2.2.2 对数函数及其性质 学案（含答案）

2.2.2对数函数及其性质
班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________
课前预习
·
预习案
【温馨寄语】
你有涌泉一样的智慧和一双辛勤的手，不管你身在何处，幸运与快乐时刻陪伴着你!
【学习目标】
1．理解对数函数的定义和意义.
2．了解反函数的概念.
3．掌握对数函数的图象和性质.
【学习重点】
对数函数的图象与性质
【学习难点】
对数函数的图象与性质
【自主学习】
1．对数函数的定义
(1)解析式为：
.
(2)自变量是：
.
2．对数函数的图象和性质
3．反函数
指数函数，且)与对数函数
互为反函数.
【预习评价】
1．若函数与互为反函数，则
A.
B.
C.
D.不确定
2．函数的定义域为
A.(1，+∞)
B.
C.(-∞，1)
D.
3．对数函数与的图象如图，则
A.
B.
C.
D.
4．已知函数，则的值为
.
5．若对数函数的图象经过点(8，3)，则函数的解析式为
.
6．对数函数在定义域内是减函数，则的取值范围是
.
知识拓展
·
探究案
【合作探究】
1．对数函数的图象与性质
（1）在同一坐标系内画出函数和的图象.并说出函数图象从左到右的变化趋势.
（2）在问题（1）所画图象的基础上，现画出函数和的图象，观察所画出的两个函数图象的变化趋势及这四个函数图象的特征，回答下列问题：
①函数和的图象从左到右的变化趋势是怎样的？
②函数和的图象间有什么关系？和呢？
③观察所画出的四个函数的图象，请说出对数函数图象的大致走势有几种？主要取决于什么？
2．对数函数的解析式
请你根据所学过的知识，思考对数函数解析式中的底数能否等于0或小于0？
3．对数函数的解析式
根据对数函数的解析式，完成下列填空，并明确其具有的三个结构特征
(1)特征1：底数曾大于0且不等于1的
，不含有自变量.
(2)特征2：自变量的位置在
，且的系数是
.
(3)特征3：的系数是
.
【教师点拨】
1．对数函数值的变化规律
(1)
(2)
2．对对数函数图象与性质的三点说明
(1)定点：所有对数函数的图象均过定点(1，0).
(2)对称性：底数互为倒数的对数函数图象关于轴对称.
(3)图象随底数变化规律：在第一象限内，底数自左向右依次增大.
3．确定对数函数解析式的关键
确定对数函数解析式的关键是确定底数的值.
4．对对数函数一般形式的说明
(1)定义中所说的形如的形式一般来说是不可改变的，否则就不是对数函数.
(2)解析式中底数取值范围为，其他范围都是不可以的.
【交流展示】
1．下列函数中是对数函数的是
.
(1) .(2).(3).
(4).(5).
2．若对数函数的图象过点，求及.
3．函数的图象恒过定点
.
4．画出函数的图象，并指出其值域和单调区间.
5．函数的定义域是
A.
B.
C.
D.
6．求下列函数的定义域.
.
(2).
7．若，则的取值范围是
A.
B.
C.
D.
8．解不等式.
9．已知函数，，则函数的最大值为
.
10．已知函数，，设.
(1)求函数的定义域，判断它的奇偶性.
(2)若，求的解集.
【学习小结】
1．判断一个函数是对数函数的方法
(1)看形式：判断一个函数是否是对数函数，关键是看解析式是否符合这一结构形式.
(2)明特征：对数函数的解析式具有三个特征，只要有一个特征不具备，则不是对数函数.
2．对数函数性质的综合应用
(1)常见的命题方式：
对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最大(小)值以及不等式等问题综合，求解中通常会涉及对数运算.
(2)解此类问题的基本思路：
首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路.
3．解对数不等式的两种类型及转化方法
(1)当时，①；
②
(2)当时，①
②
提醒：解简单对数不等式时不要忘记真数大于0这一条件.
4．对数式比较大小的三种类型和求解方法
(1)底数相同时，利用单调性比较大小.
(2)底数与真数均不相同时，借助于0或1比较大小.
(3)真数相同时，可利用换底公式换成同底，再比较大小，但要注意对数值的正负.
5．解答型或型函数要注意的问题
(1)要注意变量的取值范围.例如，，则中需有；中需有.
(2)判断型或型函数的奇偶性，首先要注意函数中自变量的范围，再利用奇偶性的定义判断.
【当堂检测】
1．设，，，则
A.
B.
C.
D.
2．已知，，，则
A.
B.
C.
D.
3．图中的曲线是的图象，已知的值为，，，，则相应曲线，，，的依次为
A.，，，
B.，，，
C.，，，
D.，，，
4．若函数是函数的反函数，其图象经过点，则

.
5．求下列函数的定义域：
(1).
(2).
6．比较下列各组数的大小：
(1)与.
