2.2.1直线的点斜式方程 同步练习（含解析）2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 2.2.1直线的点斜式方程 同步练习（含解析）2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 672.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-26 08:57:30 | ||
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文档简介
2.2.1 直线的点斜式方程
一、单选题
1．过点且倾斜角为的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．过点，且倾斜角为的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．直线过点，，则直线在轴上的截距是（ ）
A． B．3 C． D．
4．直线经过点，它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．一次函数与为常数，且，它们在同一坐标系内的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知点，，直线方程为，且直线与线段相交，求直线的斜率的取值范围为
A．或 B．或
C． D．
7．若直线（m＞0，n＞0）过点（1，﹣2），则最小值
A．2 B．6
C．12 D．3+2
二、多选题
8．已知直线l过点，且与轴和轴围成一个内角为的直角三角形，则满足条件的直线l的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
9．下列说法中正确的是（ ）
A．若直线斜率为，则它的倾斜角为
B．若，，则直线的倾斜角为
C．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点
D．若直线的斜率为，则这条直线必过与两点
10．下列说法中，正确的有（ ）
A．过点且在轴截距相等的直线方程为
B．直线在y轴上的截距是；
C．直线的倾斜角是
D．过点并且倾斜角为的直线方程为
三、填空题
11．在平面直角坐标系xOy中，已知为等腰三角形，，，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为 ．
12．直线过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程：
13．已知点和则过点且与的距离相等的直线方程为 ;
14．如图，四个边长均相等的等边三角形有一条边在同一条直线上，边上有10个不同的点，，记，若，则等边三角形的边长为 .
四、解答题
15．已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为，，.
(1)求平行四边形ABCD的顶点D的坐标.
(2)求边AB的高所在直线方程.
16．三角形的三个顶点是．
（1）求边所在的直线的方程；
（2）求的面积．
17．如图，已知三角形的顶点为A(2,4)，B(0，－2)，C(－2,3)，求：
(1)直线AB的方程；
(2)AB边上的高所在直线的方程；
(3)AB的中位线所在的直线方程．
18．直线过点，且分别与，轴的正半轴交于，两点，为原点，
（1）求面积最小值时，的方程；
（2）求取最小值时，的方程.
《2.2.1直线的点斜式方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D D C A D ABC ABC BD
1．B
【分析】由题意知直线斜率为1，根据点斜式即可写出直线方程化简即可得解.
【详解】过点，且倾斜角为的直线斜率为1，则，即．
故选：B．
2．B
【分析】倾斜角为的直线斜率不存在，可解.
【详解】过点，且倾斜角为的直线垂直于轴，
其方程为.
故选：B
3．D
【分析】求出直线的方程，令可解.
【详解】由题可得直线的斜率，
再由点斜式方程可得，
化简可得，令，
则直线在轴上的截距为．
故选：D．
4．D
【分析】根据题意，求得直线的倾斜角为，得到的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解.
【详解】设直线的倾斜角为，其中
由直线，可得斜率为，即，可得，
根据题意，可得直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
因为直线经过点，可得直线的方程为.
故选：D.
5．C
【分析】根据图象分析b、k取值符号进行判断即可．
【详解】对于选项A中，直线的直线的∴A错；
对于选项B中，直线的直线的，∴B错；
对于选项C中，直线的直线的∴C对；
对于选项D中，直线的直线的∴D错．
故选：C．
6．A
【分析】本题首先可以根据直线方程来确定直线过定点，然后根据题意绘出直线与线段相交的图像并求出与的值，最后根据图像即可得出结果．
【详解】因为直线方程为，即，
所以直线过定点，
根据，，直线与线段相交，可绘出图像：
因为，，
所以直线的斜率的取值范围为或 ，故选A．
【点睛】本题考查直线的斜率的取值范围，能否确定直线的旋转范围是解决本题的关键，考查直线的点斜式方程的应用，考查数形结合思想，是中档题．
7．D
【分析】根据直线2mx﹣ny﹣2=0（m＞0，n＞0）过点（1，﹣2），建立m，n的关系，利用基本不等式即可求的最小值．
【详解】∵直线2mx﹣ny﹣2=0（m＞0，n＞0）过点（1，﹣2），
∴2m+2n﹣2=0，即m+n=1，
∵= （m+n）=3+≥3+2，
当且仅当，即n=m时取等号，
∴的最小值为3+2，
故答案为D
【点睛】（1）本题主要考查基本不等式，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)几解题的关键是常量代换=（m+n）,再利用基本不等式求最小值.
