2.4.1圆的标准方程 同步练（含解析）2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 2.4.1圆的标准方程 同步练（含解析）2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 809.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-26 09:47:09 | ||
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文档简介
2.4.1圆的标准方程
一、单选题
1．已知圆M：，则圆心坐标和半径分别为（ ）
A．，4 B．，4 C．，2 D．，2
2．已知点，则以为直径的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．圆心为且与轴相切的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知圆心在轴上的圆过点且与轴相切，则该圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知O为坐标原点，圆，则（ ）
A．2 B．3 C． D．5
6．由曲线围成的图形面积为（ ）
A． B． C．2 D．
二、多选题
7．已知点A是圆上任意一点，点是直线与轴的交点，为坐标原点，则（ ）
A．以线段为直径的圆周长最小值为 B．面积的最大值为
C．以线段为直径的圆不可能过坐标原点 D．的最大值为25
8．已知圆过点，，且圆心在轴上，则下列说法正确的是（ ）
A．圆心的坐标为 B．圆的标准方程为
C．圆与轴的交点坐标为 D．圆上一点到点距离的最大值为
9．设圆，则下列命题正确的是（ ）
A．所有圆的面积都是 B．存在，使得圆C过点
C．经过点的圆C有且只有一个 D．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
10．已知直线，设两直线分别过定点，直线和直线的交点为为坐标原点，则（ ）
A．直线过定点，直线过定点 B．
C．的最小值为7 D．若，则恒满足
三、填空题
11．已知直线，直线，设直线与的交点为，点的坐标为，则以AP为直径的圆的方程为 ．
12．在平面直角坐标系中，和分别是圆与圆上的动点，则的最小值是 ．
13．在平面直角坐标系中，已知两个定点，，若动点满足，则动点的轨迹为 ．
14．已知两点M(-2,0),N(2,0),点P满足,则点P的轨迹方程为 .
四、解答题
15．已知三个顶点的坐标分别是.
(1)求AB边上的高所在的直线方程
(2)求外接圆的方程
16．已知圆经过点，且恒被直线平分.
(1)求圆的标准方程；
(2)设是圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程.
17．已知直线，直线和直线.
(1)若直线与的距离为求实数的值；
(2)曲线上是否存在点P，使得P到直线的距离与P到直线距离之比是，若存在，求出所有满足条件的P点坐标，若不存在，说明理由.
18．已知圆过三点，直线．
(1)求圆的方程；
(2)求圆关于直线对称的圆的方程；
(3)若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值．
19．已知圆心为的圆经过和，且圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)已知点在圆上．求的最大值；
(3)线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程．
《2.4.1圆的标准方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D C C B ABD ABD AD AB
1．D
【分析】利用给定圆的方程直接求出圆心坐标及半径即得.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为.
故选：D
2．B
【分析】利用中点坐标公式求出圆心，利用两点间距离公式求出半径，从而得到圆的方程即可.
【详解】设中点为O，则，即，
设圆半径为r，则，
则以为直径的圆的方程为.
故选：B.
3．D
【分析】首先得到半径，即可得到圆的方程.
【详解】因为圆心为且与轴相切，所以半径，
则圆的方程为.
故选：D
4．C
【分析】设圆心坐标，得到，再由点在圆上，代入即可求解.
【详解】设圆心坐标为：
由题意可知圆的标准方程为：，
由圆过点，
所以，解得：，
所以圆的标准方程为，
故选：C
5．C
【分析】求出圆心坐标，再利用两点间距离公式计算得解.
【详解】圆的圆心，所以.
故选：C
6．B
【分析】分类讨论研究曲线的性质并画出示意图，数形结合判断图形构成求面积.
【详解】当时，曲线为，
当时，曲线为，
当时，曲线为，
当时，曲线为，
同时点均在曲线上，如下图，
围成图形是4个半径均为的半圆，与1个边长为的正方形组成，
所以图形面积为.
故选：B
7．ABD
【分析】当三点共线，，可判断；，当时，面积最大，可判断；设以线段为直径的圆过坐标原点，利用直径所对的圆周角为直角科判断；设点，利用数量积的坐标运算可判断.
【详解】由题意得圆圆心，半径，点，
对于：如图所示，易知，
当且仅当三点共线，且点在线段上时，等号成立，
故线段为直径的圆周长最小值为，故正确；
对于：，
，
所以当时，面积的最大，最大值为，故正确；
对于：若以线段为直径圆过坐标原点，
由直径所对的圆周角为直角可得，
易知当点在轴上时，满足题意，
所以以线段为直径的圆可能过坐标原点，故错误；
对于：设点，易知，，
则，
所以，
即的最大值为25，故正确；
故答案为：.
