2.5.1第2课时　直线与圆的位置关系 同步练习（含解析）2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第二课时 直线与圆的位置关系
一、单选题
1．过原点且与圆相切的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．过点可以作圆的切线的条数为（ ）
A． B． C． D．无数条
3．过圆外的点作O的一条切线，切点为A，则（ ）
A． B． C． D．5
4．已知圆的圆心为，且经过点，过点作圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．过点作直线与圆相切，斜率的最大值为，若，，，则的最小值是（ ）
A．12 B．9 C． D．
6．若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．已知圆，设点为圆上的动点，则下列选项正确的是（ ）
A．点到原点的距离的最小值为2 B．过点的直线与圆截得的最短弦长为6
C．的最大值为1 D．过点作圆的切线有2条
8．设直线与圆，则下列结论正确的为（ ）
A．可能将的周长平分 B．若直线与圆相切，则
C．当时，圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于1
D．若直线与圆交于两点，则面积的最大值为2
9．已知圆C关于y轴对称，被x轴分成的上下两段弧的弧长之比为，且与x轴相交所得的弦长为，点为圆C上的动点，则（ ）
A．圆C的方程为 B．点P到直线的距离恒大于1
C．有且仅有一个点P使得直线的斜率为 D．当最大时，
10．已知点，为圆上两动点，且，点为直线上动点，则（ ）
A．圆心到直线的距离为 B．以为直径的圆与直线相离
C．的最大值为 D．的最小值为
三、填空题
11．已知点及圆：，若为上动点，则点到直线AB的距离的最大值为 ．
12．已知点M，N在直线上运动，且，点P在圆上，则的面积的最大值为 ．
13．已知圆，点A是直线上的一个动点，过点A作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积的最小值为 ；直线过定点 .
14．已知二次函数与轴交于两点，点，圆过三点，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则该定值为 .
四、解答题
15．已知圆C的方程为：；
(1)过点作圆的切线，求切线的方程.
(2)已知圆C上有2个点到直线：的距离为1，求m的取值范围.
16．已知点是圆上任意一点．
(1)求点到直线的距离的最大值和最小值；
(2)求的最大值和最小值．
17．已知直线恒过定点，且以为圆心的圆与直线相切.
(1)求圆的一般方程；
(2)设过点的直线与圆交于，两点，判断是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
18．已知定点，动点满足．
(1)求动点的轨迹的方程．
(2)设过点且与轴不重合的直线交曲线于E，F两点．
①过点作与直线垂直的直线交曲线于G，H两点，求四边形EGFH面积的最大值；
②设曲线与轴交于P，Q两点，直线PE与直线QF相交于点，证明：点在定直线上．
19．已知过点的直线与圆相交于、两点，直线．

(1)当时，求直线的方程；
(2)设为直线上的动点，过作圆的两条切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值；
(3)是否存在直线，使得向量与共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由．
《2.5.1第二课时 直线与圆的位置关系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B A A D AD BCD AC ABD
1．A
【分析】判断原点与圆的位置关系，再求出切线方程.
【详解】原点在圆上，而圆心，
直线斜率为，因此切线的斜率为，方程为，即.
故选：A
2．B
【分析】判断点与圆的位置关系，即可得出结论.
【详解】因为，故点在圆上，所以因此过点只能作一条圆的切线.
故选：B.
3．B
【分析】根据圆的方程可得圆心和半径，结合切线的性质求切线长.
【详解】由题意可知：圆O的圆心为，半径，
所以，即．
故选：B.
4．A
【分析】由题意求得其中一个切点的坐标，并求出的斜率即可求解.
【详解】由题意，圆的半径为圆的标准方程为．
当斜率不存在时，过点的直线为，与圆相切于点．
由圆的切线的性质可知，，
直线AB的方程为，即．
故选：A.
5．A
【分析】先根据圆心到直线距离等于半径得出或，再应用基本不等式计算最小值即可.
【详解】设直线的方程为，圆心到直线的距离为，解得或，
所以，所以，
所以.
当且仅当时取最小值.
故选：A.
6．D
【分析】根据半圆与直线的位置关系，求出切线斜率，数形结合得解.
【详解】由得，
直线经过定点，如图，
，
当直线与半圆相切时，，
所以恰有两个公共点时，由图可知，，
故选：D．
7．AD
【分析】由题意可知圆心和半径.结合圆的性质判断AB；分析可知表示直线的斜率，结合切线分析求解；对于D：分析可知点在圆外，即可得结果.
【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径，
对于选项A：点到原点的距离的最小值为，故A正确；
对于选项B：因为，可知点在圆内，
所以最短弦长为，故B错误；
对于选项C：因为表示直线的斜率，

当与圆相切时，此时，取到最大值，故C错误；
对于选项D：因为，可知点在圆外，
所以过点作圆的切线有2条，故D正确；
故选：AD.