8．ABC
【分析】由题意，求出直线的倾斜角可以是或或或，从而可得直线斜率，利用点斜式可写出直线方程，最后检验即可得答案.
【详解】解：由题意，直线的倾斜角可以是或或或，
所以直线的斜率或或或，
所以直线的方程可以为或或 或，
由，整理得，此时直线过原点，无法与轴和轴围成直角三角形.
故选：ABC.
9．ABC
【分析】根据斜率与倾斜角关系以及两点间斜率公式，结合直线的点斜式方程可判断ABC；举反例可排除D.
【详解】对于A，设直线的倾斜角为，则由题意得，所以，故A正确；
对于B，因为，，所以直线与轴垂直，则其斜率不存在，故其倾斜角为，故B正确；
对于C，因为直线过定点，且斜率为，所以直线的方程为，即，
易知，故直线必过，故C正确；
对于D，不妨取，满足直线的斜率为，但显然该直线不过与两点，故D错误．
故选：ABC.
10．BD
【分析】求出截距相等的直线方程判断A，求出直线的纵截距判断B，由直线方程求得倾斜角判断C，根据倾斜角得出直线方程判断D．
【详解】解：对A：过点且在x，y轴截距相等的直线方程，要分直线过原点和不过原点两种情况讨论，当直线过原点时，直线方程为；当直线不过原点时，直线方程为，所以A错误.
对B：直线在y轴上的截距，令，得，所以直线在y轴上的截距为，所以B正确.
对C：直线的斜率为，设倾斜角为，则，所以，所以C错误.
对D：过点并且倾斜角为，斜率不存在，所以直线方程为，即，所以D正确.
故选：BD.
11．
【分析】根据倾斜角与斜率的关系以及点斜式即可求解直线方程.
【详解】因为，所以，即，所以直线AB的方程为，即．
故答案为：
12．或
【分析】根据题意，根据在坐标轴上的截距相等，分类讨论，即可求解所求直线的方程.
【详解】由题意，当直线过原点时，此时所求直线的斜率为，所以所求直线的方程为，即；
当直线不过原点时，设直线的方程为，又由直线过点，
代入得，即直线的方程为，
所以直线过点，且在两坐标轴上的截距相等方程为或.
【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，其中解答中根据直线在坐标轴上的截距相等，分类讨论求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题.
13．x+4y-7=0或x=-1
【分析】由题意可知结果存在两种情况，一种是过点C的直线与直线AB平行，可通过斜率求直线，另一种是过点C的直线经过A、B中点，可以通过两点的位置特点求直线.
【详解】①当过点C的直线与直线AB平行时，设过点C的直线的斜率为k，直线AB斜率，
则，由点斜式可得直线为：，化简得：；
②当过点C的直线经过A、B中点时，中点坐标为：，与点C的横坐标相同，
所以直线方程为.
【点睛】本题考查两点与直线距离相等的几何性质，由几何法解题不易出现漏解多解等情况，本题也可以直接利用两点到直线距离相等的公式求解，易漏掉斜率不存在的情况.
14．3
【分析】建立平面直角坐标系，求出直线的方程，将代入直线的方程，并用向量的坐标表示出，和上式联立，即可得出，最后求出等边三角形的边长.
【详解】设等边三角形边长为，以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
则，，，，
直线的斜率为：，方程为：，
设，因为在上，所以，
且，依题意，，所以，解得（负的舍去），即等边三角形的边长为3.
故答案为：3.
15．(1)
(2)
【分析】（1）结合中点坐标公式求得正确答案.
（2）结合点斜式求得求边AB的高所在直线方程.
【详解】（1）的顶点，，，则对角线AC中点为.
于是得对角线BD的中点是，设，因此有，，
解得：.
所以平行四边形ABCD的顶点.
（2）依题意，直线AB的斜率，
则边AB上的高所在直线的斜率为，于是有：，
即.
所以边AB上的高所在直线的方程为.
