2.5.2 圆与圆的位置关系 同步练（含解析）2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 2.5.2 圆与圆的位置关系 同步练（含解析）2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-26 09:48:23 | ||
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文档简介
圆与圆的位置关系
一、单选题
1．已知圆，圆，则两圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
2．已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．内切 D．外切
3．已知圆与圆，若圆C完全覆盖圆，，则圆C的半径的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．圆与圆的公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．实数满足，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
6．若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．已知圆，圆．则下列选项正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．当圆和圆有三条公切线时，若P，Q分别是圆上的动点，则
C．若圆和圆共有2条公切线，则
D．当时，圆与圆相交弦的弦长为
8．已知圆和圆，则（ ）．
A．圆的半径为4 B．y轴为圆与的公切线
C．圆与公共弦所在的直线方程为
D．圆与上共有3个点到直线的距离为1
9．（多选）已知圆和圆相交于两点，则下列说法中正确的是（ ）
A．两圆有两条公切线 B．直线的方程为
C．线段的长为
D．过点，的圆系方程可以记为
10．已知圆与圆交于两点，则（ ）
A．圆与圆有两条公切线 B．直线的方程为
C． D．线段的垂直平分线的方程为
三、填空题
11．圆与圆的公切线的条数是 条．
12．已知圆与圆相交于两点A，B，则AB的直线方程为 ．
13．在平面直角坐标系中，已知点与点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是 .
14．如图，已知圆C的方程为，且是直线：上的一个动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为A，B，则线段长度的最小值为 .
四、解答题
15．已知圆，圆．
(1)若圆与圆外切，求实数的值；
(2)设时，圆与圆相交于、两点，求．
16．已知圆，圆．
(1)若两圆内含，求实数的取值范围．
(2)是否存在实数，使得两圆公共弦的长度为2？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
17．已知平面内的动点与两个定点，的距离的比为，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程，并说明其形状；
(2)若过点的直线与曲线交于两点，求的取值范围；
(3)已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线，（为切点），证明：直线过定点，并求该定点坐标．
18．已知圆心在直线上且过点的圆与直线相切，其半径小于5．若圆与圆关于直线对称．
(1)求圆的方程；
(2)求圆与圆公切线段的长度；
(3)过直线上一点作圆的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形面积最小时，求直线CD的方程．
19．在平面直角坐标系中，两点，点满足．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)已知圆，求圆心在上，且过圆与曲线交点的圆的方程；
(3)过点作直线交曲线于两点，，求面积的最大值．
《2.5.2圆与圆的位置关系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A C C D ABD BC ABC ABD
1．C
【分析】根据圆与圆的位置关系，利用圆心距与半径间的关系判断即可.
【详解】，圆心，半径，
可化简为，
则圆的圆心为，半径，
，所以两圆相交.
故选：C.
2．B
【分析】由题意可得圆心位于直线上，根据圆的方程写出圆心与半径，结合圆与圆的位置，可得答案.
【详解】圆关于直线对称，
圆心在直线上，，，
圆，即，圆心为，半径为．
圆的标准方程是，圆心，半径，
所以，
所以圆与圆的位置关系是相交．
故选：B.
3．A
【分析】先判断圆与圆外切，依题意只需使所求圆的半径等于两圆半径之和即可.
【详解】依题意，圆的圆心，半径，圆的圆心，半径为，
则，故两圆外切，
因圆C覆盖圆，，所以圆半径的最小值为.
故选：A.
4．C
【分析】计算圆心距，判断两圆位置关系后即可得公切线条数.
【详解】圆的方程等价于，
所以圆是以为圆心，为半径的圆，
圆 是以为圆心，为半径的圆，
所以圆，圆的圆心距为，
圆，圆半径之和为，
即圆心距等于两半径之和，因此两圆外切，
所以圆，圆有3条公切线．
故选：C
5．C
【分析】解法1：令，（为参数），代入利用三角恒等变换即可求解；
解法2：由题意有，利用柯西不等式得，令得，解一元二次不等式即可求解；
解法3：设，则圆心为，半径为，由的圆心为，半径为，设圆心距为，利用两圆的位置关系有，即，进而求解.
【详解】由题意令，（为参数），
所以
，
所以的最大值是，
解法2：
由有，
所以，
当且仅当时，等号成立，
令，所以，即，
所以，所以，
所以，即，
所以的最大值是，
解法3：
设，则圆心为，半径为，由的圆心为，半径为，
设圆心距为，则，则有，
即，即，
所以的最大值为，
故选：C.
