2.5.2 圆与圆的位置关系
一、圆与圆的位置关系
1、圆与圆的位置关系
外离和内含统称为相离；两圆相离——没有公共点，
外切和内切统称为相切；两圆相切——有惟一公共点，
两圆相交——有两个不同的公共点.
位置关系 交点个数 图示
相交 2个
相切 1个 内切
外切
相离 0个 内含
外离
2．圆与圆位置关系的判断
（1）几何法 （和分别是圆和圆的半径, ）
位置关系 公共点个数 圆心距与半径的关系 图示
两圆相离 0
两圆内含
两圆相交 2
两圆内切 1
两圆外切
（2）代数法
联立两圆的方程组成方程组，设:，:
联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其，则方程组解的个数与两圆的位置关系如下:
方程组解的个数 两圆的公共点个数 两圆的位置关系
2 2 相交.
1 1 外切或内切
0 0 相离或内含
【注意】
利用代数法判断两圆的位置关系时，注意条件的不等价性，即两圆外离，应是两圆外离，两圆外离或内含．同理，两圆外切或内切，两圆相交．
【考点一 判断圆与圆的位置关系】
【题型一 圆与圆位置关系的判断】
1．圆与圆的位置关系是 ．
2．已知圆，圆，则两圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
【变式1】已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．内切 D．外切
【变式2】圆与圆的位置关系不可能为（ ）
A．相切 B．相交 C．内含 D．外离
3．已知圆.动点在直线上运动，现以点为圆心半径为作圆记为，则圆与圆的位置为（ ）
A．相离 B．相交 C．内含 D．相交或相切
【题型二 根据圆的位置关系求参数】
4．已知圆与圆外离，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式】已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆与圆，若圆C完全覆盖圆，，则圆C的半径的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．已知圆经过点，且与圆相切于点.
(1)求圆心的坐标； (2)求圆的标准方程；
【练习】已知圆与圆相外切，且圆心与圆心关于点对称．
(1)求圆的标准方程；
(2)求经过点的圆的切线方程．
两圆相切
1．两圆相切，公切线的条数
与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．
两圆位置关系 公切线 图示
外离 2条外公切线 2条内公切线，共4条；
外切 2条外公切线 1条内公切线，共3条；
相交 只有2条外公切线
内切 只有1条外公切线
内含 无公切线
2、公切线的方程
核心技巧：根据条件设直线方程（常用点斜式、斜截式），再利用圆心到切线的距离求解
3、公切线长度
根本：勾股定理
外公切线 内公切线
【考点二 圆与圆相切】
【题型一 两圆的公切线条数】
（判断条数）
7．已知圆，圆，则这两个圆的公切线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．在平面直角坐标系中，已知两点到直线的距离分别是2与3，则满足条件的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【变式】圆与圆的公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（根据切线条数求参）
9．已知，圆 ，圆 ，则“与有且仅有两条公切线”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【练习】已知圆，圆，若两圆的公切线恰有四条，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知与，若存在实数的值使得两圆仅有一条公切线，则的最小值为 .
【题型二 两圆的公切线方程】
外离--4条
11．已知点，求符合点A，B到直线l的距离分别为1，2的直线方程.
外切-3条
12．已知圆，圆，则的公切线方程为 ．
【变式】写出与圆和圆都相切的直线方程.
13．写出圆与圆的公切线方程．
相交-2条
14．写出与圆和都相切的一条直线的方程 .
内切-1条
15．已知圆，圆，则两圆公切线的方程为 .
【题型三 圆的公切线长度】
外离--4条：两两相等
16．圆：与圆：的内公切线长为（ ）
A．3 B．5 C． D．4
【变式】圆与圆的一条公切线长为 ．
外切-3条：外切的2条相等
17．（多选）已知与，以下结论正确的有（ ）
A．与有且仅有2条公切线
B．若直线与分别切于相异的两点，则
C．若分别是与上的动点，则的最大值为16
D．与的一条公切线斜率为
相交-2条：相等
18．已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ．
三、两圆相交
1. 两圆相交，公共弦所在的直线方程
圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦，联立作差得到：即为两圆共线方程
两圆相交时，有一条公共弦，如图所示.
