2.2.2直线的两点式方程 讲义（含答案）2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2025～2026学年上学期高二数学讲义
教材：人教A版高中数学选择性必修第一册
章节：2.2.2直线的两点式方程
part1 知识清单
知识点01：直线的两点式方程
已知条件（使用前提） 直线上的两点，（，）（已知两点）
图示
点斜式方程形式
适用条件 斜率存在且不为0； 当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程
1.当过两点,的直线斜率不存在()或斜率为0()时,不能用两点式方程表示.
2.在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系,即,是同一个点的坐标,是另一个点的坐标.
知识点02：直线的截距式方程
已知条件（使用前提） 直线在轴上的截距为，在轴上的截距为
图示
点斜式方程形式
适用条件 ，
直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程可以直接读出直线在轴和轴上的截距,所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便.
知识点03：中点坐标公式
若点的坐标分别为，且线段的中点的坐标为，则．此公式为线段的中点坐标公式．
Part2 教材重点例题与习题
1.如图，已知直线与轴的交点为，与轴的交点为，其中，求直线的方程．
【答案】解：将两点，的坐标代入两点式，得
，
即
．
2.已知的三个顶点，，，求边所在直线的方程，以及这条边上的中线所在直线的方程．
【答案】解：如图，
过，的两点式方程为，
整理得这就是边所在直线的方程．
边上的中线是顶点与边中点所连线段，
由中点坐标公式，可得点的坐标为，即
所以过，两点的直线方程为
，
整理可得这就是边上中线所在直线的方程．
3.求经过下列两点的直线的两点式方程：
，；
，．
【答案】解：将，代入直线的两点式方程得：
将，代入直线的两点式方程得：．
4.根据下列条件求直线的截距式方程，并画出图形：
在轴、轴上的截距分别是，；
在轴、轴上的截距分别是，．
【答案】解：在轴，轴上的截距分别是，的直线方程是：
图像如下图：
在轴，轴上的截距分别是，的直线方程是：
图像如下图：

5.根据下列条件，求直线的方程：
过点，且在两坐标轴上的截距之和为；
过点，且在两坐标轴上的截距之差为．
【答案】解：由题意可设所求直线方程为，
因为在两坐标轴上的截距之和为，
则有，得，
所以所求直线方程为，
即．
由题意可设所求直线方程为，
因为在两坐标轴上的截距之差为，
则有，得或，
所以所求直线方程为或，
即或．
Part3 综合练习
一、单选题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.过点，的直线方程为( )
A. B. C. D.
2.在轴和轴上的截距分别为和的直线方程是( )
A. B. C. D.
3.已知直线的两点式方程为，则的斜率为( )
A. B. C. D.
4.下列结论正确的是( )
A. 经过点的直线都可以用方程表示．
B. 经过定点的直线都可以用方程表示．
C. 经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示．
D. 不经过原点的直线都可以用方程表示．
5.直线过第一、三、四象限，则( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
6.已知直线过点和，且在轴上的截距是，则实数等于( )
A. B. C. D.
7.已知直线过点，且在两坐标轴上的截距的乘积是，则直线的方程为( )
A. B.
C. 或 D. 或
8.过点作直线，若经过点和，且，，则可作出的的条数为( )
A. B. C. D.
9.过点作直线与两坐标轴相交所得三角形面积为，直线有( )
A. 一条 B. 两条 C. 三条 D. 四条
10.若直线的斜率为，它在轴上、轴上的截距分别等于，，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
11.两条直线和在同一直角坐标系中的图象可以是( )
