2.2.3直线的一般式方程 讲义（含答案）2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 2.2.3直线的一般式方程 讲义（含答案）2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 250.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-26 09:43:58 | ||
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文档简介
2025～2026学年上学期高二数学讲义
教材：人教A版高中数学选择性必修第一册
章节：2.2.3直线的一般式方程
part1 知识清单
知识点01：直线的一般式方程
定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中
,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.
说明：
1．、不全为零才能表示一条直线，若、全为零则不能表示一条直线.
当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线．
当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线．
由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线．
2．在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程.
3.解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式.
知识点02：直线的一般式方程与其它形式方程的互化
知识点03：直线系方程
1．平行直线系方程
把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为 (其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值.
2．垂直直线系方程
一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为(其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值.
Part2 教材重点例题与习题
1.已知直线经过点，斜率为，求直线的点斜式和一般式方程．
【答案】解：经过点，斜率为的直线的点斜式方程是，
化为一般式，得．
2.把直线的一般式方程化为斜截式，求出直线的斜率以及它在轴与轴上的截距，并画出图形．
【答案】解：把直线的一般式方程化为斜截式．
因此，直线的斜率，它在轴上的截距是．
在直线的方程中，
令，得，即直线在轴上的截距是．
由上面可得直线与轴、轴的交点分别为，，
过，两点作直线，就得直线如下图．
3.根据下列条件，写出直线的方程，并把它化为一般式：
经过点，斜率是；
经过点，平行于轴；
经过点，；
在轴、轴上的截距分别是，．
【答案】解：直线方程为，即．
直线方程为，即．
直线方程为，即．
直线方程为，即．
4.求下列直线的斜率以及在轴上的截距，并画出图形：
；
；
；
．
【答案】解：对于直线，
可化为：，
所以斜率，在轴上的截距为．
对于直线，
可化为
所以斜率，在轴上的截距为．
对于直线，
可化为，
所以斜率，在轴上的截距为．
对于直线，
可化为，
所以斜率，在轴上的截距为．
5.已知直线的方程是．
当时，直线的斜率是多少？当时呢？
系数，，取什么值时，方程表示经过原点的直线？
【答案】解：当时，把直线方程化为斜截式，可得斜率为，若，直线平行轴，斜率不存在．
当时，方程表示经过原点的直线．
Part3 综合练习
一、单选题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线的方程为，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知直线，直线，且，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
4.垂直于直线，且与两坐标轴围成的三角形的面积为的直线在轴上的截距是( )
A. B. 或 C. D. 或
5.已知直线不经过第一象限，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.已知直线和直线都过点，则过点和点的直线方程是( )
A. B. C. D.
二、多选题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
7.如果，，那么直线经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
8.已知直线：，：，：不能围成三角形，则实数的取值可能为( )
A. B. C. D.
9.已知直线：，：，当，满足一定的条件时，它们的图形可以是( )
A. B. C. D.
10.已知直线：，其中，下列说法正确的是( )
A. 当时，直线与直线垂直
B. 若直线与直线平行，则
C. 直线过定点
D. 当时，直线在两坐标轴上的截距相等
11.过点的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，下列选项中的值使得满足条件的直线有条的是( )