已知， ①
和圆， ②
用方程①-②，得． ③
若是圆和圆的交点，则点满足等式，也就是点在③所对应的直线上，故③表示过圆和圆的交点的直线，即圆和圆公共弦所在的直线方程．
【注意】
（1）当两圆相交时，两圆方程相减，所得直线方程即为两圆公共弦所在的直线方程．如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程．
（2）将两圆的方程相减求两圆公共弦所在的直线方程时，须注意只有当两圆方程中二次项的系数相同时，才能如此求解，若二次项的系数不同，需先调整方程中各项的系数．
两圆相交，公共弦长的求法
方法1(代数法)：联立两圆的方程，求出两交点坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长．
方法2(几何法)：求出公共弦所在直线方程，在其中一圆中求出其圆心到的距离，利用圆的半径，半弦长，弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求公共弦长．
【考点三 两圆相交】
【题型一 两圆相交的公共弦方程】
19．已知圆与圆相交于两点A，B，则AB的直线方程为 ．
【变式】已知圆与圆相交于两点，若直线的倾斜角为，则实数的值为 ．
（切点弦所在直线方程）
20．如图所示，过作的两条切线，为切点，求切点弦所在直线方程．
【变式】过直线上一动点作圆的两条切线，切点分别为.当点运动时，直线AB经过定点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【题型二 公共弦的长度】
21．已知圆和圆，则两圆的公共弦长为 .
【变式】若圆，圆 的两交点分别为A，B，则（ ）
A． B． C． D．
22．已知圆与圆相交于两点，则四边形的面积等于 .
23．圆与圆的公共弦长为，则的值为（ ）
A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-42.5.2 圆与圆的位置关系
一、圆与圆的位置关系
1、圆与圆的位置关系
外离和内含统称为相离；两圆相离——没有公共点，
外切和内切统称为相切；两圆相切——有惟一公共点，
两圆相交——有两个不同的公共点.
位置关系 交点个数 图示
相交 2个
相切 1个 内切
外切
相离 0个 内含
外离
2．圆与圆位置关系的判断
（1）几何法 （和分别是圆和圆的半径, ）
位置关系 公共点个数 圆心距与半径的关系 图示
两圆相离 0
两圆内含
两圆相交 2
两圆内切 1
两圆外切
（2）代数法
联立两圆的方程组成方程组，设:，:
联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其，则方程组解的个数与两圆的位置关系如下:
方程组解的个数 两圆的公共点个数 两圆的位置关系
2 2 相交.
1 1 外切或内切
0 0 相离或内含
【注意】
利用代数法判断两圆的位置关系时，注意条件的不等价性，即两圆外离，应是两圆外离，两圆外离或内含．同理，两圆外切或内切，两圆相交．
【考点一 判断圆与圆的位置关系】
【题型一 圆与圆位置关系的判断】
1．圆与圆的位置关系是 ．
【答案】相交
【来源】广西壮族自治区崇左市2024-2025学年高二下学期7月期末教学质量监测数学试题
【分析】根据圆的方程确定圆心、半径，再由圆心距与半径和差关系判断位置关系即可.
【详解】由题设，且对应半径为，且对应半径为，
所以，故，即两圆相交.
故答案为：相交
2．已知圆，圆，则两圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
【答案】C
【来源】安徽省安庆市江淮协作区2024-2025学年高二下学期7月期末数学试题
【分析】根据圆与圆的位置关系，利用圆心距与半径间的关系判断即可.
【详解】，圆心，半径，
可化简为，
则圆的圆心为，半径，
，所以两圆相交.
故选：C.
【变式1】已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．内切 D．外切
【答案】B
【来源】重庆市西藏中学校2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题
【分析】由题意可得圆心位于直线上，根据圆的方程写出圆心与半径，结合圆与圆的位置，可得答案.