16．（1）（2）17
【详解】分析：（1）由斜率公式可得，由点斜式整理为一般式可得直线方程为.
（2）结合点到直线距离公式可得到的距离，由两点之间距离公式可得，则三角形的面积为．
详解：（1），，即.
（2）到的距离，
，
故．
点睛：本题主要考查直线方程的求解，点到直线距离公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
17．（1）3x－y－2＝0.（2）x＋3y－7＝0.（3）6x－2y＋7＝0.
【分析】（1）根据斜率公式和题意求出直线AB的斜率，再代入点斜式方程化为一般式即可；
（2）设AB边上的高所在的直线方程为y＝－x＋m，由直线过点C(－2,3)，求出的值，可得AB边上的高所在直线的方程；
（3）根据AB边的中位线与AB平行且过AC中点(0，)，求得AB的中位线所在的直线方程.
【详解】(1)由已知直线AB的斜率＝＝3，
∴直线AB的方程为y＝3x－2，即3x－y－2＝0.
(2)设AB边上的高所在的直线方程为y＝－x＋m，由直线过点C(－2,3)，
∴3＝＋m，解得m＝，故所求直线为y＝－x＋，即x＋3y－7＝0.
(3)AB边的中位线与AB平行且过AC中点(0，)，
∴AB的中位线所在的直线方程为y＝3x＋，即6x－2y＋7＝0.
【点睛】本题主要考查两条直线平行、垂直的性质，直线的斜率公式，用点斜式求直线的方程，属于基础题.
18．（1）；（2）.
【解析】（1）设方程为，点代入后，应用基本不等式求出的最小值等号成立条件，即得三角形面积取最小值时的直线方程．
（2）设直线的点斜式方程，求出，两点的坐标，代入的解析式，使用基本不等式，求出最小值等号成立条件即可得答案．
【详解】（1）设、，，，，
方程为，点代入得
，
当且仅当，且，解得，时，等号成立，
故三角形面积，
此时直线方程为：，
即．
（2）设直线，分别令，，
得，，．
则，
当且仅当，即时，取最小值，
又，
，
这时的方程为．
【点睛】本题考查直线在坐标轴上的截距的定义，直线的截距式、点斜式与一般方程的应用，以及基本不等式的应用，属于中档题．
一、单选题
1．过点且倾斜角为的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．过点，且倾斜角为的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．直线过点，，则直线在轴上的截距是（ ）
A． B．3 C． D．
4．直线经过点，它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．一次函数与为常数，且，它们在同一坐标系内的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知点，，直线方程为，且直线与线段相交，求直线的斜率的取值范围为
A．或 B．或
C． D．
7．若直线（m＞0，n＞0）过点（1，﹣2），则最小值
A．2 B．6
C．12 D．3+2
二、多选题
8．已知直线l过点，且与轴和轴围成一个内角为的直角三角形，则满足条件的直线l的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
9．下列说法中正确的是（ ）
A．若直线斜率为，则它的倾斜角为
B．若，，则直线的倾斜角为
C．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点
D．若直线的斜率为，则这条直线必过与两点
10．下列说法中，正确的有（ ）
A．过点且在轴截距相等的直线方程为
B．直线在y轴上的截距是；
C．直线的倾斜角是
D．过点并且倾斜角为的直线方程为
三、填空题
11．在平面直角坐标系xOy中，已知为等腰三角形，，，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为 ．
12．直线过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程：
13．已知点和则过点且与的距离相等的直线方程为 ;
14．如图，四个边长均相等的等边三角形有一条边在同一条直线上，边上有10个不同的点，，记，若，则等边三角形的边长为 .
四、解答题
15．已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为，，.
(1)求平行四边形ABCD的顶点D的坐标.
(2)求边AB的高所在直线方程.
16．三角形的三个顶点是．
（1）求边所在的直线的方程；
（2）求的面积．
17．如图，已知三角形的顶点为A(2,4)，B(0，－2)，C(－2,3)，求：
(1)直线AB的方程；
(2)AB边上的高所在直线的方程；
(3)AB的中位线所在的直线方程．
18．直线过点，且分别与，轴的正半轴交于，两点，为原点，
（1）求面积最小值时，的方程；
（2）求取最小值时，的方程.