8．ABD
【分析】设圆心坐标为，由题意可得，可求圆心判断A；利用两点间的距离公式求得半径可判断B；令，可得圆与轴的交点坐标判断C；求得圆心到的距离可求圆上一点到点距离的最大值判断D.
【详解】设圆心坐标为，由，得，
解得，故，故A正确；
所以，故圆的标准方程为， 故B正确；
令得，，故圆与轴的交点坐标为，故C错误；
圆心到点的距离为，故圆上一点到点距离的最大值为5+，故D正确.
故选：ABD.
9．AD
【分析】对于A，直接由圆的半径是，即得到答案；对于B，利用不等式说明圆C必定不过即可；对于C，给出和作为例子即可；对于D，说明圆心总在上即可.
【详解】对于A，由于每个圆的半径都是，故面积都是，A正确；
对于B，由于，故圆C必定不过，B错误；
对于C，对和，均有，故，即圆C经过点，C错误；
对于D，圆心始终在直线上，D正确.
故选：AD.
10．AB
【分析】对于A，直接由直线过定点即可判断；对于B，证明即可；对于C，求出圆P的方程，通过几何关系即可得解；对于D，可以设，若，求出点的轨迹方程，然后看和点P的方程是否一样即可.
【详解】对于A，可化作，可发现过定点，同理，过定点，A正确；
对于B，因为，所以恒成立，因此是以为直径的圆上的点，根据定义，，B正确；
对于C，由题可知、的中点为，，所以在圆上，所以，C错误；
对于D，设，若，则，化简可得，与的方程不符合，D错误．
故选：AB.
11．
【分析】联立直线得到点的坐标，根据中点坐标公式求出圆心坐标，再利用两点距离公式求出半径，即可写出圆的方程.
【详解】联立，得，，又，
所以由中点坐标公式得的中点坐标为，即圆心坐标为，
由两点间距离公式得半径，
所以圆的方程为．
故答案为：.
12．9
【分析】利用三角形的性质得，从而有，取点，利用阿氏圆的性质，得到，即可求解.
【详解】因为，当且仅当为线段与圆的交点（点在之间）时取等号，
则，
如图，易知（为圆与轴的一个交点），，
取点，由阿氏圆的性质，知，得到，
所以，
当且仅当，，三点共线时取到最小值．
故答案为：.
13．以为圆心、4为半径的圆
【分析】解法1：设点，根据已知条件利用两点坐标公式列式求解即可；解法2：根据阿氏圆的几何性质直接求解即可.
【详解】解法1：设点，则由得，整理得，
即，故动点的轨迹是以为圆心、4为半径的圆．
解法2：由题意设上有一点满足，可得，
在的延迟线上有一点，满足，可得，
所以根据阿氏圆的几何性质可知动点的轨迹为以为圆心、4为半径的圆，证明如下：
阿氏圆定义：平面内到两定点的距离之比为常数且的点的轨迹是一个圆，这个圆就叫做阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.
证明：设上有一点满足，在的延长线上有一点，满足，
设，，则，，解得，
以中点为圆心，为直径画圆，
可得，，，
在圆上任取一点，连接，
则，，所以，
又，所以，
所以.
14．
【分析】直接把已知数量积用坐标表示出来即可．
【详解】设，则，，
∴，即．
∴点轨迹方程为．
【点睛】本题考查求曲线的方程．解题方法是直接法，即设出动点坐标为，然后把已知条件（如几何性质）用坐标表示出来并化简即可，同时注意检验．
15．(1);
(2).
【分析】（1）根据垂直求得边上高的斜率，再利用点斜式方程即可写出边上高所在的直线方程；
（2）先判断出是直角三角形，故外接圆是以斜边为直径的圆，求出线段的中点与长度，即可写出外接圆方程.
【详解】（1）由题直线的斜率为,故边上高的斜率为，又边上的高过点，由点斜式方程得：，即；
（2）三个顶点的坐标分别是，
直线的斜率，直线的斜率，
则，即.
由可得外接圆是以线段为直径的圆，
线段的中点为，半径，
所以外接圆的方程是.
