2.2.3直线的一般式方程 同步练（含解析）2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.3直线的一般式方程
一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线的方程为，若直线不经过第二象限，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．若，，则直线不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．已知直线与直线垂直，则实数m的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．1
5．已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．已知直线，则下列结论正确的是（　　）
A．直线可能与轴垂直 B．当时，直线的倾斜角为
C．当时，直线与直线平行 D．当时，直线与直线垂直
7．已知直线，，则下列说法正确的是（ ）
A．的充要条件为或 B．若，则
C．若直线不经过第四象限，则
D．若，则将直线绕坐标原点按逆时针方向旋转，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为
8．已知，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点与不重合），则以下说法正确的是（　　）
A． B．为定值
C．的最大值为 D．的最大值为
三、填空题
9．（1）若直线，则
①与相交 ； ②与平行 ；
③与重合 .
（2）若直线，则
①与相交 ； ②与平行或重合 .
10．无论取何实数，直线都经过定点
11．直线l经过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为 ．
12．若直线与曲线有4个交点，则k的取值范围为 .
四、解答题
13．据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程．
(1)求经过点，且与直线平行的直线方程；
(2)已知点，．求线段的垂直平分线的方程；
(3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．
14．已知方程．
(1)若方程表示一条直线，求实数的取值范围；
(2)若方程表示的直线的斜率不存在，求实数的值，并求出此时的直线方程；
(3)若方程表示的直线在轴上的截距为，求实数的值；
(4)若方程表示的直线的倾斜角是45°，求实数的值．
15．已知直线.
(1)若直线不经过第四象限，求的取值范围；
(2)已知，若点到直线的距离为，求最大时直线的一般式方程.
16．已知直线的方程为．
(1)求证：不论为何值，直线必过定点；
(2)过点的直线交坐标轴正半轴于两点，当面积最小时，求的周长．
17．如图，已知直线过点，且与直线垂直，与轴、轴的正半轴分别交于两点，点为线段上一动点，且，交于点．
(1)求线段的垂直平分线方程；
(2)若的面积与四边形的面积满足，请你确定点在上的位置，并求出线段的长；
(3)判断在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
18．已知直线过定点，分别交轴、轴于点，求解下列问题．
（1）当时，的面积的最小值是 ；
（2）当的面积时，直线的条数为 ；
（3）当的面积时，直线的条数为 ；
（4）当的面积时，直线的条数为 ；
（5）当时，的最小值是 ；
（6）当直线在轴、轴上的截距的绝对值相等时，直线的方程是 ；
（7）若，则的最小值是 ；
（8）若，则的最小值是 ；
（9）若，则周长的最小值是 ；
（10）若，则外接圆面积的最小值是 ．
《2.3直线的一般方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C C A B BD BCD ABD
1．C
【分析】根据直线一般方程确定斜率，再由斜率与倾斜角的关系求倾斜角大小.
【详解】由直线，则斜率为，即为倾斜角的正切值，
结合倾斜角的范围，知倾斜角的大小为.
故选：C
2．C
【分析】法一：方程化为斜截式：，再依据题意分斜率是否为零即可求解；法二: 方程化为点斜式为，得到不论为何值直线都过定点，再数形结合即可求解.
【详解】法一：方程化为斜截式：，斜率存在，且直线与轴的交点为，
当时，直线的方程为，满足题意；
当时，直线不经过第二象限，点需在轴非正半轴上，
且斜率，即，解得．
综上可得，的取值范围为．
故选：C
法二：方程化为点斜式为，
所以不论为何值，直线都过定点，
作直线经过定点且平行于轴，直线经过定点和，如图所示，
因为直线不经过第二象限，所以和是符合条件的临界位置，即，
所以的取值范围为．
故选：C
3．C
【分析】化直线的方程为斜截式，由已知条件可得斜率和截距的正负，可得答案．
【详解】解：由题意可知 ，故直线的方程可化为 ，
由 ， 可得 ，
由斜率和截距的几何意义可知直线不经过第三象限．
故选：C．
4．A
【分析】根据两直线垂直的公式计算可得实数m的值.
【详解】由题意得，，解得.
故选：A.
5．B
【分析】通过分离参数将问题转化为过直线交点的直线系方程，即可求解.
解法一：直线方程可化为，解方程组，即可求解；
解法二（取特殊值）：直线方程中，令，得；令，得.解方程组，即可求解；
解法三：设直线过定点，则，即，解方程组，即可求解.
【详解】解法一：直线方程可化为，
分离参数后直线交点即为定点.
令，解得，所以直线过定点.
解法二（取特殊值）：直线方程中，
令，得；令，得.
由，解得，所以直线过定点.
解法三：设直线过定点，则，
即，
则，解得，所以直线过定点.
故选：B.
6．BD
【分析】由直线的方程得其斜率，由点A、B的坐标得直线的斜率，逐项判断即可.
