2.2.2直线方程两点式与截距式 同步练（含解析）2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
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| 名称 | 2.2.2直线方程两点式与截距式 同步练（含解析）2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 515.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-26 09:45:37 | ||
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文档简介
2.2直线方程两点式与截距式
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（ ）
A． B．8 C． D．
2．经过两点的直线方程都可以表示为（ ）
A．＝ B．＝
C． D．＝
3．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
4．经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
5．下列说法中不正确的是（ ）.
A．点斜式适用于不垂直于轴的任何直线.
B．斜截式适用于不垂直于轴的任何直线.
C．两点式适用于不垂直于轴和轴的任何直线.
D．截距式适用于不过原点的任何直线.
6．已知直线和直线都过点，则过点和点的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．下列说法错误的是（ ）
A．过定点的直线都可用方程表示
B．过定点的直线都可用方程表示
C．过任意两个点，的直线都可用方程表示
D．不过原点的直线都可用方程表示
8．下列说法正确的是（ ）
A．过，两点的直线方程为
B．点关于直线的对称点为
C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为
B．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
C．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为，则该直线方程为
D．过两点的直线方程为
10．直线l经过点，且两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
11．已知点、，则直线AB的两点式方程是 ．
12．已知直线l的斜率为，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为 .
13．已知点，，动点P在y轴上，当取最小值时，点P的坐标为 .
14．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则 .
四、解答题
15．将直线的方程作如下转换：
(1)化成斜截式，并指出它们的斜率与在轴上的截距．
(2)化成截距式，并指出它在x轴、y轴上的截距．
16．（1）求经过点在轴上的截距为2的直线方程.
（2）已知直线经过点，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为，求直线的方程
17．已知一条动直线，
(1)求证：直线l恒过定点，并求出定点的坐标；
(2)若直线l与、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，是否存在直线l同时满足下列条件：①的周长为；②的面积为.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.
18．已知直线：.
(1)求证：直线恒过一个定点；
(2)若直线在两坐标轴上截距相等，求的方程；
(3)当时，直线上的点都在轴上方，求实数的取值范围.
19．已知直线方程为．
(1)若直线的倾斜角为，求的值；
(2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程．
《2.2直线方程两点式与截距式》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C D D A ABD BC AB ACD
1．A
【分析】对直线方程，令，即可求得结果.
【详解】对方程，令，解得；
故直线在轴上的截距为.
故选：A.
2．C
【分析】利用直线方程的两点式即可得出.
【详解】当时，由两点式可得直线方程为：＝，
化为：，
对于或时上述方程也成立，
因此直线方程为：.
故选：C.
3．C
【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解.
【详解】当直线过原点时，方程为，即，
当直线不过原点时，设直线方程为，
则，解得，
所以直线方程为，
综上所求直线方程为或.
故选：C.
4．D
【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式方程即可得解.
【详解】当直线过原点时，方程为，符合题意，
当直线不过原点时，设直线方程为，
则，解得，
所以直线方程为，
综上，所求直线的方程为或.
故选：D.
5．D
【分析】由直线方程有意义分析可得各种形式的适用条件，从而得出答案.
【详解】解:点斜式中斜率必须存在，因此直线不垂直于轴，A正确；
斜截式中斜率必须存在，因此直线不垂直于轴，B正确；
两点式中分母不能为零，即两点的横坐标不能相等，纵坐标也不能相等，即直线不能垂直于轴，C正确；
截距式中两截距必须存在且都不为0，因此直线必须不过原点，也不能与坐标轴平行，D错误．
故选：D．
【点睛】本题考查直线方程的四种形式的适用范围，属于基础题．解题时只要从各方程有意义即可分析．
6．A
【分析】把坐标代入两条直线和得,,求出,再用两点式方程求过点,的直线的方程．
【详解】把坐标代入两条直线和,得
,,
,
过点,的直线的方程是：,
,则,
,,
所求直线方程为：．
故选 ：A.
7．ABD
【解析】根据斜率不存在时不能用点斜式与斜截式表示；截距为零的直线不能用截距式表示；从而可得结果.
【详解】因为直线与轴垂直时不能用点斜式与斜截式表示，所以选项AB不正确；
因为直线与坐标轴垂直时不能与截距式表示，所以选项D不正确；
C选项，过任意两个点，的直线，斜率存在时，方程为，可化为；斜率不存在时，，直线方程为也满足，故C正确；
故选：ABD.