6．D
【分析】根据两圆的公切线数量得出两点间距离范围，再结合一元二次不等式求解即可.
【详解】因为圆：与圆：有且仅有2条公切线，
所以圆：与圆：相交，
所以，
所以或.
故选:D.
7．ABD
【分析】根据圆的方程确定圆心，可求出直线的方程，即可判断A；根据圆和圆外切求出a的值，数形结合，可判断B；根据两圆公切线条数判断两圆相交，列不等式求解判断C；求出两圆的公共弦方程，即可求得两圆的公共弦长，判断D.
【详解】对于A，由圆，，
可知，故直线的方程为，
即，即得直线恒过定点，A正确；
对于B，即，
当圆和圆有三条公切线时，圆和圆外切，则，
解得，
当时，如图示，当共线时,；
同理求得当时，，B正确；
对于C，若圆和圆共有2条公切线，则两圆相交，
则，即，解得，C错误
对于D，当时，两圆相交，
，，
将两方程相减可得公共弦方程，
则到的距离为，
则圆与圆相交弦的弦长为，D正确，
故选：ABD.
8．BC
【分析】对于A项，将圆的方程化成标准式即得；对于B项，判断圆心到直线的距离等于圆的半径即得；对于C项，只需将两圆方程相减化简，即得公共弦直线方程；对于D项，需要结合图像作出两条和已知直线平行且距离等于1的直线，通过观察分析即得.
【详解】对于A，圆化为标准方程为，则圆的半径为2，故A错误．
对于B，因为圆心到y轴的距离为1，等于圆的半径，
所以圆与y轴相切，
同理圆心到y轴的距离等于圆的半径，
所以圆与y轴相切，故y轴为圆与的公切线，故B正确．
对于C，将与左右分别相减，得圆与的公共弦所在的直线方程为，故C正确．
对于D，如图，
因为直线同时经过两圆的圆心，
依题意可作两条与该直线平行且距离为1的直线与，
其中与和圆都相切，各有一个公共点，
与和圆都相交，各有两个交点，
故圆与上共有6个点到直线的距离为1，故D错误.
故选：BC.
9．ABC
【分析】选项A根据两圆相交于两点，故存在两条公切线；选项B根据两圆的方程相减得出直线的方程；选项C根据点到直线距离公式求出圆心到的距离d，再根据勾股定理求出的长度；选项D根据，将圆系方程变形为标准方程，通过恒成立，证明圆系方程真实存在，但此圆系中不包含圆.
【详解】因为圆和圆：相交于，两点，
所以两圆有两条公切线，故A正确．
圆和圆的方程相减得，
所以直线的方程为，故B正确．
圆心到直线的距离为，所以线段的长为：
，故C正确．
因为，，所以，恒成立，
即过，两点的圆的方程可化为，
而恒成立，
所以方程表示圆系，
但此圆系不包括圆，故D不正确．
故选：ABC．
10．ABD
【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，进而判断圆的位置关系确定切线条数，两圆方程作差求相交弦方程，应用几何法求相交弦长，垂直关系求斜率并应用点斜式求直线方程.
【详解】由，则圆心，半径，
由，则圆心，半径，
所以，即，故两圆相交，
所以圆与圆有两条公切线，A对；
两圆作差有，整理得，B对；
由到的距离，则，C错；
由B知，则线段的垂直平分线的斜率，
故线段的垂直平分线的方程为，D对.
故选：ABD
11．3
【分析】确定两圆的位置关系，进而求出公切线条数.
【详解】圆的圆心，半径；
圆的圆心，半径，
而，因此圆与圆外切，
所以两圆的公切线条数是3.
故答案为：3
12．
【分析】两圆方程相减后可得公共弦的方程.
【详解】由题设可得的方程为：，
整理得：，
故答案为：
13．
【分析】设，由可得，问题转化为圆与圆有公共点，由圆与圆的位置关系列式求解.
【详解】设，因为，
所以，化简得，
则圆与圆有公共点，所以，即，解得.
故答案为：.
14．
【分析】利用切线的性质确定P，A，C，B四点共圆，设P坐标表示该圆心坐标，从而写出圆的标准方程，根据两圆公共弦方程得出方程，由点到直线的距离公式及二次函数的性质计算最值即可.
