3.2.1函数的最值 学案（无答案）2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2.1 函数的最大（小）值
【课前预习】
1.函数的最值
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；存在，使得f()＝M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．
(2)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；存在∈I，使得f()＝M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值．
2.求函数最值的方法：
（1）图像法：作出y=f(x)的图像，图像最高点的纵坐标即为函数f(x)的最大值，图像最低点的纵坐标即为函数f(x)的最小值；
（2）单调性法：①若f(x)在区间[a，b]上单调递增，则；
②若f(x)在区间[a，b]上单调递减，则.
注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；
（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.
【自主练习】
1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）因为f(x)＝x2＋1≥0恒成立，所以f(x)的最小值为0.( )
（2）任何函数都有最大(小)值.( )
（3）函数f(x)取最大值时，对应的x可能有无限多个．( )
（4）如果f(x)的最大值、最小值分别为M，m，则f(x)的值域为[m，M]．( )
2.设函数f(x)＝2x－1(x<0)，则f(x)(　　)
A．有最大值　　　 B．有最小值
C．既有最大值又有最小值 D．既无最大值又无最小值
【经典例题】
题型一　图象法求函数的最值
例1　如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．
【变式探究】1已知函数f(x)＝则f(x)的最大值为________．
题型二　利用单调性求函数的最大（小）值
例2　1.　已知函数
（1)判断函数在区间上的单调性,并用定义证明你的结论；
（2）求该函数在区间上的最大与最小值．
2已知函数，其中．
（Ⅰ）用定义证明函数在上单调递减;
（Ⅱ）结合单调性，求函数在区间上的最大值和最小值．
3.设a为实数,记函数的最大值,
(1）求．
（2)求的值域．
变式探究：1.已知f(x)＝，
(1)判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明．
(2)求f(x)在[2,6]上的最大值和最小值．
2.已知函数f(x)＝x＋.
(1)判断f(x)在区间[1,2]上的单调性；
(2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间[1,2]上的最值．
题型三　求二次函数的最值
点拨：1.二次函数的最值问题，解题策略一般都是讨论函数的定义域与对称轴的位置关系，往往分三种情况：(1)定义域在对称轴左侧；(2)对称轴在定义域内；(3)定义域在对称轴右侧．
2.设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，则二次函数f(x)在闭区间[m，n]上的最大值、最小值有如下的分布情况：
对称轴与区间的关系 －＜m＜n， 即－∈(－∞，m) m＜－＜n， 即－∈(m，n) m＜n＜－， 即－∈(n，＋∞)
图象
最值 f(x)最大值＝f(n)， f(x)最小值＝f(m) f(x)最大值＝max{f(n)，f(m)}， f(x)最小值＝ f(x)最大值＝f(m)， f(x)最小值＝f(n)
例3-1（定轴定区间类型）已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[0,2]，求函数f(x)的最值。
例3-2 （定轴动区间类型）已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最值。
例3-3（动轴定区间）求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值。
【变式探究】3 已知函数f(x)＝x－2－3，求函数f(x)的最值．
【当堂检测】
1.函数f(x)＝－x2－4x＋1，x∈[－3,3]的值域是(　 　)
A．(－∞，5] B．[5，＋∞) C．[－20,5] D．[4,5]
2.已知函数f(x)＝，x∈[－8，－4)，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)有最大值，无最小值 B．f(x)有最大值，最小值
C．f(x)有最大值，无最小值 D．f(x)有最大值2，最小值
3.函数f(x)＝的最大值为________．
4.函数f(x)＝在[1，b](b>1)上的最小值是，则b＝________.
5．求函数f(x)＝x2－2ax＋a＋1(a>0)在[－4,4]上的最大值．
6.已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．
(1)判断函数在区间[3,5]上的单调性，并给出证明；
(2)求该函数的最大值和最小值．
【提升训练】
已知函数；
（1）若,求函数的单调区间；
（2)设在区间［1，2］上的最小值为，求的表达式；
（3）若恒成立，求的最小值．
已知函数，求的最小值．
（1）当时，求函数的最小值．
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．
已知函数
（1）当时，求函数的最大值；
（2）解关于的不等式．