A. B.
C. D.
二、填空题
12.直线过，两点，点在上，则的值为 ．
13.过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 ．
14.经过点，且与两坐标轴所围成的三角形面积为的直线的方程为 ．
15.已知直线经过点，且与，轴分别交于，两点，当为的中点时，直线的方程为 ．
16.直线经过点，且与两条坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线的方程
17.已知两点，，动点在线段上运动，则的最大值为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.根据下列条件．分别写出直线的方程：
过点，斜率为；
过点，与轴垂直；
斜率为，在轴上的截距为；
斜率为，在轴上的截距为；
过点，；
过点，．
19.已知的三个顶点为，，．
分别求边和所在直线的方程
分别求边上中线、高所在的直线、边的垂直平分线所在直线的方程；
20.已知直线．
如果直线的斜率为，求实数的值．
如果直线与两坐标轴的正半轴相交，求与坐标轴围成三角形面积最大时的直线的方程．
21.一根铁棒在时长，在时长已知长度而与温度的关系可以用直线方程来表示，试用两点式表示这个方程；并根据方程，求铁棒在时的长度．
22.已知直线过点，且与轴、轴的正方向分别交于，两点，分别求满足下列条件的直线方程：
时，求直线的方程．
当的面积最小时，求直线的方程．
Part4 综合练习答案及解析
1.【答案】
【解答】解：由题意可得直线的两点式方程为：，
化为一般式方程可得：．
故选D．
2.【答案】
【解答】
解：题意知，
代入直线的截距式方程可得：．
故选C．
3.【答案】
【解答】
解：由直线的两点式方程为可得出：
．
所以直线的斜率为．
故选A．
4.【答案】
【解答】
解：选项中过的方程为直线的点斜式方程，当直线与轴平行即斜率不存在时，例如，就不能写成此形式，此选项错；
选项中过点的直线方程为直线的斜截式方程，当直线与轴平行时即斜率不存在时，例如，就不能写成此形式，此选项错；
选项中过两点的方程为直线的两点式方程，不存在条件的限制，所以此选项正确；
选项中当直线与坐标轴平行时例如，与轴没有交点且不过原点，但是不能直线的截距式，此选项错．
故选C．
5.【答案】
【解答】
解：若直线过第一、三、四象限，则．
故选B．
6.【答案】
【解答】
解：由直线在轴上的截距是知，
故直线的方程为，
当时，则，
解得：．
故选D．
7.【答案】
【解答】
解：设直线的方程，则
解得或
直线的方程为或，
即或．
故选D．
8.【答案】
【解答】解：设直线方程为，则有，
整理得，，，
是的约数，或，
或，
综上或，
即符合题意的直线有两条，
故选B．
9.【答案】
【解答】
解：根据题意设方程，已知直线过点，可得，
根据直线与坐标轴围成的三角形面积为，可知，
当时，，
即、为方程的解，
，方程有两个不同的解，
当时，，
即、为方程的解，
，方程有两个不同的解，
综上，、共有四组解，则满足条件的直线方程有四个，
故选D．
10.【答案】
【解答】
解：因为直线在轴，轴上的截距分别为，，
所以直线的方程为，
因为直线过点，，因此直线的斜率为，
又因为直线的斜率为，所以，
因此直线的方程为，即．
故选D．
11.【答案】
【解答】
解： 方法一 ：直线的斜率，直线的斜率，
可知，同号，故排除选项C，
只有当时，才和平行，
假定，则和在坐标轴上截距的绝对值相等，
而选项不满足，排除选项B．
故选A．
方法二：将直线，的方程化为截距式为，，
则在轴上的截距与在轴上的截距互为相反数
在轴上的截距与在轴上的截距互为相反数，
结合四个选项中的图象，知只有满足题意．
故选A．
12.【答案】
【解答】
解：由两点式可得直线的方程为：，
即，即．
把点代入直线的方程，
得．
故答案为：．
13.【答案】，或
【解答】
解：当直线过原点时，由于斜率为，故直线方程为，即．
当直线不过原点时，设方程为，把点代入可得，
故直线的方程为，
故答案为，或．
14.【答案】或
【解答】
解：设所求直线方程为，由已知可得
解得或所以所求直线方程为或．
故答案为或．
15.【答案】
【解答】
解：设，，
由为的中点，得，解得，
则，，
由直线方程的截距式，得直线的方程为，即．
故答案为．
16.【答案】或
【解答】
解：直线经过点且与两条坐标轴围成一个等腰直角三角形，
则在坐标轴上的截距相同或者相反，
可设直线方程为或，
把点代入可得：，，
解得或．
因此直线的方程为或．
故答案为或．
17.【答案】
【解答】
解：所在直线方程为，
，
，
当且仅当，即，时取等号．
则的最大值等于
故答案为．
18.【答案】解：过点，斜率为的直线方程为：，即；
过点，与轴垂直的直线方程为：；
斜率为，在轴上的截距为的直线方程为：；
斜率为，在轴上的截距为的直线方程为：，即；
过点，的直线的为：，即；
过点，的直线为：，即．
19.【答案】解：边所在直线的方程为，
即
所在直线的方程，
即
线段的中点为， ，
所以边上的中线所在直线的方程为 ，
即
边上的高所在的直线的方程为 ，
即
边的垂直平分线所在直线的方程为，
即．
20.【答案】解：直线的方程可化为，
，解得．
直线与两坐标轴的交点为，
据题意，知，即，
直线与两坐标轴围成的三角形面积为
，
，
时，取到最大值，
故所求直线的方程为，即．
21.【答案】解：由题意可知，直线过两点，，
由直线方程两点式得直线方程为：，
整理得，
取得，，
所以铁棒在时的长度．
22.【答案】解：作，则．
由三角形相似，，可求得，，
方程为，即；
根据题意，设直线的方程为，
由题意，知，，
过点，，解得，
的面积，
化简，得
，解得或舍去．
的最小值为，
将代入式，得，解得，
．
直线的方程为．