A. B. C. D.
三、填空题
12.过点且与直线垂直的直线方程为 ．
13.已知直线与直线：平行，且在两坐标轴上的截距之和为，则直线的方程为 ．
14.已知直线，则直线过定点 ；若直线的倾斜角为，则 ．
15.已知直线与互相垂直，垂足为，则 ．
16.已知直线：，：，当时，直线，与两坐标轴围成一个四边形，当 时，四边形的面积最小，最小值为 ．
四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
斜率是，且经过点；
斜率为，在轴上的截距为；
经过点，两点；
在轴，轴上的截距分别为，；
经过点，且平行于轴．
18.已知正六边形的边长是，以正六边形中心为原点，以对角线所在的直线为轴，如图建立平面直角坐标系．
求边所在的直线的方程；
求过点，且与边所在直线垂直的直线的方程。
19.设直线的方程为．
若在两坐标轴上的截距相等，求的方程；
是否存在实数，使直线不经过第二象限？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
20.已知过点的直线与直线垂直．
若，且点在函数的图象上，求直线的一般式方程；
若点在直线上，判断直线是否经过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
21.为了绿化城市，准备在如图的矩形内规划一块地面，修建一个矩形草坪，按规划要求，草坪的两边与分别在和上，且草坪不能超过文物保护区的边界，经测量，，，以点为原点，所在的直线为轴，建立坐标系．
求直线所在的直线方程；
问应如何设计才能使草坪的占地面积最大又符合设计要求？并求出最大面积精确到
Part4 综合练习答案及解析
1.【答案】
【解答】
解：化为斜截式得 ，
直线的斜率为，
设直线的倾斜角为．
由，得．
故选D．
2.【答案】
【解答】
解：直线，
令，得到，解得，所以；
令，得到，解得，所以．
结合选项可知，B正确．
故选B．
3.【答案】
【解答】
解：直线，直线：，且，
，
解得或，
经验证当或时，都能使两直线平行．
故选C．
4.【答案】
【解答】
解：设直线方程是，
分别令，得，
令，得，
直线在坐标轴上的截距，
所以．
所以，
故直线在轴上的截距为或．
5.【答案】
【解答】
解：直线不经过第一象限，
可得或，
解得，
则的取值范围是．
故选D．
6.【答案】
【解答】
解：把坐标代入两条直线和，
得，，
，
过点，的直线的方程是：，
，则，
，，
所求直线方程为：．
故选：．
7.【答案】
【解答】
解：，
直线可化为，
，
直线过一、二、三象限，
故选ABC．
8.【答案】
【解答】
解：直线，，不能围成三角形，
时不符合题意，所以，
故其中有条直线平行，或者三线经过同一个点．
若其中有条直线平行，则，或，求得，或．
若三线经过同一个点，则直线和直线的交点在上，
故有，求得．
综上所述，或或．
故选：．
9.【答案】
【解答】
解：直线：可化为，斜率为，在轴上的截距为．
直线：可化为，斜率为，在轴上的截距为．
当时，直线与平行，故A正确；
选项B中，由直线在轴上的截距可得，，
而由直线的斜率为，可得，故B不正确；
选项C中，由直线的斜率为，而直线在轴上的截距，
直线在轴上的截距为，直线的斜率为，故C正确；
选项D中，两直线斜率，，
再由直线在轴上的截距，故D不正确．
故选：．
10.【答案】
【解答】
解：对于项，当时，直线的方程为，显然与垂直，所以正确；
对于项，若直线与直线平行，可知，
解得或，经检验均符合题意，所以不正确；
对于项，当时，有，所以直线过定点，所以正确；
对于项，当时，直线的方程为，
在两坐标轴上的截距分别是，所以不正确；
故选：．
11.【答案】
【解答】
解：显然直线的斜率存在，设为且，则直线的方程为，
所以当时，，当时，，
所以，
若，得，整理得，
所以或者，
即或者，
由的，
得方程无解，
由的，
得方程有两个不等实数解，
所以时不满足直线有条，故A错误．
同理可得B错误，C正确，D正确．
故选CD．
12.【答案】
【解答】
解：设与直线垂直的直线方程为，
把点代入可得，
，
故所求的直线的方程为，
故答案为．
13.【答案】
【解答】
解：由已知直线与直线：平行，
所以设直线方程为，令得到，令得到，
因为直线在两坐标轴上的截距之和为，
所以，解得，
所以直线的方程为即，
故答案为．
14.【答案】
【解答】
解：直线化为，
则
解得：，所以过定点，
因为化为，，
因为直线的倾斜角为，所以，解得：．
故答案为 ；．
15.【答案】
【解答】
解：因为直线：与：互相垂直，
则，解之得：，
又因为两直线垂足为
则，解得：
将代入直线：，
则，
解之得：，
所以
故答案为：
16.【答案】
【解答】
解：由题意知直线，恒过定点，直线在轴上的截距为，直线在轴上的截距为，
所以四边形的面积，
故当时，四边形的面积最小，最小值为．
故答案为；．
17.【答案】解：若直线的斜率是，且经过点，
由点斜式，则该直线的方程为，
即．
若直线斜率为，在轴上的截距为，
由斜截式，则该直线的方程为，
即．
若直线经过，两点，
由两点式，则该直线的方程为，
即．
若直线在，轴上的截距分别是，，
由截距式，则该直线的方程为，
即．
若经过点，且平行于轴，
则，即．
