥AB，CB∥AD，则D点的坐标为(　　)
A．(－1,0) B．(0，－1)
C．(1,0) D．(0,1)
二多选题
7.若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数的值为（ ）
A． B．1 C． D．5
8.已知点A(m,3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
9.设平面内四点P(－4,2)，Q(6，－4)，R(12,6)，S(2,12)，下面四个结论正确的是(　　)
A．PQ∥SR B．PQ⊥PS
C．PS∥QS D．PR⊥QS
10.已知点到直线的距离相等，则实数a的值可以为（ ）
A． B． C．1 D．2
三．填空题
11.已知点A(－2，－5)，B(6,6)，点P在y轴上，且∠APB＝90°，则点P 的坐标为 ．
12.若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，其中a＋b≠3，则线段PQ的垂直平分线的斜率为 ．
13．已知△ABC的顶点B(2,1)，C(－6,3)，其垂心为H(－3，2)，则其顶点A的坐标为 ．
14．已知点A(－1,3)，B(4,2)，以AB为直径作圆，与x轴有交点C，则交点C的坐标是 ．
四．解答题
15.当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：
(1)倾斜角为135°；
(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直；
(3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行．
16.已知在 ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)．
(1)求点D的坐标；
(2)试判定 ABCD是否为菱形？
17．已知M(1，－1)，N(2,2)，P(3,0)．
(1)求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ；
(2)若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角．
18.已知坐标平面内三点．
(1)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标；
(2)若是线段上一动点，求的取值范围．
19.已知的顶点，，．
(1)若是以点为直角顶点的直角三角形，求实数的值．
(2)若是以点为锐角顶点的直角三角形，求实数的值．
(3)若为直角三角形，如何求解的值？
1.答案　B
解析　斜率都为0且不重合，所以平行．
2.答案　C
解析　如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，则l2的倾斜角等于30°＋90°＝120°，
∴l2的斜率为tan 120°＝－tan 60°＝－.
3.答案　B
解析　由方程3x2＋mx－3＝0，知Δ＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立．
故方程有两相异实根，即l1与l2的斜率k1，k2均存在．设两根为x1，x2，则k1k2＝x1x2＝－1，
所以l1⊥l2，故选B.
4.答案　D
解析　因为l1⊥l2，
所以k1·k2＝－1，
即×＝－1，
解得a＝1或a＝3.
5.答案　D
解析　直线l1的倾斜角为135°，
故斜率＝tan 135°＝－1.
由l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，
得＝＝－1，
所以，
所以直线l1与l2平行或重合．
6.答案　D
解析　设D(x，y)，
则kCD＝＝，kAD＝.
kAB＝＝3，kCB＝＝－2，
又CD⊥AB，CB∥AD，
∴∴
∴∴即D(0,1)．
7.由斜率的定义，直线的斜率，
因为，则，解得或，
代入验证或时，两点横坐标均不同，直线的斜率均存在，
故或均满足题意，
故选：AD.
8.答案　BC
解析　当m＝0时，直线AB与直线CD的斜率均不存在且不重合，此时AB∥CD.
当m≠0时，kAB＝，kCD＝，
则kAB＝kCD，即＝，得m＝1，∴m＝0或1.
9.答案　ABD
解析　由斜率公式知，
kPQ＝＝－，kSR＝＝－，kPS＝＝，kQS＝＝－4，kPR＝＝，
∴PQ∥SR，PQ⊥PS，PR⊥QS.而kPS≠kQS，
∴PS与QS不平行，故ABD正确．
10.由点，可得的中点坐标，且，
因为点到直线的距离相等，
当直线过点的中点，可得，解得；
当直线时，可得，即，
综上可得，实数的值为或，
故选：AB.
11.答案　(0，－6)或(0,7)
解析　设点P的坐标为(0，y)．
因为∠APB＝90°，
所以AP⊥BP，
又kAP＝，kBP＝，kAP·kBP＝－1，
所以·＝－1，
解得y＝－6或y＝7.
所以点P的坐标为(0，－6)或(0,7)．
12.答案　－1
解析　由过两点的直线的斜率公式可得kPQ＝＝1，所以线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.
13.答案　(－19，－62)
解析　设A(x，y)，
因为AC⊥BH，AB⊥CH，且kBH＝－，kCH＝－，
所以解得所以A(－19，－62)．
14.答案　(1,0)或(2,0)
解析　以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C，则AC⊥BC.设C(x,0)，则kAC＝，kBC＝，
所以·＝－1，解得x＝1或x＝2，
所以交点C的坐标是(1,0)或(2,0)．
15.解　(1)由kAB＝＝tan 135°＝－1，
解得m＝－或m＝1.
(2)由kAB＝，且＝3，
得＝－，
解得m＝或m＝－3.
(3)令＝＝－2，解得m＝或m＝－1.
经检验，当m＝或m＝－1时，均符合题意．
16.解　(1)设D点坐标为(a，b)，因为四边形ABCD为平行四边形，所以kAB＝kCD，kAD＝kBC，
所以　　解得
所以D(－1,6)．
(2)因为kAC＝＝1，kBD＝＝－1，
所以kAC·kBD＝－1，
所以AC⊥BD，所以 ABCD为菱形．
17.解　(1)设Q(x，y)，由已知得kMN＝3，
由PQ⊥MN，可得kPQ·kMN＝－1，
即×3＝－1.①
由已知得kPN＝－2，
由PN∥MQ，可得kPN＝kMQ，
即＝－2.②
联立①②求解得x＝0，y＝1，即Q(0,1)．
(2)设Q(x,0)，
∵∠NQP＝∠NPQ，
∴kNQ＝－kNP.
又∵kNQ＝，kNP＝－2，
∴＝2，即x＝1，
∴Q(1,0)．
又∵M(1，－1)，
∴MQ⊥x轴，
故直线MQ的倾斜角为90°.
18.（1）如图，当点在第一象限时，，

设，则，解得，
故点的坐标为.
（2）由题意得为直线的斜率，如图，

当点与点重合时，直线的斜率最小，；
当点与点重合时，直线的斜率最大，．
故直线的斜率的取值范围为，
即的取值范围为．
19.（1）因为为直角顶点，所以，
由题可知直线，的斜率存在，所以，即，解得．
（2）由于为锐角顶点，为直角三角形，故或为直角顶点．
若为直角顶点，则，由题可知直线，的斜率存在，
所以，即，解得；
若为直角顶点，则，由题可知直线，的斜率存在，
所以，即，解得．
综上可知，或．
（3）若为直角顶点，由（1）知；
若为直角顶点，由（2）知；
若为直角顶点，由（2）知．
综上可知，或或．