【详解】显然P，A，C，B四点共圆，且为该圆的一条直径.设这四点所在圆的圆心为Q，而P在直线：上，
设，由，可知，
又，则圆的方程为，
即①，
又圆的半径，圆的方程可化为②，
由①-②可得圆与圆的公共弦所在直线的方程，
点到直线的距离，
∴
，
∴时，线段的长度取得最小值.
故答案为：
15．(1)或
(2)
【分析】（1）由两圆外切得，直接可得实数的值；
（2）将两圆方程相减得相交弦AB的方程，再由圆的弦长公式即可求公共弦长.
【详解】（1）因圆，得圆心，半径.
又圆，得圆心，半径.
所以圆心距，，
因圆与圆外切，所以，得，解得或.
故实数的值为或.
（2）当时，圆，此时两圆的圆心距，此时两圆相交.
将两圆方程相减得直线AB的方程为.
所以圆心到直线AB的距离，且半径，
由圆的弦长公式得.
故.
16．(1)
(2)存在，．
【分析】（1）根据两圆内含关系得出两圆心距离小于，进而求得的范围.
（2）根据圆的弦长公式进行求解即可.
【详解】（1）由题意，得，半径，半径．
因为两圆内含，所以，
所以，即，解得，
又因为，所以，故的取值范围为．
（2）两圆方程相减，可得两圆的公共弦所在直线方程为．
假设存在实数，使得两圆公共弦的长度为2，
因为，半径，
所以点到直线的距离．
又因为，所以，
解得，因为，所以．
17．(1)，曲线是以为圆心，2为半径的圆．
(2)
(3)证明见解析，定点．
【分析】（1）设，根据条件得，化简，即可求解；
（2）根据点与圆的位置关系，知点在圆内，设圆心到直线的距离为，利用几何关系可知，再利用弦长公式，即可求解；
（3）根据条件可得在以为直径的圆上，求出以线段为直径的圆的方程，再利用两圆公共弦的求法，求得直线QR的方程为，即可求解.
【详解】（1）设，由，得，
化简得，即，
故曲线是以为圆心，为半径的圆．
（2）设圆C：，将点代入圆C的方程等号左侧，得，
故点在圆的内部．
设圆心到直线的距离为，所以．
又，，所以，所以，
当直线过圆心时，，此时最大，
故的取值范围为．
（3）如图，由题意知，与圆相切，为切点，
则，，则四点共圆，且在以为直径的圆上，
因为，，所以的中点为，，
以线段为直径的圆的方程为，
整理得，，①
又在曲线： ②上，
②①，得，所以直线的方程为．
当时，，则直线恒过定点．
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设，根据题意列出关于的方程，求得即可；
（2）首先得两圆相交，进一步得所求为；
（3）首先得四边形面积最小时，点的坐标，进一步即可求解.
【详解】（1）由题意，设．
圆过点，且与直线相切，
，．
圆的半径小于5，
，此时圆的半径为3，圆心为，故方程为．
圆与圆关于直线对称，圆的方程为．
（2）由（1）知圆，圆心为，半径为，
圆，圆心为，半径为，两圆相交，有两条公切线．
又公切线段的长度等于．
（3）圆的半径，
则四边形的面积．
设，
，
当时，，此时四边形的面积最小，为．
在以为直径的圆上，圆的方程为，
又圆的方程为，
两个方程相减，可得直线CD的方程为．
19．(1)
(2)
(3)．
【分析】（1）设，根据已知列方程化简可得；
（2）法一：根据已知圆，利用圆系方程设出所求，根据圆心在已知圆上即可得解；法二：求出公共弦所在直线方程，然后求出交点坐标即可得解；
（3）利用弦长公式和点到直线的距离公式表示出面积，结合基本不等式求解可得.
【详解】（1）设，由可得，
化简可得，
所以点的轨迹的方程为．
（2）曲线的方程为，即．
方法一：设经过两圆交点的圆系方程为，
即，所以圆心的坐标为．
又圆心在直线上，所以，解得，
所以所求圆的方程为，即．
方法二：圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
因为，，所以两圆相交.