【详解】圆关于直线对称，
圆心在直线上，，，
圆，即，圆心为，半径为．
圆的标准方程是，圆心，半径，
所以，
所以圆与圆的位置关系是相交．
故选：B.
【变式2】圆与圆的位置关系不可能为（ ）
A．相切 B．相交 C．内含 D．外离
【答案】C
【来源】上海市上海大学附属嘉定高级中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷
【分析】求解两圆的圆心和半径，计算圆心距和两半径之间的关系，即可求解.
【详解】，
故的圆心为，半径为，
，
故的圆心为，半径为，
故，当且仅当时，等号成立，而，
当时，两圆外离或相交，时，两圆内切，
故两圆不可能内含.
故选：C
3．已知圆.动点在直线上运动，现以点为圆心半径为作圆记为，则圆与圆的位置为（ ）
A．相离 B．相交 C．内含 D．相交或相切
【答案】A
【来源】广西南宁市名校2024-2025学年高二下学期3月联考数学试卷
【分析】利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，进而根据可得结论.
【详解】由，可得圆心，半径为，
所以圆心到直线的距离，
因为动点在直线上运动，所以，
又圆的半径为，所以，
所以圆与圆的位置为相离.
故选：A.
【题型二 根据圆的位置关系求参数】
4．已知圆与圆外离，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【来源】贵州省龙里县九八五高级中学2024-2025学年度高二上学期12月联考数学试题
【分析】分别求出两圆的圆心和半径，结合两圆外离求解即可.
【详解】由，圆心为，半径为，
圆，即，
则圆心，半径为，，
又，且两圆外离，
则，即，解得，
所以，即的取值范围是.
故选：C
【变式】已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【来源】浙江省温州市普通高中2025届高三第三次适应性考试数学试题
【分析】由两圆位置关系构造不等式求解即可.
【详解】由题可得，
解得：．
故选：B
5．已知圆与圆，若圆C完全覆盖圆，，则圆C的半径的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【来源】河南省濮阳市2024-2025学年高二下学期期末学业质量监测数学试题
【分析】先判断圆与圆外切，依题意只需使所求圆的半径等于两圆半径之和即可.
【详解】依题意，圆的圆心，半径，圆的圆心，半径为，
则，故两圆外切，
因圆C覆盖圆，，所以圆半径的最小值为.
故选：A.
6．已知圆经过点，且与圆相切于点.
(1)求圆心的坐标；
(2)求圆的标准方程；
(3)过点的直线与圆和圆分别交于轴上方的两点，若，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
(3).
【来源】河南省周口市2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题
【分析】（1）由配方得到标准方程即可；
（2）由两圆位置关系及圆心在轴上，列出等式求解即可；
（3）过分别作，，得到，再结合圆的性质得到，进而得到，再通过中，，即可求解；
【详解】（1）由圆配方得，，
所以圆心.
（2）因为圆经过点，且与圆相切于点，
所以圆与圆内切，且圆心在轴上，
设圆心，圆的半径为，
则，
解得
故圆的标准方程为.
（3）如图，过分别作，，垂足分别为，
因为，
所以，
由圆的性质可知，，，所以，
所以，
又，所以，
在圆中，得，
在中，，则直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
【练习】已知圆与圆相外切，且圆心与圆心关于点对称．
(1)求圆的标准方程；
(2)求经过点的圆的切线方程．
【答案】(1)
(2)或
【来源】第1～2章滚动测试卷
【分析】（1）先求出圆心关于点的对称点得到圆心坐标，再由两圆外切，列出方程，求出半径，得到圆的标准方程；
（2）考虑直线斜率不存在和斜率存在两种情况，结合点到直线距离公式列出方程，求出切线方程.