《2.2.1直线的点斜式方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D D C A D ABC ABC BD
1．B
【分析】由题意知直线斜率为1，根据点斜式即可写出直线方程化简即可得解.
【详解】过点，且倾斜角为的直线斜率为1，则，即．
故选：B．
2．B
【分析】倾斜角为的直线斜率不存在，可解.
【详解】过点，且倾斜角为的直线垂直于轴，
其方程为.
故选：B
3．D
【分析】求出直线的方程，令可解.
【详解】由题可得直线的斜率，
再由点斜式方程可得，
化简可得，令，
则直线在轴上的截距为．
故选：D．
4．D
【分析】根据题意，求得直线的倾斜角为，得到的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解.
【详解】设直线的倾斜角为，其中
由直线，可得斜率为，即，可得，
根据题意，可得直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
因为直线经过点，可得直线的方程为.
故选：D.
5．C
【分析】根据图象分析b、k取值符号进行判断即可．
【详解】对于选项A中，直线的直线的∴A错；
对于选项B中，直线的直线的，∴B错；
对于选项C中，直线的直线的∴C对；
对于选项D中，直线的直线的∴D错．
故选：C．
6．A
【分析】本题首先可以根据直线方程来确定直线过定点，然后根据题意绘出直线与线段相交的图像并求出与的值，最后根据图像即可得出结果．
【详解】因为直线方程为，即，
所以直线过定点，
根据，，直线与线段相交，可绘出图像：
因为，，
所以直线的斜率的取值范围为或 ，故选A．
【点睛】本题考查直线的斜率的取值范围，能否确定直线的旋转范围是解决本题的关键，考查直线的点斜式方程的应用，考查数形结合思想，是中档题．
7．D
【分析】根据直线2mx﹣ny﹣2=0（m＞0，n＞0）过点（1，﹣2），建立m，n的关系，利用基本不等式即可求的最小值．
【详解】∵直线2mx﹣ny﹣2=0（m＞0，n＞0）过点（1，﹣2），
∴2m+2n﹣2=0，即m+n=1，
∵= （m+n）=3+≥3+2，
当且仅当，即n=m时取等号，
∴的最小值为3+2，
故答案为D
【点睛】（1）本题主要考查基本不等式，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)几解题的关键是常量代换=（m+n）,再利用基本不等式求最小值.
8．ABC
【分析】由题意，求出直线的倾斜角可以是或或或，从而可得直线斜率，利用点斜式可写出直线方程，最后检验即可得答案.
【详解】解：由题意，直线的倾斜角可以是或或或，
所以直线的斜率或或或，
所以直线的方程可以为或或 或，
由，整理得，此时直线过原点，无法与轴和轴围成直角三角形.
故选：ABC.
9．ABC
【分析】根据斜率与倾斜角关系以及两点间斜率公式，结合直线的点斜式方程可判断ABC；举反例可排除D.
【详解】对于A，设直线的倾斜角为，则由题意得，所以，故A正确；
对于B，因为，，所以直线与轴垂直，则其斜率不存在，故其倾斜角为，故B正确；
对于C，因为直线过定点，且斜率为，所以直线的方程为，即，
易知，故直线必过，故C正确；
对于D，不妨取，满足直线的斜率为，但显然该直线不过与两点，故D错误．
故选：ABC.
10．BD
【分析】求出截距相等的直线方程判断A，求出直线的纵截距判断B，由直线方程求得倾斜角判断C，根据倾斜角得出直线方程判断D．
【详解】解：对A：过点且在x，y轴截距相等的直线方程，要分直线过原点和不过原点两种情况讨论，当直线过原点时，直线方程为；当直线不过原点时，直线方程为，所以A错误.
对B：直线在y轴上的截距，令，得，所以直线在y轴上的截距为，所以B正确.
对C：直线的斜率为，设倾斜角为，则，所以，所以C错误.
对D：过点并且倾斜角为，斜率不存在，所以直线方程为，即，所以D正确.
故选：BD.
11．
【分析】根据倾斜角与斜率的关系以及点斜式即可求解直线方程.
【详解】因为，所以，即，所以直线AB的方程为，即．
故答案为：
12．或
【分析】根据题意，根据在坐标轴上的截距相等，分类讨论，即可求解所求直线的方程.
