第三单元 导数及其应用
第15讲 导数的概念及其意义、导数的运算
一、知识梳理
1.变化率与导数
(1)平均变化率:
一般地，函数在区间上的平均变化率为：.
(2)函数y=f(x)在x=x0处的导数:
定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作.
定义法求导数步骤：
求函数的增量：；
求平均变化率：；
求极限，得导数：.
(3)导函数
当x=x0时,f'(x0)是一个唯一确定的数.当x变化时,y=f'(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y',即f'(x)=y'=.
2.导数的运算
10. 基本初等函数的导数公式:
基本初等函数 导数
(为常数)
()
()
(，)
20. 导数的运算法则:
若，存在，则有
（1）
（2）
（3）.
二、三大核心原则
定义优先原则 ：理解导数作为瞬时变化率的本质，掌握定义法求导的基本步骤
几何直观原则 ：将导数与切线斜率建立联系，通过数形结合解决问题
运算规范原则 ：熟练运用导数公式和运算法则，确保计算准确无误
三、九大常见题型分类与解题策略
1. 导数概念理解题
解题要点 ：利用定义法求导数：
【例1】已知函数在处可导，若，则（ ）
A．4 B．6 C． D．
2. 基本导数计算题
解题方法 ：（1）熟记基本初等函数导数公式（2）掌握四则运算法则：（3）复合函数求导
【例2】下列求导运算正确的是（ ）
A．(a为常数) B．
C． D．
3. "在点处"切线问题
解题策略：
(1)求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率；
(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0).
关键点：区分"在点处"与"过点处"的区别
【例3】曲线在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4. "过点处"切线问题
解题通法：
(1)设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)；
(2)利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；
(3)将已知条件代入②中的切线方程求解.
【例4】过点且与曲线相切的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
5. 已知切线求参数问题
解题策略：
(1)处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：
①切点处的导数是切线的斜率；
②切点在切线上，故满足切线方程；
③切点在曲线上，故满足曲线方程.
(2)利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法典型例题：求使切线与给定直线平行/垂直的参数
【例5】已知直线y＝ax－a与曲线相切，则实数a＝（ ）
A．0 B． C． D．
6. 公切线问题
解题思路：
求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法.
难点：可能需要解高次方程
【例6】已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7. 切线存在性问题
解题策略 ：
（1）转化为方程根的个数问题
（2）利用函数图像分析交点情况
【例7】若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8. 距离最值转化问题
解题技巧 ：
（1）将距离问题转化为平行切线问题
（2）求与给定直线平行且与曲线相切的直线
（3）计算两平行线间距离
关键点：理解几何意义
【例8】若函数，点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9. 奇偶函数切线问题
解题方法 ：
（1）利用奇偶函数性质简化计算
（2）奇函数在原点切线必过原点，偶函数在对称点切线斜率相反
【例9】已知是定义在上的奇函数，若时，，则曲线在点处的切线斜率为 .
四、典例欣赏
【例10】若曲线C1:y=x2与曲线C2:y=(a>0)存在公切线,则实数a的取值范围为 . 第三单元 导数及其应用
第15讲 导数的概念及其意义、导数的运算
一、知识梳理
1.变化率与导数
(1)平均变化率:
一般地，函数在区间上的平均变化率为：.
(2)函数y=f(x)在x=x0处的导数:
定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作.
定义法求导数步骤：
求函数的增量：；
求平均变化率：；
求极限，得导数：.
(3)导函数
当x=x0时,f'(x0)是一个唯一确定的数.当x变化时,y=f'(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y',即f'(x)=y'=.
2.导数的运算
10. 基本初等函数的导数公式:
基本初等函数 导数
(为常数)
()
()
(，)
20. 导数的运算法则:
若，存在，则有
（1）
（2）
（3）.
二、三大核心原则
定义优先原则 ：理解导数作为瞬时变化率的本质，掌握定义法求导的基本步骤
几何直观原则 ：将导数与切线斜率建立联系，通过数形结合解决问题
运算规范原则 ：熟练运用导数公式和运算法则，确保计算准确无误
三、九大常见题型分类与解题策略
1. 导数概念理解题
解题要点 ：利用定义法求导数：
【例1】已知函数在处可导，若，则（ ）
A．4 B．6 C． D．
【详解】因为
，所以.