18.【答案】解：由题意知，，
用两点式写出边所在的直线方程，
即，
由题意知，
，
设与边所在直线垂直的直线的方程的斜率为，
则，解得，
点，且与边所在直线垂直的直线的方程，
即．
19.【答案】解：直线可化为 ，
令，，
则，，所以直线恒过．
当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距为零，即截距相等，
时满足条件，此时的方程为；
当时，直线平行于轴，在轴无截距，不合题意；
当，且时，由，即，即．
此时直线在轴、轴上的截距都为，的方程为．
综上，直线的方程为或时，在两坐标轴上的截距相等．
假设存在实数，使直线不经过第二象限，
将的方程化为，
则有
解得，
的取值范围为．
20.【答案】解：点在函数的图象上，，即点，
由，得，即直线的斜率为，
又直线与直线垂直，则直线的斜率满足：，即，
所以直线的方程为，一般式方程为：．
点在直线上，
所以，即，
代入中，整理得，
由，解得，
故直线必经过定点，其坐标为．
21.【答案】解：在如图的坐标系中，，
由截距式，可得直线方程为，
即直线：．
设，因为在上，所以，
则矩形的面积为，
化简，得，，
配方，，，
易得当，时，最大，其最大值为．
即的长度为，的长度约时面积最大又符合设计要求，且最大面积为．
教材：人教A版高中数学选择性必修第一册
章节：2.2.3直线的一般式方程
part1 知识清单
知识点01：直线的一般式方程
定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中
,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.
说明：
1．、不全为零才能表示一条直线，若、全为零则不能表示一条直线.
当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线．
当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线．
由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线．
2．在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程.
3.解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式.
知识点02：直线的一般式方程与其它形式方程的互化
知识点03：直线系方程
1．平行直线系方程
把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为 (其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值.
2．垂直直线系方程
一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为(其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值.
Part2 教材重点例题与习题
1.已知直线经过点，斜率为，求直线的点斜式和一般式方程．
【答案】解：经过点，斜率为的直线的点斜式方程是，
化为一般式，得．
2.把直线的一般式方程化为斜截式，求出直线的斜率以及它在轴与轴上的截距，并画出图形．
【答案】解：把直线的一般式方程化为斜截式．
因此，直线的斜率，它在轴上的截距是．
在直线的方程中，
令，得，即直线在轴上的截距是．
由上面可得直线与轴、轴的交点分别为，，
过，两点作直线，就得直线如下图．
3.根据下列条件，写出直线的方程，并把它化为一般式：
经过点，斜率是；
经过点，平行于轴；
经过点，；
在轴、轴上的截距分别是，．
【答案】解：直线方程为，即．
直线方程为，即．
直线方程为，即．
直线方程为，即．
4.求下列直线的斜率以及在轴上的截距，并画出图形：
；
；
；
．
【答案】解：对于直线，
可化为：，
所以斜率，在轴上的截距为．
对于直线，
可化为
所以斜率，在轴上的截距为．
对于直线，
可化为，
所以斜率，在轴上的截距为．
对于直线，
可化为，
所以斜率，在轴上的截距为．
5.已知直线的方程是．
当时，直线的斜率是多少？当时呢？
系数，，取什么值时，方程表示经过原点的直线？
【答案】解：当时，把直线方程化为斜截式，可得斜率为，若，直线平行轴，斜率不存在．
当时，方程表示经过原点的直线．
Part3 综合练习
一、单选题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线的方程为，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知直线，直线，且，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
4.垂直于直线，且与两坐标轴围成的三角形的面积为的直线在轴上的截距是( )
A. B. 或 C. D. 或
5.已知直线不经过第一象限，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.已知直线和直线都过点，则过点和点的直线方程是( )
