课后训—圆与圆的位置关系-
日期：2025. 时长：50-60分钟/次
【题组一 圆与圆位置关系的判断及求参】
1．已知圆与圆，则两圆的位置关系是 .
【答案】内切
【来源】上海市向东中学2024-2025学年高二下学期3月阶段练习数学试卷
【分析】依题意，求出两圆的圆心距和半径后即可判断.
【详解】因为圆，圆，
所以圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
所以，所以两圆的位置关系为内切.
故答案为：内切.
2．已知圆关于直线对称，圆的标准方程是，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内含
【答案】B
【来源】山东省济钢高级中学2024-2025学年高二上学期期中学情检测数学试题
【分析】先将化为标准方程，求出圆心和半径，再利用给定条件求解出参数，最后利用圆与圆的位置关系判断即可.
【详解】因为，所以，
故的圆心为，半径且，
而的圆心为，半径，
因为关于直线对称，所以直线经过圆心，
故，解得，由两点间距离公式得，
所以，则圆与圆外切，故B正确.
故选：B.
3．若直线与圆O：相切，则圆与圆O（ ）
A．相离 B．相交 C．内切 D．外切
【答案】A
【来源】江苏省徐州市多校2024-2025学年高二上学期第一次联考数学试题
【分析】若直线与圆O：相切，得，由两圆圆心距与两圆半径之和与半径之差作比较，进而得到两圆的位置关系.
【详解】若直线与圆O：相切，
则圆心到直线的距离等于圆O的半径，
即，得，
圆圆心，半径为，
两圆圆心距，大于两圆半径之和，所以两圆相离.
故选：A
4．已知圆，圆．
(1)若两圆内含，求实数的取值范围．
(2)是否存在实数，使得两圆公共弦的长度为2？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，．
【来源】第四单元 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系A卷 名校好题 基础达标卷
【分析】（1）根据两圆内含关系得出两圆心距离小于，进而求得的范围.
（2）根据圆的弦长公式进行求解即可.
【详解】（1）由题意，得，半径，半径．
因为两圆内含，所以，
所以，即，解得，
又因为，所以，故的取值范围为．
（2）两圆方程相减，可得两圆的公共弦所在直线方程为．
假设存在实数，使得两圆公共弦的长度为2，
因为，半径，
所以点到直线的距离 ．
又因为，所以，
解得，因为，所以．
5．（多选）已知圆与圆相切，则的取值可以为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】BC
【来源】甘肃省白银市2025届高考三模联考高三数学试题
【分析】根据两圆相外切和相内切两种情况，列式求解.
【详解】若这两个圆外切，则，
两边平方后，解得或3；
若这两个圆内切，则，
解得.
故选：BC
6．已知圆.
(1)若直线过点，且与圆相切，求直线的方程；
(2)若圆的半径为3，圆心在直线上，且与圆外切，求圆的方程.
【答案】(1)或
(2)或
【来源】陕西省榆林市第一中学2024-2025学年高二上学期期末质量检测考试数学试题
【分析】（1）根据题意，可分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论，结合直线与圆相切，利用点到直线的距离公式，列出方程，即可求解；
（2）设，由两圆相外切，得到，列出方程求得的值，即可求解.
【详解】（1）由题知，圆的圆心为，半径为，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由圆心到直线的距离等于半径，
可得，解得，
此时直线的方程为；
当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时直线与圆相切，符合题意；
综上可得，直线的方程为或.
（2）由圆的半径为3，圆心在直线上，
设，且圆的圆心，半径为，
由两圆相外切，可得，即，
解得或，
或，
圆的方程为或.
【题组二 两圆公切线的条数】
7．已知圆和圆，则圆与圆的公切线有 条.
【答案】
【来源】山西省运城市2024-2025学年高二上学期期末数学试题
【分析】先判断两圆的位置关系，得到公切线的条数即可
【详解】由题意得圆的圆心坐标为，半径为，
的圆心坐标为，半径为，
则圆心距为，
故两圆外切，则两圆的公切线的条数是3条，
故答案为：3
8．若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【来源】云南省宣威市部分学校2024-2025学年高二下学期学业水平检测数学试卷
【分析】根据两圆的公切线数量得出两点间距离范围，再结合一元二次不等式求解即可.
【详解】因为圆：与圆：有且仅有2条公切线，
所以圆：与圆：相交，
所以，
所以或.
故选:D.
9．已知圆和圆恰有三条公共切线，则的最小值为（ ）
A．36 B．3 C．10 D．
【答案】A
【来源】广东省珠海市第二中学2024-2025学年高二上学期第二阶段考试数学试题
【分析】根据给定条件，可得两圆外切，进而求得，再借助动圆与圆有公共点，求出动圆半径的最小值即可.
【详解】圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
由圆恰有三条公共切线，得圆外切，则，
即，显然点在圆上，点在圆外，
令，则点在圆上，
因此圆与有公共点，则，，
即，解得，则，
所以的最小值为36.