故选：A.
2. 基本导数计算题
解题方法 ：（1）熟记基本初等函数导数公式（2）掌握四则运算法则：（3）复合函数求导
【例2】下列求导运算正确的是（ ）
A．(a为常数) B．
C． D．
【详解】A：因为a为常数，所以，故A错误；
B：，故B正确；
C：，故C错误；
D：，故D错误.
故选：B.
3. "在点处"切线问题
解题策略：
(1)求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率；
(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0).
关键点：区分"在点处"与"过点处"的区别
【例3】曲线在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】令，则，即，，
所以曲线在处的切线方程为，即，
故选：D.
4. "过点处"切线问题
解题通法：
(1)设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)；
(2)利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；
(3)将已知条件代入②中的切线方程求解.
【例4】过点且与曲线相切的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】，点不在曲线上，
设切点为，则，
解得：，得切点，则
切线方程为：，故选：．
5. 已知切线求参数问题
解题策略：
(1)处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：
①切点处的导数是切线的斜率；
②切点在切线上，故满足切线方程；
③切点在曲线上，故满足曲线方程.
(2)利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法典型例题：求使切线与给定直线平行/垂直的参数
【例5】已知直线y＝ax－a与曲线相切，则实数a＝（ ）
A．0 B． C． D．
【详解】由且x不为0，得
设切点为，则，即，
所以，可得.故选：C.
6. 公切线问题
解题思路：
求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法.
难点：可能需要解高次方程
【例6】已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【详解】设直线与曲线的切点为且，
与曲线的切点为且，
又，，则直线与
曲线的切线方程为，即，
直线与曲线的切线方程为，即，则，
解得，故，故选：A.
7. 切线存在性问题
解题策略 ：
（1）转化为方程根的个数问题
（2）利用函数图像分析交点情况
【例7】若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】设切点为，由已知得，则切线斜率，
切线方程为．
∵直线过点，∴，
化简得．∵切线有2条，
∴，则的取值范围是，故选：D.
8. 距离最值转化问题
解题技巧 ：
（1）将距离问题转化为平行切线问题
（2）求与给定直线平行且与曲线相切的直线
（3）计算两平行线间距离
关键点：理解几何意义
【例8】若函数，点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【详解】的定义域为，
由函数，可得，
令，可得，负值舍去，又，
所以平行于直线且与曲线相切的直线与曲线的切点坐标为．点到直线的距离，即点到直线的距离的最小值为.故选：C．
9. 奇偶函数切线问题
解题方法 ：
（1）利用奇偶函数性质简化计算
（2）奇函数在原点切线必过原点，偶函数在对称点切线斜率相反
【例9】已知是定义在上的奇函数，若时，，则曲线在点处的切线斜率为 .
【详解】因为当时,故.根据奇函数的图像知, 在点处的切线斜率等于在点处的切线斜率为.故答案为：
四、典例欣赏
【例10】若曲线C1:y=x2与曲线C2:y=(a>0)存在公切线,则实数a的取值范围为 .
【详解】
法1：由y=x2得y'=2x，则曲线y=x2在点(m,m2)处的切线斜率为2m。由y=(a>0)得y'=，则曲线y=在点处的切线斜率为en。因为两条曲线存在公切线，所以2m=en(m≠0)，又2m=，所以m=2n-2，则4n-4=en有解，所以直线y=4x-4与函数y=ex的图象有交点。如图,当直线y=4x-4与函数y=ex的图象相切时，设切点坐标为(s,t)，则es=4，且t=4s-4=es，
解得s=2，t=4，即切点为(2,4)，此时a=，结合图形
可知实数a的取值范围是.
法2：由y=(a>0)得y'=,则曲线y=在点处的切线斜率为en，切线方程为，联立得
，化简，利用双函数法，结合图像知
法3：在化为，令，利用导数，画出图像，结合图像知