【详解】因为直线的方程为，所以直线的斜率存在且为，不可能与轴垂直，A错误；
当时，直线的斜率为，故其倾斜角为，B正确；
，当时，直线的斜率为2，故直线与直线不平行，C错误；
当时，直线的斜率为，因为，故此时直线与直线垂直，D正确.
故选：BD.
7．BCD
【分析】利用两直线平行的结论结合充要条件的定义可判断A；.根据两直线垂直的结论可判断B；由直线方程，求得斜率与截距，建立不等式组，求解即可判断；先得到逆时针旋转后的直线方程，再根据左右平移求出平移后的直线方程，即可判断D.
【详解】对于A， 显然直线的斜率存在，若，则，解得或，
经检验时，这两条直线重合，所以，故充要条件不是“或”．故A不正确；
对于B，若，则，解得．故B正确；
对于C，若直线不经过第四象限，则，解得．故C正确；
对于D，若，则直线，将其绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为，故D正确.
故选：BCD
8．ABD
【分析】A选项，将两直线的一般式化为点斜式，求出定点A,B，得到的绝对值；B选项，利用两直线斜率关系，证得，从而利用直角三角形三边关系求出为定值；C选项，用基本不等式，计算三角形面积最大值；D选项，引进角为变量，实质是通过三角换元，解决两个变量的最值问题.
【详解】列表解析 直观解疑惑
选项 正误 原因
A √ 因为可化为，所以直线恒过定点．又因为可化为，所以直线恒过定点．故．
B √ 对于直线，因为，所以，可得，因此，为定值．
C × ，当且仅当时等号成立（点拨 注意等号成立的条件是否满足），所以的最大值为．
D √ 设，因为，所以为锐角，，所以，其中，所以当时，取得最大值．
故选：ABD.
9． 且 且
【分析】略
【详解】略
10．
【分析】将已知直线化为，结合，可得方程组，即可求得答案.
【详解】由题意知直线，即直线，
由于，故，
即无论取何实数，直线都经过定点，
故答案为：
11．或
【分析】截距互为相反数，分截距为零和不为零两种情况讨论求解即可.
【详解】当直线在两坐标轴上的截距均为0时，直线的方程为，即；
当直线在两坐标轴上的截距均不为0时，设直线的方程为，
则，解得，所以直线方程为，即．
所以直线的方程为或．
故答案为：或.
12．
【分析】先确定直线恒过的定点，然后根据两点斜率公式及直线斜率的变化规律、直线与抛物线的位置关系，数形结合求解即可.
【详解】直线恒过点且斜率存在的动直线，
又，作出图象，如图：
易知，
由，消得到，由，
得到或（舍）（因为时，，不合题意），
所以当时，与（或）相切，
由图可知，当时，直线与曲线有1个交点，不合题意；
当时，直线与曲线没有交点，不合题意；
当时，直线与曲线有1交点，不合题意；
当时，直线与曲线有2交点，不合题意；
当时，直线与曲线有3交点，不合题意；
设直线与曲线相切于点，
联立，消y得，
由
解得或（舍去，此时方程的根为，不合题意）
当，即时，
直线与曲线有4交点，符合题意；
当时，直线与曲线有3交点，不合题意；
当时，直线与曲线有2交点，不合题意；
综上，k的取值范围为.
故答案为：
13．(1)
(2)
(3)和
【分析】根据题给条件设直线方程即可.
（1）设与直线平行的直线方程为，代点即可求解.
（2）根据点求中点坐标及其斜率，与线段的垂直的直线的斜率与，点斜式写直线方程即可.
（3）设截距，考虑截距为和不为的情况，根据点斜式写直线方程即可.
【详解】（1）设与直线平行的直线方程为，过，则，则，所以直线的一般方程为.
（2）因为点，，中点为，，
则垂直平分线的斜率，则，
直线方程为，所以直线的一般方程为.
（3）设直线在两坐标轴上的截距为，即直线过
当截距时，直线过，，则，即；
当截距时，直线斜率，则，即.
所以在两坐标轴上的截距相等的直线方程为和.
14．(1)
(2)，方程为
(3)
(4)
【分析】（1）注意此时x、y的系数不同时为零才表示一条直线，从而解出m的范围；
（2）x的系数不为零但y的系数为零时可以表示斜率不存在的直线，以此解出m的值；
（3）在x轴上有截距代表x的系数不能为零，同时结合截距大小即可解出m的值；
（4）根据斜率大小列出m的方程求解即可解出m的值．
【详解】（1）当，的系数不同时为零时，方程表示一条直线，
令，因式分解得，解得或，
令，因式分解得，解得或，
所以若方程表示一条直线，则，即实数的取值范围为．
（2）结合第一小问的因式分解，当的系数且的系数时，直线斜率不存在，
由，解得或，由解得且，
所以，此时的系数，
方程为，整理得，即此时直线方程为．
（3）结合第一小问的因式分解，当方程表示的直线在轴上有截距，
可以知道的系数，也即且，
依题意，直线在轴截距为，即时，
将其代入方程得，
解得或（舍弃），故m的值为．
（4）倾斜角为，则x、y前面的系数都不为零，由题中方程可知此时直线斜率，
也即，解得，所以实数的值为。
15．(1)；
(2).