8．BCD
【分析】对于A，根据圆的对称性，可得当直线平分圆的周长时，直线所过的点，结合题意，可得答案；
对于B，利用直线与圆相切的性质，求得直线与圆心的距离与半径，建立方程，可得答案；
对于C，求得直线与圆心的距离与半径进行比较，可得答案；
对于D，求得弦心距与弦长，利用函数思想，可得答案.
【详解】对于A，当直线过圆心时，圆的周长会被平分，由圆，则圆心为原点，半径，
由直线恒过且斜率存在，则直线不可能过原点，故A错误；
对于B，由，则其一般式方程为，
圆与直线相切，可得，解得，故B正确；
对于C，由，则直线，其一般式为，
圆心到直线的距离，由，故C正确；
对于D，圆心到直线的距离，
令，则，
弦，
的面积，
则，整理可得，
当时，，故D正确.
故选：BCD.
9．AC
【分析】设圆的标准方程，根据弧长之比及弦长建立方程求解，从而判断选项A，求出点P到直线的最小距离判断选项B，利用相切关系求出切线斜率判断C，求出切线长即可判断D.
【详解】因为圆C关于y轴对称，所以圆心在轴上，所以设圆的方程为，
又圆C被x轴分成的上下两段弧的弧长之比为，且与x轴相交所得的弦长为，
所以劣弧所对的角为，所以，所以，
所以圆C的方程为，
故选项A正确；
因为点，所以直线AB的方程为即，
所以圆心到直线AB的距离为，
所以点P到直线的最小距离为，
即点P到直线的距离不恒大于1，故选项B错误；
由题意可知，直线AP的斜率存在，其方程设为，
当直线AP与圆相切时，圆心到直线AP的距离为，解得，
所以有且仅有一个点P使得直线的斜率为，故选项C正确；
当直线PB与圆相切时，最大，此时，
故选项D错误.
故选：AC
10．ABD
【分析】对于A，根据条件，利用弦长公式，即可求解；对于B，利用选项A可得点在以为圆心，为半径的圆上，再利用圆的几何性质和直线与圆的位置关系的判定，即可求解；对于C，根据条件找到最大角，进而得最大角小于，即可求解；对于D，根据条件得到，再求出，即可求解.
【详解】对于选项A，设的中点为，如图1，连接，.

则，，
所以，故选项A正确；
对于选项B，由A知，点在以为圆心，为半径的圆上，又原点到的距离为，
所以点到直线的距离的最小值为，
因为，故以为直径的圆与直线相离，所以选项B正确；
对于选项C，如图2，当直线与直线平行，且，，共线时，为等腰三角形，
此时最小，最小值为，又，故此时最大，且，

则，所以，则，故选项C错误；
对于选项D，，
当，，，共线，且在，之间时取等号，，
所以的最小值为，所以选项D正确，
故选：ABD.
11．
【分析】先判断直线AB与圆相离，再根据圆上的点到直线的距离最大值为圆心到直线的距离与半径的和求解即可.
【详解】由得直线AB的方程为，即．
圆化为标准形式为，
圆心的坐标为，半径，
则圆心到直线AB的距离，
所以直线AB与圆相离，
所以点到直线AB的距离的最大值为．
故答案为：
12．15
【分析】设圆心C到直线的距离为d，P到直线l的距离为，当最大时，则，最后由三角形的面积公式即可求解.
【详解】设圆心C到直线的距离为d，P到直线l的距离为，
又圆心坐标为，所以，
又半径为，则当最大时，，
此时的面积也最大，最大值为．
故答案为：15.
13．
【分析】第一空，，结合圆的几何性质推出，即可知当垂直于直线时，d最小，即可求得答案；第二空，设，表示出以为直径的圆的方程，和圆的方程相减，可得直线的方程，分离参数，即可求得直线所过的定点坐标.
【详解】由题意过点A作圆的两条切线，切点分别为，
连接,则,
设，则,
故,
当垂直于直线时，d最小，
所以，所以；
由于点A是直线上的一个动点，设点，
线段的中点设为P，则，且，
所以以线段为直径为圆的方程为 ，
即，
将方程与作差可得，
即直线的方程为，可得，
由于,故，
因此，直线恒过定点，
故答案为：；
14．
【分析】利用同解方程可求圆的方程，根据利用垂径定理可求弦长，根据弦长为定值可求斜率和截距的值，故可求定值.
【详解】设圆的方程为，令，
则，其解为的横坐标，
故该方程与同解，故，
又圆过，故，故，
故，故圆的方程为：.
其标准方程为：，
若定直线的斜率不存在，则可得定直线为：，
此时截得的弦长为：
，
无论取何值，弦长总不是常数，
设定直线为即，
圆心到直线的距离，
故弦长为
，
若弦长为定值，则且，
故，此时弦长为，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：对于圆中的定值问题，我们可以根据几何性质得到恒等式，再根据系数的性质得到参数满足的方程，从而求出定值.