由，两式相减得两圆的公共弦所在直线为．
由，解得 ，，所以两圆的交点为．
线段的垂直平分线所在直线的方程为，
由，得
所以所求圆的圆心为，半径为，
所以所求圆的方程为．
（3）如图，设直线的方程为，
联立，消去并整理可得，
则，得．
设，则，
由弦长公式可得
．
又到直线的距离，
所以．
令，则，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以面积的最大值为．
一、单选题
1．已知圆，圆，则两圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
2．已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．内切 D．外切
3．已知圆与圆，若圆C完全覆盖圆，，则圆C的半径的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．圆与圆的公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．实数满足，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
6．若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．已知圆，圆．则下列选项正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．当圆和圆有三条公切线时，若P，Q分别是圆上的动点，则
C．若圆和圆共有2条公切线，则
D．当时，圆与圆相交弦的弦长为
8．已知圆和圆，则（ ）．
A．圆的半径为4 B．y轴为圆与的公切线
C．圆与公共弦所在的直线方程为
D．圆与上共有3个点到直线的距离为1
9．（多选）已知圆和圆相交于两点，则下列说法中正确的是（ ）
A．两圆有两条公切线 B．直线的方程为
C．线段的长为
D．过点，的圆系方程可以记为
10．已知圆与圆交于两点，则（ ）
A．圆与圆有两条公切线 B．直线的方程为
C． D．线段的垂直平分线的方程为
三、填空题
11．圆与圆的公切线的条数是 条．
12．已知圆与圆相交于两点A，B，则AB的直线方程为 ．
13．在平面直角坐标系中，已知点与点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是 .
14．如图，已知圆C的方程为，且是直线：上的一个动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为A，B，则线段长度的最小值为 .
四、解答题
15．已知圆，圆．
(1)若圆与圆外切，求实数的值；
(2)设时，圆与圆相交于、两点，求．
16．已知圆，圆．
(1)若两圆内含，求实数的取值范围．
(2)是否存在实数，使得两圆公共弦的长度为2？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
17．已知平面内的动点与两个定点，的距离的比为，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程，并说明其形状；
(2)若过点的直线与曲线交于两点，求的取值范围；
(3)已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线，（为切点），证明：直线过定点，并求该定点坐标．
18．已知圆心在直线上且过点的圆与直线相切，其半径小于5．若圆与圆关于直线对称．
(1)求圆的方程；
(2)求圆与圆公切线段的长度；
(3)过直线上一点作圆的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形面积最小时，求直线CD的方程．
19．在平面直角坐标系中，两点，点满足．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)已知圆，求圆心在上，且过圆与曲线交点的圆的方程；
(3)过点作直线交曲线于两点，，求面积的最大值．
《2.5.2圆与圆的位置关系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A C C D ABD BC ABC ABD
1．C
【分析】根据圆与圆的位置关系，利用圆心距与半径间的关系判断即可.
【详解】，圆心，半径，
可化简为，
则圆的圆心为，半径，
，所以两圆相交.
故选：C.
2．B
【分析】由题意可得圆心位于直线上，根据圆的方程写出圆心与半径，结合圆与圆的位置，可得答案.
【详解】圆关于直线对称，
圆心在直线上，，，
圆，即，圆心为，半径为．
圆的标准方程是，圆心，半径，
所以，
所以圆与圆的位置关系是相交．
故选：B.
3．A
【分析】先判断圆与圆外切，依题意只需使所求圆的半径等于两圆半径之和即可.
【详解】依题意，圆的圆心，半径，圆的圆心，半径为，
则，故两圆外切，
因圆C覆盖圆，，所以圆半径的最小值为.
故选：A.
4．C
【分析】计算圆心距，判断两圆位置关系后即可得公切线条数.
【详解】圆的方程等价于，
所以圆是以为圆心，为半径的圆，
圆 是以为圆心，为半径的圆，
所以圆，圆的圆心距为，
圆，圆半径之和为，
即圆心距等于两半径之和，因此两圆外切，
所以圆，圆有3条公切线．
故选：C
5．C
【分析】解法1：令，（为参数），代入利用三角恒等变换即可求解；
解法2：由题意有，利用柯西不等式得，令得，解一元二次不等式即可求解；
解法3：设，则圆心为，半径为，由的圆心为，半径为，设圆心距为，利用两圆的位置关系有，即，进而求解.
【详解】由题意令，（为参数），
所以
，
所以的最大值是，
解法2：
由有，
所以，
当且仅当时，等号成立，
令，所以，即，
所以，所以，
所以，即，
所以的最大值是，
解法3：
设，则圆心为，半径为，由的圆心为，半径为，
设圆心距为，则，则有，
即，即，
所以的最大值为，
故选：C.