16．(1)；
(2)
【分析】（1）根据直线方程求定点，结合圆的性质，可得圆心，利用两点之间距离公式，可得答案；
（2）设动点坐标，根据题意，建立等量关系，代入圆的方程，可得答案.
【详解】（1）直线恒过点.
因为圆恒被直线平分，
所以恒过圆心，
所以圆心坐标为，又圆经过点，所以圆的半径，
所以圆的方程为
（2）设.因为为线段的中点，所以，
因为点是圆上的动点，所以，
即，所以的轨迹方程为.
17．(1)或；
(2)存在，.
【分析】（1）利用平行线间的距离公式计算即可；
（2）设P坐标，利用点到直线的距离公式计算即可.
【详解】（1）将的方程化为:，
直线与的距离，
解之得或；
（2）设，则P点到距离为，
则点到距离为，
则，即，
又因为，解之得：或；
所以满足条件的点P坐标为.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设出圆的标准方程，代入点的坐标求解出参数则圆的方程可知；
（2）根据斜率关系和中点关系求解出对称点的坐标，结合对称圆的半径不变求解出圆的方程；
（3）根据圆外一点到圆上点距离的最值可知，然后利用对称关系将转化为，结合三点共线可求最小值.
【详解】（1）设圆的方程为，代入，
则，解得，
所以圆的方程为；
（2）设，
由对称关系可知，解得，所以，
又因为对称圆的半径不变，
所以的方程为；
（3）因为，
由（2）可知关于直线的对称点为，
所以，
当且仅当共线时取等号，
所以，即的最小值为.
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由和的坐标，确定的斜率，进而得到 垂直平分线的方程，解得圆心的坐标，再由和的坐标，利用两点间的距离公式求出的值，即为圆的半径，由圆心和半径写出圆的标准方程即可.
（2）通过三角换元即可求解；
（3）设出和的坐标，由中点坐标公式把的坐标用的坐标表示，然后代入圆即可得到答案．
【详解】（1）因为，，所以，所以弦的垂直平分线的斜率为，
又弦的中点坐标为，
所以弦的垂直平分线的方程为，即，
与直线联立解得：，，
所以圆心坐标为所以圆的半径，
则圆C的方程为：；
（2）由（1）设
所以，
所以当时，取到最大值.
（3）设，线段的中点为，，为中点，
所以，则，①；
因为端点在圆上运动，所以，
把①代入得：，
所以线段的中点M的轨迹方程是.
一、单选题
1．已知圆M：，则圆心坐标和半径分别为（ ）
A．，4 B．，4 C．，2 D．，2
2．已知点，则以为直径的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．圆心为且与轴相切的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知圆心在轴上的圆过点且与轴相切，则该圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知O为坐标原点，圆，则（ ）
A．2 B．3 C． D．5
6．由曲线围成的图形面积为（ ）
A． B． C．2 D．
二、多选题
7．已知点A是圆上任意一点，点是直线与轴的交点，为坐标原点，则（ ）
A．以线段为直径的圆周长最小值为 B．面积的最大值为
C．以线段为直径的圆不可能过坐标原点 D．的最大值为25
8．已知圆过点，，且圆心在轴上，则下列说法正确的是（ ）
A．圆心的坐标为 B．圆的标准方程为
C．圆与轴的交点坐标为 D．圆上一点到点距离的最大值为
9．设圆，则下列命题正确的是（ ）
A．所有圆的面积都是 B．存在，使得圆C过点
C．经过点的圆C有且只有一个 D．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
10．已知直线，设两直线分别过定点，直线和直线的交点为为坐标原点，则（ ）
A．直线过定点，直线过定点 B．
C．的最小值为7 D．若，则恒满足
三、填空题
11．已知直线，直线，设直线与的交点为，点的坐标为，则以AP为直径的圆的方程为 ．
12．在平面直角坐标系中，和分别是圆与圆上的动点，则的最小值是 ．
13．在平面直角坐标系中，已知两个定点，，若动点满足，则动点的轨迹为 ．
14．已知两点M(-2,0),N(2,0),点P满足,则点P的轨迹方程为 .
四、解答题
15．已知三个顶点的坐标分别是.
(1)求AB边上的高所在的直线方程
(2)求外接圆的方程
16．已知圆经过点，且恒被直线平分.
(1)求圆的标准方程；
(2)设是圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程.
17．已知直线，直线和直线.
(1)若直线与的距离为求实数的值；
(2)曲线上是否存在点P，使得P到直线的距离与P到直线距离之比是，若存在，求出所有满足条件的P点坐标，若不存在，说明理由.