【详解】（1）圆的圆心为，设，因为圆心与圆心关于点对称，
所以解得
所以圆的圆心坐标为．
设圆的半径为，因为圆与圆相外切，
所以，解得，
所以圆的标准方程为．
（2）当切线斜率不存在时，，
此时圆心到的距离为3，故满足相切关系；
当切线斜率存在时，设切线方程为，即 ，
则圆心到直线的距离为，解得，
故切线方程为，即．
所以切线方程为或．
两圆相切
1．两圆相切，公切线的条数
与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．
两圆位置关系 公切线 图示
外离 2条外公切线 2条内公切线，共4条；
外切 2条外公切线 1条内公切线，共3条；
相交 只有2条外公切线
内切 只有1条外公切线
内含 无公切线
2、公切线的方程
核心技巧：根据条件设直线方程（常用点斜式、斜截式），再利用圆心到切线的距离求解
3、公切线长度
根本：勾股定理
外公切线 内公切线
【考点二 圆与圆相切】
【题型一 两圆的公切线条数】
（判断条数）
7．已知圆，圆，则这两个圆的公切线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【来源】河北省NT20名校联合体2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题
【分析】由圆的方程表示出圆心与半径，求得圆心距以及半径的和差，并进行比较，可得答案.
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆的方程可化为，
圆的圆心为，半径为，
圆心距，
因为，，，
所以两个圆的位置关系是相交，公切线共有2条.
故选：B.
8．在平面直角坐标系中，已知两点到直线的距离分别是2与3，则满足条件的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【来源】云南省曲靖市陆良县中枢镇第二中学2024-2025学年高二下学期3月教学目标测评数学试卷
【分析】把距离转化为两个圆，再结合圆与圆相外切，最后得出切线个数即可.
【详解】
如图，分别以为圆心，以2，3为半径画圆，即为两圆的公切线，
因为，
所以两圆外切，两圆有三条公切线，即满足条件的直线共有3条，
故选：C.
【变式】圆与圆的公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【来源】辽宁省点石联考2025届高三下学期5月联合考试数学试题
【分析】计算圆心距，判断两圆位置关系后即可得公切线条数.
【详解】圆的方程等价于，
所以圆是以为圆心，为半径的圆，
圆 是以为圆心，为半径的圆，
所以圆，圆的圆心距为，
圆，圆半径之和为，
即圆心距等于两半径之和，因此两圆外切，
所以圆，圆有3条公切线．
故选：C
（根据切线条数求参）
9．已知，圆 ，圆 ，则“与有且仅有两条公切线”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【来源】江西省部分高中学校2024-2025学年高三上学期期末考试数学试卷
【分析】根据两圆公切线的条数判断两圆的位置关系，求解即可.
【详解】的圆心，，
，即的圆心，，
若与有且仅有两条公切线，则圆与圆相交，
则，即，
解得或，
若，则与有且仅有两条公切线，
所以“与有且仅有两条公切线”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
【练习】已知圆，圆，若两圆的公切线恰有四条，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【来源】广西南宁市第二中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题
【分析】由题设两圆相离，圆心且半径，圆心且半径，利用求参数范围.
【详解】由两圆的公切线恰有四条，即两圆相离，
对于，圆心，半径，
对于，圆心，半径，
所以，则，即或.
故选：D
10．已知与，若存在实数的值使得两圆仅有一条公切线，则的最小值为 .
【答案】
【来源】江西省景德镇市2025届高三第一次质检数学试题
【分析】先确定两圆的圆心和半径，然后根据条件分析出两圆的位置关系，再由圆心距和半径的数量关系求解出结果.
【详解】因为，
∴，半径为，
因为，
∴，半径为，
若两圆仅有一条公切线，即两圆相内切，
∴，
由于，故，
解得，即的最小值为，
故答案为：.
【题型二 两圆的公切线方程】
外离--4条
11．已知点，符合点A，B到直线l的距离分别为1，2的直线方程为 （写出一条即可）.