8．BC
【解析】运用直线的两点式方程判断A 的正误；利用对称知识判断B的正误；求出直线在两坐标轴上的截距可得到三角形的面积判断C的正误；利用直线的截距相等可判断D 的正误．
【详解】对于A：当，时，过，两点的直线方程为，故A不正确；
对于B：点 (0,2) 与 (1,1) 的中点坐标， 满足直线方程, 并且两点的斜率为： 1, 所以点 (0,2) 关于直线 y=x+1 的对称点为 (1,1) ，所以 B 正确；
对于C：直线在两坐标轴上的截距分别为： 2, 2, 直线与坐标轴围成的三角形的面积是，所以C 正确；
对于D：经过点 (1,1) 且在 x 轴和 y 轴上截距都相等的直线方程为 x+y 2=0 或 y=x ，所以 D 不正确；
故选：BC.
【点睛】本题考查直线的方程，直线与坐标轴的截距，点关于直线的对称点，注意在考虑截距相等的时候，不漏掉截距为的情况，属于基础题．
9．AB
【分析】求出直线的斜率判断A；求出直线的横纵截距计算判断B；举例说明判断CD.
【详解】对于A，直线的斜率为，其倾斜角为，A正确；
对于B，直线交轴分别于点，
该直线与坐标轴围成三角形面积为，B正确；
对于C，过点与原点的直线在两坐标轴上的截距都为0，符合题意，
即过点且在两坐标轴上的截距之和为的直线可以是直线，C错误；
对于D，当时的直线或当时的直线方程不能用表示出，D错误.
故选：AB
10．ACD
【分析】分截距为零与不为零讨论，不为零时设出截距式，利用点在直线上求出直线方程，逐一判断即可.
【详解】当直线l的截距为0时，直线l的方程为，即．故A正确；
当直线l的截距不为0时，设直线l的方程为，则
解得或
若则直线l的方程为，即；故C正确；
若则直线l的方程为，即．故D正确；
故选：ACD.
11．
【分析】根据直线的两点式方程代入即可.
【详解】直线的两点式方程为：
将点、代入得：.
故答案为：.
12．或
【分析】设直线方程为，根据题设条件得到关于的方程组，解方程组后可得所求的直线方程.
【详解】设直线的方程为，则，且，
解得或者，
∴直线l的方程为或，即或.
故答案为：或.
13．
【分析】作出关于轴的对称点,连接 ,与轴交于 ,即为所求，求出直线的方程，令可得的坐标.
【详解】
作出关于轴的对称点,
连接 ,与轴交于 ,即为所求，
此时取最小值，
由的斜率为，
可得方程，
令，可得，
即为，故答案为.
【点睛】解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.
14．或
【分析】利用截距的概念分类讨论计算即可.
【详解】当时，直线方程为，不符合题意，
当时，令时，令时，
依题意有：，解得：或，
综上：或，
故答案为：或.
15．(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意，化简得到直线的斜截式方程，并求得斜率和截距；
（2）根据题意，化简得到直线的截距式方程，进而求得坐标轴上的截距.
【详解】（1）解：将原方程移项，可得，可得直线的截距式方程为，
则直线的斜率为，在轴上的截距为.
（2）解：将原方程化简为，可得直线的截距式方程为，
所以直线在轴和轴上的截距分别为.
16．（1）；（2）
【分析】（1）由题意可知所求直线经过两点，求出直线的斜率，再利用点斜式求解即可；
（2）由题意可设直线的方程为，再利用待定系数法求出即可.
【详解】（1）由题意可知所求直线经过两点，
则直线的斜率，
所以直线方程为，即；
（2）由题意可设直线的方程为，
则，解得，
所以直线的方程为，即.
17．(1)证明见解析，定点；
(2)存在，且直线方程为.
【分析】（1）将直线方程变形为，解方程组，可得定点的坐标；
（2）设点A的坐标为，根据求出的值，可得出点的坐标，进而可求得直线的方程，可求出该直线与轴的交点的坐标，即可求得的周长，即可得解.
【详解】（1）证明：将直线方程变形为，
由，可得，
因此，直线恒过定点.
（2）解：设点A的坐标为，若，则，
则、，直线的斜率为，
故直线的方程为，即，
此时直线与轴的交点为，则，，，
此时的周长为.
所以，存在直线满足题意.
18．(1)；
(2)或；
(3)
【分析】（1）变形可得，观察可得定点；
（2）当时，符合题意，当时，变形得方程的截距式，然后根据截距式，列方程求解即可；
（3）由已知得不等式，解不等式即可.
【详解】（1）由得，
直线恒过定点
（2）明显，
当，即时，符合题意，
当时，由可得
则，
直线的方程为或；
（3）当时，直线上的点都在轴上方，
，
解得.
19．(1)；
(2)面积的最小值为，此时直线的方程为.
【分析】（1）由直线的斜率和倾斜角的关系可求得的值；
（2）求出点、的坐标，根据已知条件求出的取值范围，求出的面积关于的表达式，利用基本不等式可求得面积的最小值，利用等号成立的条件可求得的值，即可得出直线的方程.
【详解】（1）解：由题意可得.