故选：A
【题组三 两圆公切线的方程】
10．已知圆O：与圆C关于直线l：对称，求圆O与圆C的公切线方程.
【答案】或或或
【来源】2025届贵州省贵阳市高三11月模拟预测数学试题
【分析】若任意两个圆关于某直线对称，那么这两个圆的其中一条公切线与两个圆心连线平行且距离为半径，再代入本题条件，求出圆心连线的直线方程，求出其中一条公切线方程.因为圆与对称相离，所以两对称圆一定相离，由对称性得到切线与对称性相较于同一点，通过线段长求出切线的倾斜角，从而写出切线方程.
【详解】如图：任意圆与圆关于直线对称，为圆与圆的一条公切线，
∵圆与圆关于直线对称，∴，
∵为圆与圆的公切线，∴，∴，
由圆与圆关于直线对称，∴圆与圆的半径相等，即，
∴，且到的距离为，
∵，∴，，∴，
设其中一条公切线，则，即，
故圆与圆的公切线.
∵圆心到直线的距离，∴圆与圆相离，
∴圆与圆有4条公切线，由对称性可知公切线与交于一点，
设与圆相切与点，则，
∵，，∴，
∵，∴轴，轴，
∴故圆与圆的公切线或.
故答案为：或或或（写出其中一个即可）.
11．圆和圆的公切线的方程为 .
【答案】或或
【来源】山西省部分学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题
【分析】由两圆的圆心和半径，得两圆相外切，两圆均与直线相切，直线与直线的交点为，设出过的另外一条切线方程，利用圆心到直线距离等于半径，求出方程，过两圆切点的切线与直线垂直，设出切线方程，利用圆心到直线距离等于半径，求出方程.
【详解】圆，圆心坐标，半径，
圆，圆心坐标，半径，
由，则两圆相外切，
由圆心和半径可知，两圆均与直线相切，
直线的方程为，直线与直线的交点为，
设过的另外一条切线为，由点到切线距离为1，故，
解得，或，故另外一条切线为.
因为直线的斜率为，故过两圆切点的切线斜率为，
设过公切点的切线方程为，由点到切线距离为1，则，
所以，故.
故答案为：或或.
12．已知圆和圆相交于两点，求：
(1)线段的长；
(2)两圆有公切线方程.
【答案】(1)
(2)或
【来源】四川省成都外国语学校2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题
【分析】（1）两方程联立求出直线的方程，利用垂径定理和勾股定理即可求出线段的长；
（2）利用图象找出一条公切线，利用点在圆上的对称点即可得出公切线方程.
【详解】（1）由题意，
联立方程组，两式相减得到直线的方程为，
则原点到直线的距离为，
根据勾股定理得
（2）由题意及（1）得，
在圆中， ，
∴，半径为，
在圆中，圆心，半径为，
可得直线与两圆相切，即为两圆的公切线，
则关于两圆圆心所在直线对称的直线即为另一条公切线，
由和，可得两圆心所在直线为，
即，
联立方程组，解得，
即交点坐标为，
在直线上任取一点，
设点关于直线对称点为，
可得，解得，
即对称点的坐标为，
所求的另一条切线过点，
可得其方程为，
故所求切线方程为或.
13．已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【来源】山东省泰山教育联盟2025届高三下学期4月联考数学试卷
【分析】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求.
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为
所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程，
所以
整理得，
故选：.
【题组四 公切线的长度】
14．（多选）已知圆，圆，则下列选项正确的是（ ）
A．两圆是外切的位置关系
B．直线的方程为
C．若P、Q两点分别是圆和圆上的动点，则的最大值为5
D．圆和圆的一条公切线段长为
【答案】ABD
【来源】安徽省六安第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题
【分析】根据圆心距与两圆半径之和相等可知A正确，利用两点坐标即可得B正确；易知当四点共线且在两侧时，取得最大值为，可得C错误；根据两半径差和圆心距可得公切线段长为，即D正确.
【详解】由题意可知圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为；
两圆圆心距，即圆心距等于两半径之和，
所以两圆外切，即A正确；
由圆心坐标可知，所以直线的方程为，
即，所以B正确；
由圆与圆之间的位置关系可得的最大值为，如下图所示：
当四点共线且在两侧时，取得最大值，可得C错误；
设为两圆的一条公切线，切点分别为，
易知，作于点，则，
又，则，可得公切线段长为，即D正确.
故选：ABD
15．圆与圆的公切线长为 .
【答案】4
【来源】2024年全国高考名校名师联席命制型数学信息卷（五）
【分析】先由圆心距与两圆半径和差关系判断两圆位置关系，再由几何性质利用勾股定理求解公切线长.
【详解】由题可得，由圆，
则圆心为，半径为，
由圆，
则圆的圆心为，半径为.
则两圆心的距离，
因为，所以圆与圆相交.