18．已知圆过三点，直线．
(1)求圆的方程；
(2)求圆关于直线对称的圆的方程；
(3)若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值．
19．已知圆心为的圆经过和，且圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)已知点在圆上．求的最大值；
(3)线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程．
《2.4.1圆的标准方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D C C B ABD ABD AD AB
1．D
【分析】利用给定圆的方程直接求出圆心坐标及半径即得.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为.
故选：D
2．B
【分析】利用中点坐标公式求出圆心，利用两点间距离公式求出半径，从而得到圆的方程即可.
【详解】设中点为O，则，即，
设圆半径为r，则，
则以为直径的圆的方程为.
故选：B.
3．D
【分析】首先得到半径，即可得到圆的方程.
【详解】因为圆心为且与轴相切，所以半径，
则圆的方程为.
故选：D
4．C
【分析】设圆心坐标，得到，再由点在圆上，代入即可求解.
【详解】设圆心坐标为：
由题意可知圆的标准方程为：，
由圆过点，
所以，解得：，
所以圆的标准方程为，
故选：C
5．C
【分析】求出圆心坐标，再利用两点间距离公式计算得解.
【详解】圆的圆心，所以.
故选：C
6．B
【分析】分类讨论研究曲线的性质并画出示意图，数形结合判断图形构成求面积.
【详解】当时，曲线为，
当时，曲线为，
当时，曲线为，
当时，曲线为，
同时点均在曲线上，如下图，
围成图形是4个半径均为的半圆，与1个边长为的正方形组成，
所以图形面积为.
故选：B
7．ABD
【分析】当三点共线，，可判断；，当时，面积最大，可判断；设以线段为直径的圆过坐标原点，利用直径所对的圆周角为直角科判断；设点，利用数量积的坐标运算可判断.
【详解】由题意得圆圆心，半径，点，
对于：如图所示，易知，
当且仅当三点共线，且点在线段上时，等号成立，
故线段为直径的圆周长最小值为，故正确；
对于：，
，
所以当时，面积的最大，最大值为，故正确；
对于：若以线段为直径圆过坐标原点，
由直径所对的圆周角为直角可得，
易知当点在轴上时，满足题意，
所以以线段为直径的圆可能过坐标原点，故错误；
对于：设点，易知，，
则，
所以，
即的最大值为25，故正确；
故答案为：.
8．ABD
【分析】设圆心坐标为，由题意可得，可求圆心判断A；利用两点间的距离公式求得半径可判断B；令，可得圆与轴的交点坐标判断C；求得圆心到的距离可求圆上一点到点距离的最大值判断D.
【详解】设圆心坐标为，由，得，
解得，故，故A正确；
所以，故圆的标准方程为， 故B正确；
令得，，故圆与轴的交点坐标为，故C错误；
圆心到点的距离为，故圆上一点到点距离的最大值为5+，故D正确.
故选：ABD.
9．AD
【分析】对于A，直接由圆的半径是，即得到答案；对于B，利用不等式说明圆C必定不过即可；对于C，给出和作为例子即可；对于D，说明圆心总在上即可.
【详解】对于A，由于每个圆的半径都是，故面积都是，A正确；
对于B，由于，故圆C必定不过，B错误；
对于C，对和，均有，故，即圆C经过点，C错误；
对于D，圆心始终在直线上，D正确.
故选：AD.
10．AB
【分析】对于A，直接由直线过定点即可判断；对于B，证明即可；对于C，求出圆P的方程，通过几何关系即可得解；对于D，可以设，若，求出点的轨迹方程，然后看和点P的方程是否一样即可.
【详解】对于A，可化作，可发现过定点，同理，过定点，A正确；
对于B，因为，所以恒成立，因此是以为直径的圆上的点，根据定义，，B正确；
对于C，由题可知、的中点为，，所以在圆上，所以，C错误；
对于D，设，若，则，化简可得，与的方程不符合，D错误．
故选：AB.
11．
【分析】联立直线得到点的坐标，根据中点坐标公式求出圆心坐标，再利用两点距离公式求出半径，即可写出圆的方程.
【详解】联立，得，，又，
所以由中点坐标公式得的中点坐标为，即圆心坐标为，
由两点间距离公式得半径，
所以圆的方程为．
故答案为：.
12．9
【分析】利用三角形的性质得，从而有，取点，利用阿氏圆的性质，得到，即可求解.