【分析】（1）根据方程求出直线l所过定点坐标，再由该直线不过的象限列式求解.
（2）确定取得最大值的条件，进而求出直线方程.
【详解】（1）直线l的方程为，因此直线l恒过定点，
若直线l不经过第四象限，则.
（2）由（1）知直线l恒过定点，
当且仅当时，d取得最大值，此时直线的斜率，
因此直线的斜率，直线的方程为，即，
所以直线的一般式方程为.
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）将直线方程整理为关于参数的表达式，利用其对任意恒成立的条件，即可证明直线过定点；
（2）通过直线过定点，设点斜式方程来求两坐标轴上的截距，再求面积，利用基本不等式求最小值，然后求出对应三角形的周长即可.
【详解】（1）由可得，，
令所以直线过定点．
（2）由（1）知，直线恒过定点，
由题意可设直线的方程为，直线与轴、轴正半轴的交点分别为，
令，得；令，得．
所以的面积，
当且仅当，即时等号成立，此时面积最小，
，，
的周长为．
所以当面积最小时，的周长为．
17．(1)
(2)点为线段的中点，
(3)存在，或或
【分析】1）由题意求出直线的方程，即可求得的坐标，从而得中点坐标，利用点斜式即可得的垂直平分线方程，再化成一般式即可；
（2）由，可得，由，得与相似，从而得，即可得答案；
（3）假定在轴上存在满足题意的点，分、和分别求解即可.
【详解】（1）因为直线与直线垂直，
所以直线的斜率，
又直线过点，
所以直线的方程为，
即．
令，得，即；
令，得，即．
则线段的中点坐标为，
又直线的斜率，
所以线段的垂直平分线方程为，
即；
（2）由（1）知直线的方程为，，
因为，
所以，
又，
则与相似，
于是有，
即，得，
此时点为线段的中点，
所以时，点为线段的中点，且；
（3）假定在轴上存在点，使为等腰直角三角形，
由（1）知直线的方程为，
如图1，当时，而点在轴上，点在轴的正半轴上，则点必与原点O重合，
设，因为，
所以，
于是有，
解得，此时满足题意；
如图2，当时，
由，，
知四边形为正方形，
设，
则，，
于是有，
解得，此时满足题意；
如图3，当时，
由，,
得，即，
设，
则，，
显然直线QM斜率为，则直线PM斜率必为1，
即，
解得，此时满足题意．
综上，y轴上存在点或或，使为等腰直角三角形．
18． 4 3 4 2 ，， 4 10
【分析】（1）根据截距式，结合基本不等式求解即可；（2）由题设，得到坐标，再利用即可求解；（3）根据（2），同理可求解；（4）根据（2），同理可求解；（5）根据（1）的截距式，结合基本不等式求解即可；（6）根据题意分截距为0及截距不为0两种情况进行讨论求解即可；（7）设，得到即可求解；（8）由（7）得，根据，其中，然后利用基本不等式结合三角恒等变形处理最值即可；（9）由题知，令，则式子化为,再利用基本不等式求最值即可；（10）由题知为外接圆直径，由（8）即可求解.
【详解】（1）由题意，设直线的截距式方程为,由点在直线上，可得，
由，解得，当且仅当，即时取等，
所以，即的最小值是4.
（2）由题知斜率存在，设，则，
所以，
或，
解得或，故共有三条直线满足条件．
（3）由题知斜率存在，设，则，
所以，
即或，
解得或，故共有四条直线满足条件．
（4）由题知斜率存在，设，则，
所以，
即或，
解得或，故共有两条直线满足条件．
（5）如图5,
因为，设，则，
当且仅当，即时，取最小值．
（6）如图6,
①当时，易得直线的方程为；
②当时，由，可得或，即或．
此时直线的方程为．
（7）如图7,
设，则（当时取等），
（8）如图8,
设，则，
不妨取，则
，（因）
当且仅当，即时取等，
所以，即，
又，当时取等，
所以，当且仅当时等号同时成立，
所以的最小值是.
（9）如图9,
设，则，，
．
令，
则上式化为
．
当，即时等号成立．
（10）如图10,
由于三角形是直角三角形，所以其外接圆的圆心在上，半径为,
故圆的面积取最小值，即长最小时，
．
．
故答案为：①4；②3；③4；④2；⑤；
⑥；⑦4；⑧；⑨10；⑩.