【答案】（答案不唯一）
【来源】福建省福州高级中学2024-2025学年高三上学期第一次阶段考试数学试卷
【分析】根据题意可知直线l是圆与圆的公切线，先判断两圆外离，可得直线l有四条，再根据几何性质（相似三角形的性质）和点到直线的距离公式即可求解直线l的方程．
【详解】由题意可知直线l是圆与圆的公切线，
两圆圆心距为，则两圆为外离关系，所以满足条件的直线l有四条．
如图，当直线l是两圆的外公切线时，
有，则，
所以，则，即为的中点，则，
设直线l的方程为，则，解得，
此时直线l的方程为或；
如图，当直线l是两圆的内公切线时，
根据对称性，可得，又，
则，所以，则，即，
设直线l的方程为，则，解得，
此时直线l的方程为或．
综上所述，所求直线方程为或或或.
故答案为：（答案不唯一）．
外切-3条
12．已知圆，圆，则的公切线方程为 ．（写出一条即可）
【答案】，，（三个方程写出一个即给满分）
【来源】广东省领航高中联盟2024-2025学年高二上学期第一次联合考试数学试卷
【分析】据圆与圆的位置关系得到两个圆的公切线的条数，然后结合图像写出公切线方程.
【详解】因为，的半径均为1，则外切，结合图像可知，的公切线方程为，，．
故答案为：，，
【变式】写出与圆和圆都相切的一条直线方程 .
【答案】（或或，任写一条即可，答案不唯一）
【来源】湖南省长郡十八校2024-2025学年高二上学期12月检测数学试卷（A卷）
【分析】求出两圆圆心和半径，两圆圆心距以及两圆心所在直线方程即可得两圆公切线情况，再结合直线垂直关系以及两平行直线距离公式即可求公切线方程.
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
两圆心距为，故两圆外切，
两圆圆心所在直线的方程为，即，中点为，
切线垂直于直线，且经过中点，所以切线的方程为；
切线平行于直线，且到直线的距离为，
设平行于直线切线方程为，
则或，
所以切线的方程分别为.
故答案为：（或或，任写一条即可，答案不唯一）.
13．写出圆与圆的一条公切线方程 ．
【答案】（答案不唯一）
【来源】江西省部分学校（九师联盟）2024-2025学年高三上学期12月联考数学试卷
【分析】根据圆的方程判断两圆位置关系，即外切，进而求切点，结合已知求公切线方程，即可得答案.
【详解】由题设，圆心、，则，即两圆外切，
设切点为，，得，所以，
又过与垂直的直线为两圆的内公切线，斜率为，
该公切线方程为，整理得．
设两圆的一条外公切线与两圆的切点分别为，
连接，作，垂足为（如图），
则，
所以，
所以直线，即直线的斜率为，
设直线为，则，
所以，故为．
由图易知，另一条外公切线的方程为．
故两圆的公切线方程为或或（填其中之一即可）．
故答案为：（答案不唯一）
相交-2条
14．写出与圆和都相切的一条直线的方程 .
【答案】或（写一条即可）
【来源】广东省深圳实验学校高中部2023-2024学年高二上学期第三阶段考试数学试题
【分析】结合图形可得其中一条公切线方程，然后利用过两圆心的直线可求出另一条公切线所过点P，设出切线方程，根据圆心到切线距离等于半径即可求解.
【详解】圆的圆心为，半径，
化为标准方程得，圆心为，半径，
如图，易知两圆的公切线有两条，其中一条为，
直线的斜率为，直线方程为，
联立解得，
易知另一条公切线的斜率存在，设方程为，即，
则，解得，
则公切线的方程为，即.
故答案为：或（写一条即可）
内切-1条
15．已知圆，圆，则两圆公切线的方程为 .
【答案】
【来源】广西南宁市第二中学2024-2025学年高二上学期11月段考考试数学试卷
【分析】根据标准方程确定圆心、半径，进而得到两圆位置关系为内切，确定切点即可写出公切线方程.
【详解】由，圆心为，半径为，
由，圆心为，半径为，
显然，即两圆内切，且切点为，
所以两圆公切线的方程为.