6．D
【分析】根据两圆的公切线数量得出两点间距离范围，再结合一元二次不等式求解即可.
【详解】因为圆：与圆：有且仅有2条公切线，
所以圆：与圆：相交，
所以，
所以或.
故选:D.
7．ABD
【分析】根据圆的方程确定圆心，可求出直线的方程，即可判断A；根据圆和圆外切求出a的值，数形结合，可判断B；根据两圆公切线条数判断两圆相交，列不等式求解判断C；求出两圆的公共弦方程，即可求得两圆的公共弦长，判断D.
【详解】对于A，由圆，，
可知，故直线的方程为，
即，即得直线恒过定点，A正确；
对于B，即，
当圆和圆有三条公切线时，圆和圆外切，则，
解得，
当时，如图示，当共线时,；
同理求得当时，，B正确；
对于C，若圆和圆共有2条公切线，则两圆相交，
则，即，解得，C错误
对于D，当时，两圆相交，
，，
将两方程相减可得公共弦方程，
则到的距离为，
则圆与圆相交弦的弦长为，D正确，
故选：ABD.
8．BC
【分析】对于A项，将圆的方程化成标准式即得；对于B项，判断圆心到直线的距离等于圆的半径即得；对于C项，只需将两圆方程相减化简，即得公共弦直线方程；对于D项，需要结合图像作出两条和已知直线平行且距离等于1的直线，通过观察分析即得.
【详解】对于A，圆化为标准方程为，则圆的半径为2，故A错误．
对于B，因为圆心到y轴的距离为1，等于圆的半径，
所以圆与y轴相切，
同理圆心到y轴的距离等于圆的半径，
所以圆与y轴相切，故y轴为圆与的公切线，故B正确．
对于C，将与左右分别相减，得圆与的公共弦所在的直线方程为，故C正确．
对于D，如图，
因为直线同时经过两圆的圆心，
依题意可作两条与该直线平行且距离为1的直线与，
其中与和圆都相切，各有一个公共点，
与和圆都相交，各有两个交点，
故圆与上共有6个点到直线的距离为1，故D错误.
故选：BC.
9．ABC
【分析】选项A根据两圆相交于两点，故存在两条公切线；选项B根据两圆的方程相减得出直线的方程；选项C根据点到直线距离公式求出圆心到的距离d，再根据勾股定理求出的长度；选项D根据，将圆系方程变形为标准方程，通过恒成立，证明圆系方程真实存在，但此圆系中不包含圆.
【详解】因为圆和圆：相交于，两点，
所以两圆有两条公切线，故A正确．
圆和圆的方程相减得，
所以直线的方程为，故B正确．
圆心到直线的距离为，所以线段的长为：
，故C正确．
因为，，所以，恒成立，
即过，两点的圆的方程可化为，
而恒成立，
所以方程表示圆系，
但此圆系不包括圆，故D不正确．
故选：ABC．
10．ABD
【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，进而判断圆的位置关系确定切线条数，两圆方程作差求相交弦方程，应用几何法求相交弦长，垂直关系求斜率并应用点斜式求直线方程.
【详解】由，则圆心，半径，
由，则圆心，半径，
所以，即，故两圆相交，
所以圆与圆有两条公切线，A对；
两圆作差有，整理得，B对；
由到的距离，则，C错；
由B知，则线段的垂直平分线的斜率，
故线段的垂直平分线的方程为，D对.
故选：ABD
11．3
【分析】确定两圆的位置关系，进而求出公切线条数.
【详解】圆的圆心，半径；
圆的圆心，半径，
而，因此圆与圆外切，
所以两圆的公切线条数是3.
故答案为：3
12．
【分析】两圆方程相减后可得公共弦的方程.
【详解】由题设可得的方程为：，
整理得：，
故答案为：
13．
【分析】设，由可得，问题转化为圆与圆有公共点，由圆与圆的位置关系列式求解.
【详解】设，因为，
所以，化简得，
则圆与圆有公共点，所以，即，解得.
故答案为：.
14．
【分析】利用切线的性质确定P，A，C，B四点共圆，设P坐标表示该圆心坐标，从而写出圆的标准方程，根据两圆公共弦方程得出方程，由点到直线的距离公式及二次函数的性质计算最值即可.
