第16讲 导数与函数的单调性
一、知识梳理
函数的单调性与导数
导数到 单调性 单调 递增 在某个区间(a,b)内,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调上递增
单调 递减 在某个区间(a,b)内,如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递减
单调性 到导数 单调 递增 若函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递增,则在区间(a,b)内,f'(x)≥0
单调 递减 若函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递减,则在区间(a,b)内,f'(x)≤0
二、三大核心原则
导数符号决定单调性 ：f'(x)>0 f(x)单调递增
f'(x)<0 f(x)单调递减
注意：导数为零的离散点不影响整体单调性
分类讨论原则 ：含参问题必须按参数范围分类讨论；二次型导函数需考虑判别式、开口方向、根的大小关系
等价转化原则 ：单调性问题可转化为导函数恒正/恒负问题；区间单调性可转化为不等式在区间内恒成立问题
三、八大常见题型分类与解题策略
1. 求不含参函数单调区间
解题步骤 ：（1）确定定义域（2）求导函数f'(x)（3）解f'(x)>0得递增区间，解f'(x)<0得递减区间
易错点：忽略定义域限制，区间端点是否包含
【例1】函数的单调递增区间为 .
2. 已知区间单调性求参数范围
解题方法 ：（1）单调递增 f'(x)≥0在区间恒成立
（2）单调递减 f'(x)≤0在区间恒成立
关键点：带等号，需验证导数为零是否离散点
【例2】若函数在区间单调递增，则的取值范围是 .
3. 存在单调区间问题
解题策略 ：存在增区间 f'(x)>0有解；存在减区间 f'(x)<0有解
区别：与恒成立问题的不同
【例3】（多选）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值可以为（ ）
A． B． C． D．
4. 函数不单调问题
解题要点 ：（1）存在极值点 f'(x)=0有变号解
（2）在区间(a,b)不单调 f'(x)在(a,b)有零点
【例4】已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5. 导函数图象分析问题
解题技巧 ：（1）原函数看增减，导函数看正负
（2）导函数图象在x轴上方 原函数递增
（3）导函数图象在x轴下方 原函数递减
【例5】（多选）如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ）
A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增
6. 一次型含参单调性讨论
【例6】已知函数.
(1)讨论的单调性；
7. 可分解二次型含参讨论
解题流程 ：（1）对f'(x)因式分解（2）比较两根大小（3）按开口方向、根的位置分类讨论
【例7】（2025·河南·二模）已知函数.
(1)讨论的单调性.
8. 不可分解二次型含参讨论
解题方法 ：（1）计算判别式Δ（2）Δ≤0时直接判断（3）Δ>0时结合开口方向讨论
难点：需要处理虚根情况下的单调性
【例7】设函数．
(2)设，讨论的单调性．
四、典例欣赏
【例8】已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),若f'(x)x+2的解集是 . 第16讲 导数与函数的单调性
一、知识梳理
函数的单调性与导数
导数到 单调性 单调 递增 在某个区间(a,b)内,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调上递增
单调 递减 在某个区间(a,b)内,如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递减
单调性 到导数 单调 递增 若函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递增,则在区间(a,b)内,f'(x)≥0
单调 递减 若函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递减,则在区间(a,b)内,f'(x)≤0
二、三大核心原则
导数符号决定单调性 ：f'(x)>0 f(x)单调递增
f'(x)<0 f(x)单调递减
注意：导数为零的离散点不影响整体单调性
分类讨论原则 ：含参问题必须按参数范围分类讨论；二次型导函数需考虑判别式、开口方向、根的大小关系
等价转化原则 ：单调性问题可转化为导函数恒正/恒负问题；区间单调性可转化为不等式在区间内恒成立问题
三、八大常见题型分类与解题策略
1. 求不含参函数单调区间
解题步骤 ：（1）确定定义域（2）求导函数f'(x)（3）解f'(x)>0得递增区间，解f'(x)<0得递减区间
易错点：忽略定义域限制，区间端点是否包含
【例1】函数的单调递增区间为 .
【详解】由题设，令，即的单调递增区间为.
故答案为：
2. 已知区间单调性求参数范围
解题方法 ：（1）单调递增 f'(x)≥0在区间恒成立
（2）单调递减 f'(x)≤0在区间恒成立
关键点：带等号，需验证导数为零是否离散点
【例2】若函数在区间单调递增，则的取值范围是 .
【详解】，令，则当时，，
又因为，
当且仅当时等号成立，且当时，不恒为0，
故的取值范围是.故答案为：.
3. 存在单调区间问题
解题策略 ：存在增区间 f'(x)>0有解；存在减区间 f'(x)<0有解
区别：与恒成立问题的不同
【例3】（多选）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值可以为（ ）
A． B． C． D．
【详解】，因为函数在区间内存在单调递增区间，所以在内有解，所以有解，
由于，所以，故，
则实数的取值范围是，结合选项可知，符合题意．故选：CD.
4. 函数不单调问题
解题要点 ：（1）存在极值点 f'(x)=0有变号解
（2）在区间(a,b)不单调 f'(x)在(a,b)有零点
【例4】已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【详解】函数在区间上不单调，
则在区间上有零点，所以
，得（舍），
故，使得函数在上递减，在上递增，
所以实数a的取值范围为.故选：B.
5. 导函数图象分析问题
解题技巧 ：（1）原函数看增减，导函数看正负
（2）导函数图象在x轴上方 原函数递增
（3）导函数图象在x轴下方 原函数递减
【例5】（多选）如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ）
A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增
【详解】由图知，在区间上，在区间上，
所以在、上不单调，在上单调递减，在上单调递增.
故选：BC
6. 一次型含参单调性讨论
【例6】已知函数.
(1)讨论的单调性；
【详解】（1）由题意可知，则，
当时，恒成立，在上单调递增，
当时，由解得，由解得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
综上所述，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减.
7. 可分解二次型含参讨论
解题流程 ：（1）对f'(x)因式分解（2）比较两根大小（3）按开口方向、根的位置分类讨论
【例7】（2025·河南·二模）已知函数.
(1)讨论的单调性.
【详解】（1）的定义域为，且，
①当时，由，得，由，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
②当时，恒成立，故函数在上单调递增；
③当时，由，得，由，得或，
所以函数在上单调递减，在，上单调递增；
④当时，由，得，由，得或，
所以函数在上单调递减，在，上单调递增；
综上：当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在，上单调递增；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在，上单调递增.
8. 不可分解二次型含参讨论
解题方法 ：（1）计算判别式Δ（2）Δ≤0时直接判断（3）Δ>0时结合开口方向讨论
难点：需要处理虚根情况下的单调性
【例7】设函数．
(2)设，讨论的单调性．
【详解】（2）由，
所以的定义域为，
所以，令，
当时，，，所以在单调递减；
当时，令有，，
所以，
所以由有，，有，，
所以在单调递增，在单调递减，
所以的单调增区间为，单调减区间为；
综上有：当时，的单调减区间为，无增区间；
当时，的单调增区间为，单调减区间为
四、典例欣赏
【例8】已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),若f'(x)x+2的解集是 .
【详解】
法1：（构造法）设g(x)=f(x)-ex+2,则g'(x)=f'(x)-ex.因为f'(x)x+2等价于f(ln x)-x+2>4,即g(ln x)>4,因为f(2)=e2+2,所以g(2)=f(2)-e2+2=4,所以g(ln x)>g(2),即ln x<2,解得0法2：（特殊函数）由题意令f(x)=e2+2，则e2+2>x+2，所以,解得0