A. B. C. D.
二、多选题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
7.如果，，那么直线经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
8.已知直线：，：，：不能围成三角形，则实数的取值可能为( )
A. B. C. D.
9.已知直线：，：，当，满足一定的条件时，它们的图形可以是( )
A. B. C. D.
10.已知直线：，其中，下列说法正确的是( )
A. 当时，直线与直线垂直
B. 若直线与直线平行，则
C. 直线过定点
D. 当时，直线在两坐标轴上的截距相等
11.过点的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，下列选项中的值使得满足条件的直线有条的是( )
A. B. C. D.
三、填空题
12.过点且与直线垂直的直线方程为 ．
13.已知直线与直线：平行，且在两坐标轴上的截距之和为，则直线的方程为 ．
14.已知直线，则直线过定点 ；若直线的倾斜角为，则 ．
15.已知直线与互相垂直，垂足为，则 ．
16.已知直线：，：，当时，直线，与两坐标轴围成一个四边形，当 时，四边形的面积最小，最小值为 ．
四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
斜率是，且经过点；
斜率为，在轴上的截距为；
经过点，两点；
在轴，轴上的截距分别为，；
经过点，且平行于轴．
18.已知正六边形的边长是，以正六边形中心为原点，以对角线所在的直线为轴，如图建立平面直角坐标系．
求边所在的直线的方程；
求过点，且与边所在直线垂直的直线的方程。
19.设直线的方程为．
若在两坐标轴上的截距相等，求的方程；
是否存在实数，使直线不经过第二象限？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
20.已知过点的直线与直线垂直．
若，且点在函数的图象上，求直线的一般式方程；
若点在直线上，判断直线是否经过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
21.为了绿化城市，准备在如图的矩形内规划一块地面，修建一个矩形草坪，按规划要求，草坪的两边与分别在和上，且草坪不能超过文物保护区的边界，经测量，，，以点为原点，所在的直线为轴，建立坐标系．
求直线所在的直线方程；
问应如何设计才能使草坪的占地面积最大又符合设计要求？并求出最大面积精确到
Part4 综合练习答案及解析
1.【答案】
【解答】
解：化为斜截式得 ，
直线的斜率为，
设直线的倾斜角为．
由，得．
故选D．
2.【答案】
【解答】
解：直线，
令，得到，解得，所以；
令，得到，解得，所以．
结合选项可知，B正确．
故选B．
3.【答案】
【解答】
解：直线，直线：，且，
，
解得或，
经验证当或时，都能使两直线平行．
故选C．
4.【答案】
【解答】
解：设直线方程是，
分别令，得，
令，得，
直线在坐标轴上的截距，
所以．
所以，
故直线在轴上的截距为或．
5.【答案】
【解答】
解：直线不经过第一象限，
可得或，
解得，
则的取值范围是．
故选D．
6.【答案】
【解答】
解：把坐标代入两条直线和，
得，，
，
过点，的直线的方程是：，
，则，
，，
所求直线方程为：．
故选：．
7.【答案】
【解答】
解：，
直线可化为，
，
直线过一、二、三象限，
故选ABC．
8.【答案】
【解答】
解：直线，，不能围成三角形，
时不符合题意，所以，
故其中有条直线平行，或者三线经过同一个点．
若其中有条直线平行，则，或，求得，或．