(2)与.
(3)与.
(4)与.
7．设函数若，求实数的取值范围.
8．已知，完成下列问题：
(1)求的定义域.
(2)判断的奇偶性并予以证明.
(3)求使的的取值范围.
2.2.2对数函数及其性质
详细答案
课前预习
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预习案
【自主学习】
1．(1)y＝logax(a＞0，且a≠1)　(2)x
2．(0，＋∞)　R　(1，0)　增　减
3．y＝logax(a＞0，且a≠1)
【预习评价】
1．A
2．B
3．C
4．2
5．f(x)＝log2x
6．(1，2)
知识拓展
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探究案
【合作探究】
1．(1)①列表
x
1
2
3
4
y＝log2x
－2
－log23
－1
0
1
log23
2
y＝log3x
－log34
－1
－log32
0
log32
1
log34
描点画图
②图象的变化趋势：这两个函数的图象从左到右均是不断上升的.
（2）图象如图所示：
①
这两个函数的图象从左到右是下降的.
②结合图形，函数y＝log2x和的图象关于x轴对称，同样，函数y＝log3x和的图象也关于x轴对称.
③对数函数图象的大致走势有两种，一种是从左到右图象是下降的，而另一种恰好相反，图象的走势主要取决于底数a与1的大小关系.
2．因为，而在指数函数中底数a需满足a＞0且a≠1，故在对数函数解析式中a的取值范围不能等于0或小于0.
3．(1)常数　(2)真数上　1　(3)1
【交流展示】
1．(1)(3)
2．设f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，因为f(4)＝2，所以loga4＝2，所以a2＝4，又a＞0且a≠1，所以a＝2.
所以f(x)＝log2x，所以f(8)＝log28＝3.
3．(2，0)
4．因为当x＞0时y＝log5x；当x＜0时y＝log5(－x)，
所以函数y＝log5|x|的图象如图所示.
由图象可知，y＝log5|x|的值域为R，递增区间为(0，＋∞)，递减区间为(－∞，0).
5．B
6．(1)由得
所以x＞－1且x≠999，所以函数的定义域为{x|x＞－1且x≠999}.
(2)loga(3－4x)≥0.(
)
当a＞1时，(
)可化为loga(3－4x)≥loga1，所以3－4x≥1，.
当0＜a＜1时，(
)可化为loga(3－4x)≥loga1，
所以0＜3－4x≤1，.综上所述，当a＞1时，函数定义域为；当0＜a＜1时，函数定义域为.
7．C
8．当a＞1时原不等式；
当0＜a＜1时原不等式，
综上，当a＞1时原不等式的解集为(0，1)，
当0＜a＜1时原不等式的解集为(－1，0).
9．13
10．(1)因为f(x)＝loga(x＋1)(a＞0，且a≠1)的定义域为(－1，＋∞)，g(x)＝loga(1－x)(a＞0，且a≠1)的定义域为(－∞，1).
所以函数h(x)的定义域为(－1，1).
因为h(－x)＝loga(1－x)－loga(1＋x)
＝-[loga(1＋x)－loga(1－x)]＝－h(x)，
所以h(x)为奇函数.
(2)因为f(3)＝loga4＝2，所以a＝2，
所以，
即log2(1＋x)＜log2(1－x)，
所以解得－1＜x＜0，
故h(x)＜0的解集为{x|－1＜x＜0}.
【当堂检测】
1．B
2．B
3．A
4．
5．(1)(1，2)∪(2，3)　(2)
6．(1)因为f(x)＝log3x为增函数，且2.5＜3.7，所以log32.5＜log33.7.
(2)因为f(x)＝log0.2x为减函数，且2＜4.1，所以log0.22＞log0.24.1.
(3)因为log30.24＜log31＝0，log0.20.24＞log0.21＝0，所以log30.24＜log0.20.24.
(4)当a＞1时，因为f(x)＝logax为增函数，且3＜3.1，所以loga3＜loga3.1；
当0＜a＜1时，同理可得，loga3＞loga3.1.
7．(1)当a＞0时，－a＜0，f(a)＝log2a，.
因为f(a)＞f(－a)，所以，所以log2a＞－log2a，
所以log2a＞0，所以log2a＞－log21，所以a＞1.
(2)当a＜0时，－a＞0，，f(－a)＝log2(－a).
因为f(a)＞f(－a)，所以，所以－log2(－a)＞－log2(－a)，所以.
综上所述a的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞).
8．(1)因为，需有，
即或所以.
所以函数f(x)的定义域为(－1，1).
(2)因为，
又由(1)知f(x)的定义域为(－1，1)，
所以f(x)为奇函数.
(3)，
因为a＞1，所以可得，
由(1)中知x∈(－1，1)，有1－x＞0.
所以可得1＋x＞1－x，解得x＞0.
即当a＞1时，x∈(0，1)，有f(x)＞0.