（2）解：在直线的方程中，令可得，即点，
令可得，即点，
由已知可得，解得，
所以，
，
当且仅当时，等号成立，此时直线的方程为，即.
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（ ）
A． B．8 C． D．
2．经过两点的直线方程都可以表示为（ ）
A．＝ B．＝
C． D．＝
3．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
4．经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
5．下列说法中不正确的是（ ）.
A．点斜式适用于不垂直于轴的任何直线.
B．斜截式适用于不垂直于轴的任何直线.
C．两点式适用于不垂直于轴和轴的任何直线.
D．截距式适用于不过原点的任何直线.
6．已知直线和直线都过点，则过点和点的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．下列说法错误的是（ ）
A．过定点的直线都可用方程表示
B．过定点的直线都可用方程表示
C．过任意两个点，的直线都可用方程表示
D．不过原点的直线都可用方程表示
8．下列说法正确的是（ ）
A．过，两点的直线方程为
B．点关于直线的对称点为
C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为
B．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
C．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为，则该直线方程为
D．过两点的直线方程为
10．直线l经过点，且两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
11．已知点、，则直线AB的两点式方程是 ．
12．已知直线l的斜率为，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为 .
13．已知点，，动点P在y轴上，当取最小值时，点P的坐标为 .
14．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则 .
四、解答题
15．将直线的方程作如下转换：
(1)化成斜截式，并指出它们的斜率与在轴上的截距．
(2)化成截距式，并指出它在x轴、y轴上的截距．
16．（1）求经过点在轴上的截距为2的直线方程.
（2）已知直线经过点，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为，求直线的方程
17．已知一条动直线，
(1)求证：直线l恒过定点，并求出定点的坐标；
(2)若直线l与、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，是否存在直线l同时满足下列条件：①的周长为；②的面积为.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.
18．已知直线：.
(1)求证：直线恒过一个定点；
(2)若直线在两坐标轴上截距相等，求的方程；
(3)当时，直线上的点都在轴上方，求实数的取值范围.
19．已知直线方程为．
(1)若直线的倾斜角为，求的值；
(2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程．
《2.2直线方程两点式与截距式》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C D D A ABD BC AB ACD
1．A
【分析】对直线方程，令，即可求得结果.
【详解】对方程，令，解得；
故直线在轴上的截距为.
故选：A.
2．C
【分析】利用直线方程的两点式即可得出.
【详解】当时，由两点式可得直线方程为：＝，
化为：，
对于或时上述方程也成立，
因此直线方程为：.
故选：C.
3．C
【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解.
【详解】当直线过原点时，方程为，即，
当直线不过原点时，设直线方程为，
则，解得，
所以直线方程为，
综上所求直线方程为或.
故选：C.
4．D
【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式方程即可得解.
【详解】当直线过原点时，方程为，符合题意，
当直线不过原点时，设直线方程为，
则，解得，
所以直线方程为，
综上，所求直线的方程为或.
故选：D.
5．D
【分析】由直线方程有意义分析可得各种形式的适用条件，从而得出答案.
【详解】解:点斜式中斜率必须存在，因此直线不垂直于轴，A正确；
斜截式中斜率必须存在，因此直线不垂直于轴，B正确；
两点式中分母不能为零，即两点的横坐标不能相等，纵坐标也不能相等，即直线不能垂直于轴，C正确；
截距式中两截距必须存在且都不为0，因此直线必须不过原点，也不能与坐标轴平行，D错误．
故选：D．
【点睛】本题考查直线方程的四种形式的适用范围，属于基础题．解题时只要从各方程有意义即可分析．
6．A
【分析】把坐标代入两条直线和得,,求出,再用两点式方程求过点,的直线的方程．
【详解】把坐标代入两条直线和,得
,,
,
过点,的直线的方程是：,
,则,
,,
所求直线方程为：．
故选 ：A.
7．ABD
【解析】根据斜率不存在时不能用点斜式与斜截式表示；截距为零的直线不能用截距式表示；从而可得结果.
【详解】因为直线与轴垂直时不能用点斜式与斜截式表示，所以选项AB不正确；
因为直线与坐标轴垂直时不能与截距式表示，所以选项D不正确；
C选项，过任意两个点，的直线，斜率存在时，方程为，可化为；斜率不存在时，，直线方程为也满足，故C正确；
故选：ABD.
8．BC
【解析】运用直线的两点式方程判断A 的正误；利用对称知识判断B的正误；求出直线在两坐标轴上的截距可得到三角形的面积判断C的正误；利用直线的截距相等可判断D 的正误．
【详解】对于A：当，时，过，两点的直线方程为，故A不正确；
对于B：点 (0,2) 与 (1,1) 的中点坐标， 满足直线方程, 并且两点的斜率为： 1, 所以点 (0,2) 关于直线 y=x+1 的对称点为 (1,1) ，所以 B 正确；
对于C：直线在两坐标轴上的截距分别为： 2, 2, 直线与坐标轴围成的三角形的面积是，所以C 正确；
对于D：经过点 (1,1) 且在 x 轴和 y 轴上截距都相等的直线方程为 x+y 2=0 或 y=x ，所以 D 不正确；
故选：BC.