如图，设切点为，作于点，
所以圆与圆的公切线长为.
故答案为：.
【题组五 两圆相交，公共弦方程及弦长】
16．（多选）已知圆，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，圆与圆相离
B．当时，是圆与圆的一条公切线
C．当时，圆与圆相交
D．当时，圆与圆的公共弦所在直线方程是
【答案】ABD
【来源】浙江省丽水市2024-2025学年高二上学期1月期末教学质量监控数学试题
【分析】通过计算两圆的圆心距，再与两圆半径之和、半径之差比较来判断位置关系；对于公切线，需要判断两圆圆心到直线的距离是否等于半径；对于公共弦，可通过两圆方程相减得到.
【详解】圆的圆心坐标为，半径；圆的圆心坐标为，半径为.
则两圆的圆心距.
对于A，当时，.，知圆与圆相离，A正确；
对于B，当时，，由可得两圆相离.
因圆心 到的距离为；圆心到的距离为，
故是圆与圆的一条公切线，B正确；
对于C，当时，，因为，两圆相离，C错误；
对于D，当时，将两圆方程相减得：，
整理得，即圆与圆的公共弦所在直线方程是，D正确.
故选：ABD.
17．（多选）圆与圆相交于，两点，下列说法正确的是（ ）
A．的直线方程为 B．公共弦的长为
C．圆与圆的公切线段长为1 D．线段的中垂线方程为
【答案】AC
【来源】江苏省镇江市三校、泰州市部分学校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题
【分析】对于A，两圆方程相减可求出直线的方程，对于B，利用弦心距、弦和半径的关系可求公共弦的长，对于C，求出，再由可求得结果，对于D，线段的中垂线就是直线，求出直线的方程即可.
【详解】由，得，则，半径，
由，得，则，半径，
对于A，公共弦所在的直线方程为，
即，所以A正确，
对于B，到直线的距离，
所以公共弦的长为，所以B错误，
对于C，因为，，，
所以圆与圆的公切线长为，所以C正确，
对于D，根据题意可知线段的中垂线就是直线，因为，
所以直线为，即，所以D错误，
故选：AC.
18．已知点和圆Q：，过点P作圆Q的两条切线，切点分别为A、B，
(1)求切线的长；
(2)求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【来源】广东省茂名市电白区2023-2024学年高二上学期期末质量监测数学试题
【分析】（1）由题意得，，结合勾股定理即可得解.
（2）将原问题转换为求以为直径的圆和已知圆的公共弦方程来求解即可.
【详解】（1）圆的圆心为，半径，，
因为
故
所以，的长都是.
（2）因为，，所以A、B都在以为直径的圆上，
圆心为的中点，半径长为，
所以圆的方程为，即，
由得，故直线的方程为.课后训—圆与圆的位置关系-
日期：2025. 时长：50-60分钟/次
【题组一 圆与圆位置关系的判断及求参】
1．已知圆与圆，则两圆的位置关系是 .
2．已知圆关于直线对称，圆的标准方程是，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内含
3．若直线与圆O：相切，则圆与圆O（ ）
A．相离 B．相交 C．内切 D．外切
4．已知圆，圆．若两圆内含，求实数的取值范围 ．
5．（多选）已知圆与圆相切，则的取值可以为（ ）
A． B． C．3 D．4
6．已知圆.
(1)若直线过点，且与圆相切，求直线的方程；
(2)若圆的半径为3，圆心在直线上，且与圆外切，求圆的方程.
【题组二 两圆公切线的条数】
7．已知圆和圆，则圆与圆的公切线有 条.
8．若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知圆和圆恰有三条公共切线，则的最小值为（ ）
A．36 B．3 C．10 D．
【题组三 两圆公切线的方程】
10．已知圆O：与圆C关于直线l：对称，求圆O与圆C的公切线方程.
11．圆和圆的公切线的方程为 .
12．已知圆和圆相交于两点，求两圆的公切线方程.
13．已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（）
A． B．
C． D．
【题组四 公切线的长度】
14．（多选）已知圆，圆，则下列选项正确的是（ ）
A．两圆是外切的位置关系
B．直线的方程为
C．若P、Q两点分别是圆和圆上的动点，则的最大值为5
D．圆和圆的一条公切线段长为
15．圆与圆的公切线长为 .
【题组五 两圆相交，公共弦方程及弦长】
16．（多选）已知圆，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，圆与圆相离
B．当时，是圆与圆的一条公切线
C．当时，圆与圆相交
D．当时，圆与圆的公共弦所在直线方程是
17．（多选）圆与圆相交于，两点，下列说法正确的是（ ）
A．的直线方程为 B．公共弦的长为
C．圆与圆的公切线段长为1 D．线段的中垂线方程为
18．已知点和圆Q：，过点P作圆Q的两条切线，切点分别为A、B，
(1)求切线的长；
(2)求直线的方程.
