2.2.1直线的点斜式方程和斜截式方程 讲义（含答案）2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2025～2026学年上学期高二数学讲义
教材：人教A版高中数学选择性必修第一册
章节：2.2.1直线的点斜式方程和斜截式方程
part1 知识清单
知识点01：直线的点斜式方程
已知条件（使用前提） 直线过点和斜率（已知一点+斜率）
图示
点斜式方程形式
适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程）
1.点斜式方程中的点只要是这条直线上的点,哪一个都可以.
2.当直线与轴平行或重合时,方程可简写为.特别地,轴的方程是;当直线与轴平行或重合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写成.特别地,轴的方程是.
知识点02：直线的斜截式方程
已知条件（使用前提） 直线的斜率为且在轴上的纵截距为（已知斜率+纵截距）
图示
点斜式方程形式
适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程）
1.直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况.
2.截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和0.当直线过原点时,它在轴上的截距和在轴上的截距都为0.
3.由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在轴上的截距,如直线的斜率,在轴上的截距为.
Part2 教材重点例题与习题
1.已知直线的点斜式方程是，那么此直线的斜率是 ，倾斜角是 ；
已知直线的点斜式方程是，那么此直线的斜率是 ，倾斜角是 ．
【答案】
【解答】
解：根据题意，直线的点斜式方程是，即，其斜率，
设其倾斜角为，则，则有；
故答案为：，
直线的点斜式方程是，那么此直线的斜率：，
直线的倾斜角为：．
故答案为：；
2.直线经过点，且倾斜角，求直线的点斜式方程，并画出直线．
【答案】解：直线经过点，斜率，代入点斜式方程
化简即得．
画图时，只需再找出直线上的另一点，
例如，取，则，得点的坐标为，
过，两点的直线即为所求，如图所示．

3.已知直线，，
试讨论：的条件是什么的条件是什么
【答案】解：若，则，此时，与轴的交点不同，即
反之，若，且，则．
若，则反之，若，则．
4.写出下列直线的点斜式方程：
经过点，斜率是；
经过点，倾斜角是；
经过点，倾斜角是；
经过点，倾斜角是．
【答案】解：根据题意，要求直线经过，斜率是，其点斜式方程为；
根据题意，要求直线的倾斜角为，则其斜率，又由直线经过点，则其点斜式方程为；
根据题意，要求直线的倾斜角为，则其斜率，又由直线经过点，则其点斜式方程为；
根据题意，要求直线的倾斜角为，则其斜率，又由直线经过点，则其点斜式方程为．
5.写出下列直线的斜截式方程：
斜率是，在轴上的截距是；
斜率是，在轴上的截距是．
【答案】解：斜率是，在轴上的截距是的直线的斜截式方程为；
斜率是，在轴上的截距是的直线的斜截式方程为
6.判断下列各对直线是否平行或垂直：
：，：；
：，：．
【答案】解：直线斜率：，直线斜率：
，且，
．
直线斜率：，直线斜率：，
，
．
Part3 综合练习
一、单选题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的斜率与轴上的截距分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
2.下列命题中正确的是( )
A. 每一条直线都有斜截式方程
B. 方程与方程可表示同一直线
C. 直线过点，倾斜角为，则其方程为
D. 倾斜角是钝角的直线，其斜率为负数
3.过点且倾斜角为的直线方程为( )
A. B. C. D.
4.与直线垂直，且在轴上的截距为的直线方程是( )
A. B. C. D.
5.在同一直角坐标系中，表示直线与正确的是( )
A. B.
C. D.
6.在平面内，如果直线的斜率和在轴上的截距分别为直线的斜率的一半和在轴上截距的两倍，那么直线的方程是( )
A. B. C. D.
7.已知直线：与直线：垂直，垂足为，则过点且斜率为的直线方程为( )
A. B. C. D.
二、多选题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.下列斜率为的直线方程为( )
A. B. C. D.
9.关于直线，下列说法正确的有( )
A. 过点 B. 斜率为
C. 倾斜角为 D. 在轴上的截距为
10.已知直线的方程是，的方程是，则下列各图中，可能正确的( )