【点睛】本题考查直线的方程，直线与坐标轴的截距，点关于直线的对称点，注意在考虑截距相等的时候，不漏掉截距为的情况，属于基础题．
9．AB
【分析】求出直线的斜率判断A；求出直线的横纵截距计算判断B；举例说明判断CD.
【详解】对于A，直线的斜率为，其倾斜角为，A正确；
对于B，直线交轴分别于点，
该直线与坐标轴围成三角形面积为，B正确；
对于C，过点与原点的直线在两坐标轴上的截距都为0，符合题意，
即过点且在两坐标轴上的截距之和为的直线可以是直线，C错误；
对于D，当时的直线或当时的直线方程不能用表示出，D错误.
故选：AB
10．ACD
【分析】分截距为零与不为零讨论，不为零时设出截距式，利用点在直线上求出直线方程，逐一判断即可.
【详解】当直线l的截距为0时，直线l的方程为，即．故A正确；
当直线l的截距不为0时，设直线l的方程为，则
解得或
若则直线l的方程为，即；故C正确；
若则直线l的方程为，即．故D正确；
故选：ACD.
11．
【分析】根据直线的两点式方程代入即可.
【详解】直线的两点式方程为：
将点、代入得：.
故答案为：.
12．或
【分析】设直线方程为，根据题设条件得到关于的方程组，解方程组后可得所求的直线方程.
【详解】设直线的方程为，则，且，
解得或者，
∴直线l的方程为或，即或.
故答案为：或.
13．
【分析】作出关于轴的对称点,连接 ,与轴交于 ,即为所求，求出直线的方程，令可得的坐标.
【详解】
作出关于轴的对称点,
连接 ,与轴交于 ,即为所求，
此时取最小值，
由的斜率为，
可得方程，
令，可得，
即为，故答案为.
【点睛】解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.
14．或
【分析】利用截距的概念分类讨论计算即可.
【详解】当时，直线方程为，不符合题意，
当时，令时，令时，
依题意有：，解得：或，
综上：或，
故答案为：或.
15．(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意，化简得到直线的斜截式方程，并求得斜率和截距；
（2）根据题意，化简得到直线的截距式方程，进而求得坐标轴上的截距.
【详解】（1）解：将原方程移项，可得，可得直线的截距式方程为，
则直线的斜率为，在轴上的截距为.
（2）解：将原方程化简为，可得直线的截距式方程为，
所以直线在轴和轴上的截距分别为.
16．（1）；（2）
【分析】（1）由题意可知所求直线经过两点，求出直线的斜率，再利用点斜式求解即可；
（2）由题意可设直线的方程为，再利用待定系数法求出即可.
【详解】（1）由题意可知所求直线经过两点，
则直线的斜率，
所以直线方程为，即；
（2）由题意可设直线的方程为，
则，解得，
所以直线的方程为，即.
17．(1)证明见解析，定点；
(2)存在，且直线方程为.
【分析】（1）将直线方程变形为，解方程组，可得定点的坐标；
（2）设点A的坐标为，根据求出的值，可得出点的坐标，进而可求得直线的方程，可求出该直线与轴的交点的坐标，即可求得的周长，即可得解.
【详解】（1）证明：将直线方程变形为，
由，可得，
因此，直线恒过定点.
（2）解：设点A的坐标为，若，则，
则、，直线的斜率为，
故直线的方程为，即，
此时直线与轴的交点为，则，，，
此时的周长为.
所以，存在直线满足题意.
18．(1)；
(2)或；
(3)
【分析】（1）变形可得，观察可得定点；
（2）当时，符合题意，当时，变形得方程的截距式，然后根据截距式，列方程求解即可；
（3）由已知得不等式，解不等式即可.
【详解】（1）由得，
直线恒过定点
（2）明显，
当，即时，符合题意，
当时，由可得
则，
直线的方程为或；
（3）当时，直线上的点都在轴上方，
，
解得.
19．(1)；
(2)面积的最小值为，此时直线的方程为.
【分析】（1）由直线的斜率和倾斜角的关系可求得的值；
（2）求出点、的坐标，根据已知条件求出的取值范围，求出的面积关于的表达式，利用基本不等式可求得面积的最小值，利用等号成立的条件可求得的值，即可得出直线的方程.
【详解】（1）解：由题意可得.
（2）解：在直线的方程中，令可得，即点，
令可得，即点，
由已知可得，解得，
所以，
，
当且仅当时，等号成立，此时直线的方程为，即.