故答案为：
【题型三 圆的公切线长度】
外离--4条：两两相等
16．圆：与圆：的内公切线长为（ ）
A．3 B．5 C． D．4
【答案】D
【来源】湖南省名校联考联合体2024-2025学年高二上学期第二次联考数学试题
【分析】在平面直角坐标系中作出两个圆，由图可知内公切线一条为轴，求公切线的长即可.
【详解】如图：
由图可知圆与圆的内公切线有一条为轴，
则公切线的长为，
方法二：，
所以内公切线的长为：
故选：D
【变式】圆与圆的一条公切线长为 （填入一个答案即可）．
【答案】或（填一个即可）
【来源】2025年普通高等学校招生全国统一考试 押题卷数学（一）
【分析】先判断圆与圆的位置关系，即可得公切线情况，利用几何关系即可求出公切线的长.
【详解】由题意得，，，，，故两圆相离，有四条公切线．如图，
设四条公切线分别为直线、直线、直线、直线，且交于点．
由对称性可知，．连接，过作，垂足为，连接，
则四边形为矩形，所以．连接．
易知，所以．又，所以．
所以在中，，所以．
故两圆的一条公切线长为或．
故答案为：或（填一个即可）.
外切-3条：外切的2条相等
17．（多选）已知与，以下结论正确的有（ ）
A．与有且仅有2条公切线
B．若直线与分别切于相异的两点，则
C．若分别是与上的动点，则的最大值为16
D．与的一条公切线斜率为
【答案】BD
【来源】江西省宜春市丰城中学2024届高三上学期12月段考数学试题
【分析】A选项，得到两圆外切，得到公切线条数；C选项，数形结合得到当四点共线时，最大，求出最大值；BD选项，先得到直线的斜率存在，设其与轴交点为，斜率为，作出辅助线，求出且斜率为.
【详解】选项A，由题意可知：的圆心，半径，
的圆心，半径，
因为，所以与外切，
所以与有且仅有3条公切线，故错误；
选项C：因为，
当且仅当四点共线时，等号成立，所以的最大值为10，故错误；
选项BD：当直线的斜率不存在时，直线与分别切于相同的点，不合要求，
显然直线的斜率存在且不为0，根据对称性，
不妨设直线的与轴交点为，斜率为，如图所示，
连接，过作，垂足为，
可知四边形为矩形，且，
在Rt中，可得，
所以，
故直线的斜率，故BD正确.
故选：.
相交-2条：相等
18．已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ．
【答案】
【来源】2024年河南省普通高中毕业班高考适应性测试数学试题
【分析】利用圆与圆的位置关系，结合图形和几何关系，即可求解.
【详解】圆，圆心，半径，
圆，圆心，半径，
圆心距，由，
所以两圆相交，则.
故答案为：
三、两圆相交
1. 两圆相交，公共弦所在的直线方程
圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦，联立作差得到：即为两圆共线方程
两圆相交时，有一条公共弦，如图所示.
已知， ①
和圆， ②
用方程①-②，得． ③
若是圆和圆的交点，则点满足等式，也就是点在③所对应的直线上，故③表示过圆和圆的交点的直线，即圆和圆公共弦所在的直线方程．
【注意】
（1）当两圆相交时，两圆方程相减，所得直线方程即为两圆公共弦所在的直线方程．如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程．
（2）将两圆的方程相减求两圆公共弦所在的直线方程时，须注意只有当两圆方程中二次项的系数相同时，才能如此求解，若二次项的系数不同，需先调整方程中各项的系数．
两圆相交，公共弦长的求法
方法1(代数法)：联立两圆的方程，求出两交点坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长．
方法2(几何法)：求出公共弦所在直线方程，在其中一圆中求出其圆心到的距离，利用圆的半径，半弦长，弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求公共弦长．
【考点三 两圆相交】
【题型一 两圆相交的公共弦方程】
19．已知圆与圆相交于两点A，B，则AB的直线方程为 ．
【答案】
【来源】海南省海口市琼山区海南中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题
【分析】两圆方程相减后可得公共弦的方程.