若三线经过同一个点，则直线和直线的交点在上，
故有，求得．
综上所述，或或．
故选：．
9.【答案】
【解答】
解：直线：可化为，斜率为，在轴上的截距为．
直线：可化为，斜率为，在轴上的截距为．
当时，直线与平行，故A正确；
选项B中，由直线在轴上的截距可得，，
而由直线的斜率为，可得，故B不正确；
选项C中，由直线的斜率为，而直线在轴上的截距，
直线在轴上的截距为，直线的斜率为，故C正确；
选项D中，两直线斜率，，
再由直线在轴上的截距，故D不正确．
故选：．
10.【答案】
【解答】
解：对于项，当时，直线的方程为，显然与垂直，所以正确；
对于项，若直线与直线平行，可知，
解得或，经检验均符合题意，所以不正确；
对于项，当时，有，所以直线过定点，所以正确；
对于项，当时，直线的方程为，
在两坐标轴上的截距分别是，所以不正确；
故选：．
11.【答案】
【解答】
解：显然直线的斜率存在，设为且，则直线的方程为，
所以当时，，当时，，
所以，
若，得，整理得，
所以或者，
即或者，
由的，
得方程无解，
由的，
得方程有两个不等实数解，
所以时不满足直线有条，故A错误．
同理可得B错误，C正确，D正确．
故选CD．
12.【答案】
【解答】
解：设与直线垂直的直线方程为，
把点代入可得，
，
故所求的直线的方程为，
故答案为．
13.【答案】
【解答】
解：由已知直线与直线：平行，
所以设直线方程为，令得到，令得到，
因为直线在两坐标轴上的截距之和为，
所以，解得，
所以直线的方程为即，
故答案为．
14.【答案】
【解答】
解：直线化为，
则
解得：，所以过定点，
因为化为，，
因为直线的倾斜角为，所以，解得：．
故答案为 ；．
15.【答案】
【解答】
解：因为直线：与：互相垂直，
则，解之得：，
又因为两直线垂足为
则，解得：
将代入直线：，
则，
解之得：，
所以
故答案为：
16.【答案】
【解答】
解：由题意知直线，恒过定点，直线在轴上的截距为，直线在轴上的截距为，
所以四边形的面积，
故当时，四边形的面积最小，最小值为．
故答案为；．
17.【答案】解：若直线的斜率是，且经过点，
由点斜式，则该直线的方程为，
即．
若直线斜率为，在轴上的截距为，
由斜截式，则该直线的方程为，
即．
若直线经过，两点，
由两点式，则该直线的方程为，
即．
若直线在，轴上的截距分别是，，
由截距式，则该直线的方程为，
即．
若经过点，且平行于轴，
则，即．
18.【答案】解：由题意知，，
用两点式写出边所在的直线方程，
即，
由题意知，
，
设与边所在直线垂直的直线的方程的斜率为，
则，解得，
点，且与边所在直线垂直的直线的方程，
即．
19.【答案】解：直线可化为 ，
令，，
则，，所以直线恒过．
当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距为零，即截距相等，
时满足条件，此时的方程为；
当时，直线平行于轴，在轴无截距，不合题意；
当，且时，由，即，即．
此时直线在轴、轴上的截距都为，的方程为．
综上，直线的方程为或时，在两坐标轴上的截距相等．
假设存在实数，使直线不经过第二象限，
将的方程化为，
则有
解得，
的取值范围为．
20.【答案】解：点在函数的图象上，，即点，
由，得，即直线的斜率为，
又直线与直线垂直，则直线的斜率满足：，即，
所以直线的方程为，一般式方程为：．
点在直线上，
所以，即，
代入中，整理得，
由，解得，
故直线必经过定点，其坐标为．
21.【答案】解：在如图的坐标系中，，
由截距式，可得直线方程为，
即直线：．
设，因为在上，所以，
则矩形的面积为，
化简，得，，
配方，，，
易得当，时，最大，其最大值为．
即的长度为，的长度约时面积最大又符合设计要求，且最大面积为．