【详解】显然P，A，C，B四点共圆，且为该圆的一条直径.设这四点所在圆的圆心为Q，而P在直线：上，
设，由，可知，
又，则圆的方程为，
即①，
又圆的半径，圆的方程可化为②，
由①-②可得圆与圆的公共弦所在直线的方程，
点到直线的距离，
∴
，
∴时，线段的长度取得最小值.
故答案为：
15．(1)或
(2)
【分析】（1）由两圆外切得，直接可得实数的值；
（2）将两圆方程相减得相交弦AB的方程，再由圆的弦长公式即可求公共弦长.
【详解】（1）因圆，得圆心，半径.
又圆，得圆心，半径.
所以圆心距，，
因圆与圆外切，所以，得，解得或.
故实数的值为或.
（2）当时，圆，此时两圆的圆心距，此时两圆相交.
将两圆方程相减得直线AB的方程为.
所以圆心到直线AB的距离，且半径，
由圆的弦长公式得.
故.
16．(1)
(2)存在，．
【分析】（1）根据两圆内含关系得出两圆心距离小于，进而求得的范围.
（2）根据圆的弦长公式进行求解即可.
【详解】（1）由题意，得，半径，半径．
因为两圆内含，所以，
所以，即，解得，
又因为，所以，故的取值范围为．
（2）两圆方程相减，可得两圆的公共弦所在直线方程为．
假设存在实数，使得两圆公共弦的长度为2，
因为，半径，
所以点到直线的距离．
又因为，所以，
解得，因为，所以．
17．(1)，曲线是以为圆心，2为半径的圆．
(2)
(3)证明见解析，定点．
【分析】（1）设，根据条件得，化简，即可求解；
（2）根据点与圆的位置关系，知点在圆内，设圆心到直线的距离为，利用几何关系可知，再利用弦长公式，即可求解；
（3）根据条件可得在以为直径的圆上，求出以线段为直径的圆的方程，再利用两圆公共弦的求法，求得直线QR的方程为，即可求解.
【详解】（1）设，由，得，
化简得，即，
故曲线是以为圆心，为半径的圆．
（2）设圆C：，将点代入圆C的方程等号左侧，得，
故点在圆的内部．
设圆心到直线的距离为，所以．
又，，所以，所以，
当直线过圆心时，，此时最大，
故的取值范围为．
（3）如图，由题意知，与圆相切，为切点，
则，，则四点共圆，且在以为直径的圆上，
因为，，所以的中点为，，
以线段为直径的圆的方程为，
整理得，，①
又在曲线： ②上，
②①，得，所以直线的方程为．
当时，，则直线恒过定点．
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设，根据题意列出关于的方程，求得即可；
（2）首先得两圆相交，进一步得所求为；
（3）首先得四边形面积最小时，点的坐标，进一步即可求解.
【详解】（1）由题意，设．
圆过点，且与直线相切，
，．
圆的半径小于5，
，此时圆的半径为3，圆心为，故方程为．
圆与圆关于直线对称，圆的方程为．
（2）由（1）知圆，圆心为，半径为，
圆，圆心为，半径为，两圆相交，有两条公切线．
又公切线段的长度等于．
（3）圆的半径，
则四边形的面积．
设，
，
当时，，此时四边形的面积最小，为．
在以为直径的圆上，圆的方程为，
又圆的方程为，
两个方程相减，可得直线CD的方程为．
19．(1)
(2)
(3)．
【分析】（1）设，根据已知列方程化简可得；
（2）法一：根据已知圆，利用圆系方程设出所求，根据圆心在已知圆上即可得解；法二：求出公共弦所在直线方程，然后求出交点坐标即可得解；
（3）利用弦长公式和点到直线的距离公式表示出面积，结合基本不等式求解可得.
【详解】（1）设，由可得，
化简可得，
所以点的轨迹的方程为．
（2）曲线的方程为，即．
方法一：设经过两圆交点的圆系方程为，
即，所以圆心的坐标为．
又圆心在直线上，所以，解得，
所以所求圆的方程为，即．
方法二：圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
因为，，所以两圆相交.
由，两式相减得两圆的公共弦所在直线为．
由，解得 ，，所以两圆的交点为．
线段的垂直平分线所在直线的方程为，
由，得
所以所求圆的圆心为，半径为，
所以所求圆的方程为．
（3）如图，设直线的方程为，
联立，消去并整理可得，
则，得．
设，则，
由弦长公式可得
．
又到直线的距离，
所以．
令，则，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以面积的最大值为．