【详解】由题设可得的方程为：，
整理得：，
故答案为：
【变式】已知圆与圆相交于两点，若直线的倾斜角为，则实数的值为 ．
【答案】
【来源】江苏省泰州市2024-2025学年高二上学期期末数学试题
【分析】两圆方程相减可得公共弦的方程，再利用直线的倾斜角求出斜率即可求解.
【详解】因为圆，即与圆相交于两点，
所以两圆方程相减可得公共弦的方程，即，
因为直线的倾斜角为，
所以直线的斜率，解得，
故答案为：
（切点弦所在直线方程）
20．如图所示，过作的两条切线，为切点，求切点弦所在直线方程．
【答案】
【来源】15.3 圆系
【分析】连接，根据已知求出相应线段的长度，判断出为两个圆的公共弦所在直线，求出即可.
【详解】连接，如图所示，
中，，，
又因为为圆的切线，所以，
于是，同理，
即在以为圆心，4为半径的圆上,
所以有，
所以是和的公共弦，
联立
两式相减得所在直线的方程为：
，即.
【变式】过直线上一动点作圆的两条切线，切点分别为.当点运动时，直线AB经过定点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【来源】广东省深圳外国语学校2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试题
【分析】设，在以PC为直径的圆上，求出圆的方程，与已知圆相减得直线AB的方程，从而可求定点.
【详解】圆，则圆心，半径，
点为直线上一动点，设，
由题意知在以PC为直径的圆上，
且圆心为，半径为，
则此圆的方程为，
化简得：，
与圆相减，得直线AB的方程：，
即，由，解得，
所以直线过定点.
故选：A.
【题型二 公共弦的长度】
21．已知圆和圆，则两圆的公共弦长为 .
【答案】
【来源】湖北省楚天协作体2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试卷
【分析】先求出相交两圆的公共弦所在直线方程，再求出圆心到公共弦直线的距离，根据弦长公式即可求得公共弦长.
【详解】
如图，由圆与圆相减，
整理可得两圆的公共弦所在直线方程为：，
由圆的圆心到直线的距离为，
由弦长公式，可得两圆的公共弦长为.
故答案为：.
【变式】若圆，圆 的两交点分别为A，B，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【来源】第四单元 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系B卷 名师原创 能力提升卷
【分析】方法一：求得相交弦方程，由圆的圆心为，半径为2即可求解；方法二：联立两圆的方程把两点坐标求出来即可.
【详解】方法一 将两圆的方程作差，可得，即直线AB的方程为，圆的圆心为，半径为2，
则到直线的距离为，故．
方法二 联立解得或
所以．
故选：B.
22．已知圆与圆相交于两点，则四边形的面积等于 .
【答案】9
【来源】安徽省安庆市2025届高三下学期模拟考试（二模）数学试题
【分析】法一：准确画图，可得四边形是边长为3正方形，进而求得其面积；
法二：将两圆方程做差求相交弦方程，再应用弦心距、半径与弦长关系即可求得，利用两点间距离公式求得，进而求得四边形的面积.
【详解】由已知，圆，圆，
圆心，半径，圆心，半径，
法一：如图，准确画图，容易发现四边形是边长为3正方形，其面积为9；
法二：将两圆方程相减，可得公共弦所在直线的方程为：
到距离为，所以，即，
又，
所以，四边形的面积.
故答案为：9.
23．圆与圆的公共弦长为，则的值为（ ）
A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4
【答案】B
【来源】安徽省阜阳市2024-2025学年高二下学期教学质量统测（7月期末）数学试题
【分析】利用圆的方程求得公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式，求得弦心距，根据弦长公式建立方程，求得参数，结合圆的方程成立条件检验，可得答案.
【详解】两圆方程作差可得，即公共弦所在直线方程为，
由圆，则圆心，半径，
点到公共弦所在直线的距离，
公共弦长为，则，解得或，
由圆，整理可得，
则，所以或.
故选：B.