A. B.
C. D.
三、填空题
11.已知直线的斜率为，过点，则的方程为 ，过点且与平行的直线方程为 ．
12.已知的三个顶点分别是，，，则边上的高所在直线的斜截式方程为 ．
13.直线的倾斜角是直线的倾斜角的，且在轴上的截距为，则直线的斜截式方程为 ．
14.直线经过点且倾斜角的余弦值为，则直线的斜截式方程为 ．
15.直线绕着其上一点逆时针旋转后得到直线，则直线的点斜式方程是 ．
16.直线：过定点 ；若的倾斜角为，则直线在轴上的截距为 ．
17.已知矩形的顶点坐标，，则的方程是 ．
18.经过点作直线分别交轴、轴的正半轴于、两点，当面积最小时直线的方程为 ．
四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.已知在第一象限，若，，求：
边所在直线的方程；
边和所在直线的点斜式方程．
20.写出下列直线的点斜式方程．
经过点，且与直线平行；
经过点，且与轴平行；
经过点，且与轴垂直；
经过点，两点．
21.已知直线在轴上的截距为，根据条件，分别写出直线的斜截式方程．
直线经过点，；
直线与坐标轴围成等腰三角形．
Part4 综合练习答案及解析
1.【答案】
【解答】
解：直线的斜率为，在轴上的截距为，
故选：．
2.【答案】
【解答】
解：由于和轴垂直的直线没有斜率，故A错误；
方程表示直线上去掉一个点剩余的部分，
而方程表示一条直线，故B错误；
直线过点，倾斜角为，则其方程为，故C错误；
倾斜角是钝角的直线，由于它的斜率等于倾斜角的正切值，故其斜率为负数，故D正确，
故选：．
3.【答案】
【解答】
解：由题意可得直线方程为，
整理得：．
故选B．
4.【答案】
【解答】
解：由与直线垂直知所求直线的斜率为，
又在轴上的截距为，所求直线方程为．
故选D．
5.【答案】
【解答】
解：选项A， 由直线图象得与直线中矛盾；
选项B，由直线图象得与直线中矛盾；
选项C，由直线图象得与直线中一致；
选项D，由直线图象得与直线中一致，但与直线斜率为矛盾．
故选C．
6.【答案】
【解答】
解：由可得该直线的斜率为，在轴上的截距为，
则直线的斜率为，在轴上的截距为，故直线的方程为．
故选A．
7.【答案】
【解答】
解：由题意可得解得
，
则所求直线方程为，
即．
故选C．
8.【答案】
【解答】
解：根据题意可知选项A、、的直线斜率为．
故选ABC．
9.【答案】
【解答】
解：
对于，将代入，可知不满足方程，故A不正确；
对于，由，可得斜率，故B正确；
对于，由，即，可得直线倾斜角为，故C正确；
对于，由，可得直线在轴上的截距为，故D不正确；
故选：．
10.【答案】
【解答】
解：对于直线，斜率为正，纵截距为正，知的斜率为负，纵截距为正，所以选项可能正确；
B.对于直线的斜率为正，纵截距为负，知的斜率为正，纵截距为正，所以选项可能正确；
C.对于直线的斜率为负，纵截距为正，知的斜率为负，纵截距为负，不合题意，选项错误；
D.对于直线的斜率为负，纵截距为正，知的斜率为负，纵截距为负，不合题意，选项错误．
故选AB．
11.【答案】
【解答】
解：根据题意可得直线的点斜式方程为：，即，
过点且与直线平行的直线方程为：，即，
故答案为；．
12.【答案】
【解答】
解：设边上的高为，则，
，
，解得，
边上的高所在直线的点斜式方程是，
整理得斜截式方程为．
故答案为．
13.【答案】
【解答】
解：因为直线的斜率为，
所以其倾斜角为，
因为直线的倾斜角是直线的倾斜角的，
所以直线的倾斜角为，
即直线的斜率为，
又因为直线在轴上的截距为，
所以直线的斜截式方程为．
故答案为．
14.【答案】
【解答】
解：设直线的倾斜角为，，由题意知，
，
，
直线的斜截式方程为：，
故答案为．
15.【答案】
【解答】
解：由题意知，直线与直线垂直，
直线斜率是，
又直线的斜率与直线的斜率乘积为，
则直线的斜率为．
由点斜式方程可得的方程为．
16.【答案】
【解答】
解：直线的方程为：，
即，
由直线的点斜式方程可知直线过定点，
若的倾斜角为，即，
直线的方程为：即，
令，得，则直线在轴上的截距为．
故答案为：；．
17.【答案】
【解答】
解：由题意，，再由点，
利用点斜式方程可得的方程是，
化简得．
故答案为．
18.【答案】
【解答】
解：由题意可知，直线的斜率一定存在，故可设直线的方程为，，
令可得，，令可得，
则，
当且仅当即时取等号，
此时直线方程为，即．
故答案为：．
19.【答案】解：由题意可得直线的斜率，
直线的方程为．
由题意结合图象可得直线的斜率为，
直线的斜率为，
可得直线、的方程分别为：，，
20.【答案】解：由题意知，所求直线的斜率为，
所以其点斜式方程为．
由题意知，直线的斜率，
所以直线的点斜式方程为．
由题意可知直线的斜率不存在，
所以直线的方程为，该直线没有点斜式方程．
，
所以该直线的点斜式方程为．
21.【答案】 解：由题意得直线的斜率为，
所以直线的斜截式方程为．
因为直线在轴上的截距为，
所以与轴的交点为，
而直线与坐标轴围成等腰三角形，
又是直角三角形，所以与轴的交点为或．
由过两点的斜率公式得或，
所以直线的斜截式方程为或．