【详解】由题意，当直线过原点时，此时所求直线的斜率为，所以所求直线的方程为，即；
当直线不过原点时，设直线的方程为，又由直线过点，
代入得，即直线的方程为，
所以直线过点，且在两坐标轴上的截距相等方程为或.
【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，其中解答中根据直线在坐标轴上的截距相等，分类讨论求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题.
13．x+4y-7=0或x=-1
【分析】由题意可知结果存在两种情况，一种是过点C的直线与直线AB平行，可通过斜率求直线，另一种是过点C的直线经过A、B中点，可以通过两点的位置特点求直线.
【详解】①当过点C的直线与直线AB平行时，设过点C的直线的斜率为k，直线AB斜率，
则，由点斜式可得直线为：，化简得：；
②当过点C的直线经过A、B中点时，中点坐标为：，与点C的横坐标相同，
所以直线方程为.
【点睛】本题考查两点与直线距离相等的几何性质，由几何法解题不易出现漏解多解等情况，本题也可以直接利用两点到直线距离相等的公式求解，易漏掉斜率不存在的情况.
14．3
【分析】建立平面直角坐标系，求出直线的方程，将代入直线的方程，并用向量的坐标表示出，和上式联立，即可得出，最后求出等边三角形的边长.
【详解】设等边三角形边长为，以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
则，，，，
直线的斜率为：，方程为：，
设，因为在上，所以，
且，依题意，，所以，解得（负的舍去），即等边三角形的边长为3.
故答案为：3.
15．(1)
(2)
【分析】（1）结合中点坐标公式求得正确答案.
（2）结合点斜式求得求边AB的高所在直线方程.
【详解】（1）的顶点，，，则对角线AC中点为.
于是得对角线BD的中点是，设，因此有，，
解得：.
所以平行四边形ABCD的顶点.
（2）依题意，直线AB的斜率，
则边AB上的高所在直线的斜率为，于是有：，
即.
所以边AB上的高所在直线的方程为.
16．（1）（2）17
【详解】分析：（1）由斜率公式可得，由点斜式整理为一般式可得直线方程为.
（2）结合点到直线距离公式可得到的距离，由两点之间距离公式可得，则三角形的面积为．
详解：（1），，即.
（2）到的距离，
，
故．
点睛：本题主要考查直线方程的求解，点到直线距离公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
17．（1）3x－y－2＝0.（2）x＋3y－7＝0.（3）6x－2y＋7＝0.
【分析】（1）根据斜率公式和题意求出直线AB的斜率，再代入点斜式方程化为一般式即可；
（2）设AB边上的高所在的直线方程为y＝－x＋m，由直线过点C(－2,3)，求出的值，可得AB边上的高所在直线的方程；
（3）根据AB边的中位线与AB平行且过AC中点(0，)，求得AB的中位线所在的直线方程.
【详解】(1)由已知直线AB的斜率＝＝3，
∴直线AB的方程为y＝3x－2，即3x－y－2＝0.
(2)设AB边上的高所在的直线方程为y＝－x＋m，由直线过点C(－2,3)，
∴3＝＋m，解得m＝，故所求直线为y＝－x＋，即x＋3y－7＝0.
(3)AB边的中位线与AB平行且过AC中点(0，)，
∴AB的中位线所在的直线方程为y＝3x＋，即6x－2y＋7＝0.
【点睛】本题主要考查两条直线平行、垂直的性质，直线的斜率公式，用点斜式求直线的方程，属于基础题.
18．（1）；（2）.
【解析】（1）设方程为，点代入后，应用基本不等式求出的最小值等号成立条件，即得三角形面积取最小值时的直线方程．
（2）设直线的点斜式方程，求出，两点的坐标，代入的解析式，使用基本不等式，求出最小值等号成立条件即可得答案．
【详解】（1）设、，，，，
方程为，点代入得
，
当且仅当，且，解得，时，等号成立，
故三角形面积，
此时直线方程为：，
即．
（2）设直线，分别令，，
得，，．
则，
当且仅当，即时，取最小值，
又，
，
这时的方程为．
【点睛】本题考查直线在坐标轴上的截距的定义，直线的截距式、点斜式与一般方程的应用，以及基本不等式的应用，属于中档题．