15．(1)或
(2)且
【分析】（1）先判断点和圆的位置关系，如果在圆外，分切线的斜率不存在和切线的斜率存在两种情况进行讨论；
（2）先求临界位置，即分别求圆上有1个点到的距离为1，圆上有3个点到的距离为1时m的值，取中间范围即圆上有2个点到的距离为1.
【详解】（1）由题可知圆心，
因为，
所以P在圆外，过圆外一点作圆的切线有2条.
①当k存在时，设切线方程：，即.
则圆心C到的距离d＝，
此时切线：
②当k不存在时，过点的直线方程为，
圆心到直线的距离为2，
所以直线与圆相切，
此时切线方程：
综上：切线的方程为：或
（2）圆心到的距离 ，
当圆上有1个点到的距离为1，则
当圆上有3个点到的距离为1，则，
所以当圆上有2个点到的距离为1，则，
所以，即，，
的取值范围为且
16．(1)最大值为，最小值为
(2)最大值为，最小值为．
【分析】（1）先求圆心到直线的距离，数形结合，进而求点到直线距离的最大值和最小值；
（2）方法一：设，转化为直线与圆有公共点；方法二：利用三角换元求最值．
【详解】（1）由题意，圆心为，半径，
则圆心到直线的距离为．
点到直线的距离的最大值为，最小值为．
（2）方法一：设，则直线与圆有公共点，
，解得，
则，即的最大值为，最小值为．
方法二：设，则，
其中，解得，
即的最大值为，最小值为．
17．(1)
(2)13
【分析】（1）由直线系方程求出定点，再由圆心到直线的距离求出半径即可得解；
（2）设过点的直线方程，代入圆的方程，利用韦达定理及弦长公式
即可得解.
【详解】（1）由可得，
当时，解得，
故直线恒过定点，
所以圆心到切线的距离，
即圆的半径为2,
所以圆的方程为：，
故圆的一般方程为
（2）点到圆心的距离，故点在圆外，
如图，
过点的直线与圆相交时斜率存在，故设过点的直线方程为，
代入圆的方程可得，
当时，
设，，
则，
所以
.
即为定值13.
18．(1)
(2)①7 ；②证明见解析
【分析】（1）根据两点间距离公式列方程，化简可得结论．
（2）①根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式可计算｜EF｜，｜GH｜，即可根据面积公式得表达式，结合基本不等式即可求解最值．②联立直线与圆的方程得根与系数的关系，由圆的方程得P，Q的坐标，即可根据点斜式求解直线PE，QF的方程，联立两直线方程即可求解定直线，从而得证．
【详解】（1）设动点的坐标为，因为，且，
所以，
整理得，即，
所以动点的轨迹的方程为．
（2）①如图，因为直线不与轴重合，所以设直线的方程为，
即，则直线GH的方程为．
由（1）知轨迹为圆，圆的半径为，
设圆的圆心到直线和直线GH的距离分别为，
则，
所以，
所以．
当时，；
当时，，
当且仅当时等号成立．
综上所述，四边形EGFH面积的最大值为7．
②设，联立得，
则．
因为曲线与轴交于P，Q两点，所以不妨取（如图），
则直线PE的方程为，
直线QF的方程为．
联立两直线方程得，
所以在定直线上，得证．
19．(1)或
(2)
(3)存在直线，使得向量与共线，直线的方程为
【分析】（1）法一：设弦的中点为，分直线的斜率不存在与直线的斜率存在两种情况讨论可求得直线的方程；法二：设直线的方程为，利用点到线的距离可得，求解即可；
（2）法一：由题意得，结合，可求面积的最小值；法二：前面与法一相同，利用，结合二次函数的知识可求得的最小值，进而可得结论；
（3）设直线的方程为，、，与圆的方程联立方程组，结合根与系数的关系，可得，进而得，结合已知得，判断方程有无解即可.
【详解】（1）（解法一）设弦的中点为，
①当直线的斜率不存在时，易知符合题意．
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为即，
，，则由，解得，
此时直线的方程为，
故直线的方程为或；
（解法二）易知直线的斜率不为零，设直线方程为，
，，则由，解得或，
故直线的方程为或；
（2）（解法一）由于、为圆的两条切线，
所以，
又，而的最小值为点到直线的距离，
所以，
故四边形面积的最小值为；
（解法二） （前两步同解法一）
设点的坐标为，则，
，
所以当时，，
故四边形面积的最小值为；
（3）易知直线的斜率不为零，设直线的方程为，、，
由，可得，
可得，
所以，所以，
则，所以.
又，，所以，
若向量与共线，则，
由，可得，解得，
当时，，
所以存在直线，使得向量与共线，
直线的方程为，即.