【详解】因为，当且仅当为线段与圆的交点（点在之间）时取等号，
则，
如图，易知（为圆与轴的一个交点），，
取点，由阿氏圆的性质，知，得到，
所以，
当且仅当，，三点共线时取到最小值．
故答案为：.
13．以为圆心、4为半径的圆
【分析】解法1：设点，根据已知条件利用两点坐标公式列式求解即可；解法2：根据阿氏圆的几何性质直接求解即可.
【详解】解法1：设点，则由得，整理得，
即，故动点的轨迹是以为圆心、4为半径的圆．
解法2：由题意设上有一点满足，可得，
在的延迟线上有一点，满足，可得，
所以根据阿氏圆的几何性质可知动点的轨迹为以为圆心、4为半径的圆，证明如下：
阿氏圆定义：平面内到两定点的距离之比为常数且的点的轨迹是一个圆，这个圆就叫做阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.
证明：设上有一点满足，在的延长线上有一点，满足，
设，，则，，解得，
以中点为圆心，为直径画圆，
可得，，，
在圆上任取一点，连接，
则，，所以，
又，所以，
所以.
14．
【分析】直接把已知数量积用坐标表示出来即可．
【详解】设，则，，
∴，即．
∴点轨迹方程为．
【点睛】本题考查求曲线的方程．解题方法是直接法，即设出动点坐标为，然后把已知条件（如几何性质）用坐标表示出来并化简即可，同时注意检验．
15．(1);
(2).
【分析】（1）根据垂直求得边上高的斜率，再利用点斜式方程即可写出边上高所在的直线方程；
（2）先判断出是直角三角形，故外接圆是以斜边为直径的圆，求出线段的中点与长度，即可写出外接圆方程.
【详解】（1）由题直线的斜率为,故边上高的斜率为，又边上的高过点，由点斜式方程得：，即；
（2）三个顶点的坐标分别是，
直线的斜率，直线的斜率，
则，即.
由可得外接圆是以线段为直径的圆，
线段的中点为，半径，
所以外接圆的方程是.
16．(1)；
(2)
【分析】（1）根据直线方程求定点，结合圆的性质，可得圆心，利用两点之间距离公式，可得答案；
（2）设动点坐标，根据题意，建立等量关系，代入圆的方程，可得答案.
【详解】（1）直线恒过点.
因为圆恒被直线平分，
所以恒过圆心，
所以圆心坐标为，又圆经过点，所以圆的半径，
所以圆的方程为
（2）设.因为为线段的中点，所以，
因为点是圆上的动点，所以，
即，所以的轨迹方程为.
17．(1)或；
(2)存在，.
【分析】（1）利用平行线间的距离公式计算即可；
（2）设P坐标，利用点到直线的距离公式计算即可.
【详解】（1）将的方程化为:，
直线与的距离，
解之得或；
（2）设，则P点到距离为，
则点到距离为，
则，即，
又因为，解之得：或；
所以满足条件的点P坐标为.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设出圆的标准方程，代入点的坐标求解出参数则圆的方程可知；
（2）根据斜率关系和中点关系求解出对称点的坐标，结合对称圆的半径不变求解出圆的方程；
（3）根据圆外一点到圆上点距离的最值可知，然后利用对称关系将转化为，结合三点共线可求最小值.
【详解】（1）设圆的方程为，代入，
则，解得，
所以圆的方程为；
（2）设，
由对称关系可知，解得，所以，
又因为对称圆的半径不变，
所以的方程为；
（3）因为，
由（2）可知关于直线的对称点为，
所以，
当且仅当共线时取等号，
所以，即的最小值为.
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由和的坐标，确定的斜率，进而得到 垂直平分线的方程，解得圆心的坐标，再由和的坐标，利用两点间的距离公式求出的值，即为圆的半径，由圆心和半径写出圆的标准方程即可.
（2）通过三角换元即可求解；
（3）设出和的坐标，由中点坐标公式把的坐标用的坐标表示，然后代入圆即可得到答案．
【详解】（1）因为，，所以，所以弦的垂直平分线的斜率为，
又弦的中点坐标为，
所以弦的垂直平分线的方程为，即，
与直线联立解得：，，
所以圆心坐标为所以圆的半径，
则圆C的方程为：；
（2）由（1）设
所以，
所以当时，取到最大值.
（3）设，线段的中点为，，为中点，
所以，则，①；
因为端点在圆上运动，所以，
把①代入得：，
所以线段的中点M的轨迹方程是.