第17讲 导数与函数的极值、最值
一、知识梳理
1.函数的极值与导数
一般地，对于函数，
（1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值.
（2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值．
（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.
2.函数的最大值与最小值
一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.
设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求在内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
3.几个常见函数
解析式 大致图象 单调区间 极值点
y= 单调递增区间为(-∞,1); 单调递减区间为(1,+∞) x=1
y= 单调递增区间为(1,+∞); 单调递减区间为(-∞,0),(0,1) x=1
y=xex 单调递增区间为(-1,+∞); 单调递减区间为(-∞,-1) x=-1
y= 单调递增区间为(0,e); 单调递减区间为(e,+∞) x=e
y= 单调递增区间为(e,+∞); 单调递减区间为(0,1),(1,e) x=e
y=xln x 单调递增区间为; 单调递减区间为 x=
二、三大核心原则
极值判定原则 ：（1）极值点必要条件：或不存在
（2）充分条件：第一充分条件：在左右变号
第二充分条件：（为极小值，为极大值）
最值求解原则 ：（1）闭区间连续函数必有最大值和最小值
（2）最值可能出现在极值点或区间端点
（3）比较所有临界点函数值确定最值
分类讨论原则 ：
（1）含参问题必须按参数范围分类讨论
（2）二次型导函数需考虑判别式、开口方向、根的大小关系
三、七大常见题型分类与解题策略
1. 函数图象与极值点、最值关系
解题要点 ：
（1）通过导函数图象判断原函数单调性
（2）导函数图象与x轴交点为极值点
（3）导函数图象在x轴上方→原函数递增；下方→递减
【例1】已知定义域为的函数的导函数为且的图象如图所示，则下列判断中正确的（ ）
A．在上单调递增 B．有极大值
C．有3个极值点 D．在处取得最大值
【详解】由题图知，在上，则在上单调递减，在上，则在上单调递增，所以在上不单调，为极小值，且共有3个极值点，处不是最大值.
故选：C
2. 求已知函数的极值(点)
解题步骤 ：（1）确定定义域（2）求导函数（3）解得临界点
用第一或第二充分条件判定极值
易错点 ：忽略定义域限制；未验证是否变号
【例2】已知函数，则的极小值为
【详解】易知函数的定义域为，由题知，
令，得到，当时，，当时，，
所以在处取得极小值，极小值为，
故答案为：.
3. 根据极值(点)求参数
解题方法 ：（1）利用建立方程（2）验证是否为极值点（必须检验）
（3）回代检验参数合理性
关键点 ：必须回代验证是否为真极值点；注意参数对函数性质的影响
【例3】若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】由，求导可得，
由题意可得函数存在唯一变号零点，则方程存在唯一解，
即方程存在唯一解，
令，求导可得，由，解得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，则，
当时，，则，当时，，
易知当，即时，方程存在唯一解，
当时，，易知方程的解为，
由当时，，，则，同理可得当时，，
所以此时函数无极值点，不符合题意；
当时，，易知函数在上单调递增，符合题意.
故选：B.
4. 求函数最值（不含参）
解题流程 ：（1）求及临界点（2）计算所有临界点和端点的函数值
（3）比较得出最值
【例4】已知函数．
（2）若，求在上的值域．
【详解】（2）因为，则，
则，
由，得或；由，得．
可知在上单调递增，在上单调递减．
因为，
所以在上的值域为．
5. 求函数最值（含参）
讨论步骤 ：（1）按参数范围分类（2）每种情况下求临界点（3）比较端点值和极值（4）综合所有情况得出结论
【例5】已知函数.
（2）讨论的单调性，并求最值.
【详解】（2）由求导得：，
①当时，在上恒成立，故在上单调递增，无最值；
②当时，由，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，在单调递增，
所以在有最小值，为,无最大值.
6. 根据最值求参数
解题策略 ：（1）建立关于参数的方程（2）考虑参数对单调性和极值的影响
（3）验证所得参数是否满足条件
【例6】已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若函数在区间上的最小值为0，求实数的值.
【详解】（1）当时，函数，求导得，则，而，所以曲线在处的切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，求导得，
当时，，函数在上单调递减，
，解得，不符题意舍去；
当时，由得，；由得，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
①当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得，满足，则；
②当，即时，在上单调递减，
则，解得，不满足，不符题意舍去.
所以.
7. 综合应用问题
【例7】已知函数.
(1)当时，求的极大值；
(2)若在有最小值，且最小值大于，求的取值范围.
【详解】（1）当时，，
，
令，解得或，
当或，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
所以当时，的极大值为.
（2），，
当时，，，单调递增，无最小值，不符题意；
当时，令，则或，
当时，，，所以单调递增，无最小值，
当时，当，，当，，
所以在单调递减，在上单调递减，所以当时，有最小值，
最小值为，
所以，即，
化简得，即，
解得，即.
四、典例欣赏
【例8】设函数
（1）当时，求的极值；
（2）已知，若单调递增，求的最大值；
（3）已知，设为的极值点，求的最大值.
【详解】（1）当时，，则，令，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以的极小值为，无极大值。
（2）法1：由，若单调递增，则必有恒成立；
令，有，
当时，由已知单调递增，但，不合题意
当时，令，可得，
故函数的减区间为，增区间为，有
又由函数单调递减，且.
又由，故a的最大值为.
解法二：，依题意恒成立，
所以，故
因为，所以，
当时，，
设，则
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以
所以满足题意，即的最大值为；
（3）当时，易知单调递增.
易知，
所以存在使得，即，为的极小值点，
所以，
其中，
设，则
整理得
因为，，
所以当时，，在上单调递增
当时，，在上单调递减，
所以，即的最大值为.第17讲 导数与函数的极值、最值
一、知识梳理
1.函数的极值与导数
一般地，对于函数，
（1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值.
（2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值．
（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.
2.函数的最大值与最小值
一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.
设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求在内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
3.几个常见函数
解析式 大致图象 单调区间 极值点
y= 单调递增区间为(-∞,1); 单调递减区间为(1,+∞) x=1
y= 单调递增区间为(1,+∞); 单调递减区间为(-∞,0),(0,1) x=1
y=xex 单调递增区间为(-1,+∞); 单调递减区间为(-∞,-1) x=-1
y= 单调递增区间为(0,e); 单调递减区间为(e,+∞) x=e
y= 单调递增区间为(e,+∞); 单调递减区间为(0,1),(1,e) x=e
y=xln x 单调递增区间为; 单调递减区间为 x=
二、三大核心原则
极值判定原则 ：（1）极值点必要条件：或不存在
（2）充分条件：第一充分条件：在左右变号
第二充分条件：（为极小值，为极大值）
最值求解原则 ：（1）闭区间连续函数必有最大值和最小值
（2）最值可能出现在极值点或区间端点
（3）比较所有临界点函数值确定最值
分类讨论原则 ：
（1）含参问题必须按参数范围分类讨论
（2）二次型导函数需考虑判别式、开口方向、根的大小关系
三、七大常见题型分类与解题策略
1. 函数图象与极值点、最值关系
解题要点 ：
（1）通过导函数图象判断原函数单调性
（2）导函数图象与x轴交点为极值点
（3）导函数图象在x轴上方→原函数递增；下方→递减
【例1】已知定义域为的函数的导函数为且的图象如图所示，则下列判断中正确的（ ）
A．在上单调递增 B．有极大值
C．有3个极值点 D．在处取得最大值
2. 求已知函数的极值(点)
解题步骤 ：（1）确定定义域（2）求导函数（3）解得临界点
用第一或第二充分条件判定极值
易错点 ：忽略定义域限制；未验证是否变号
【例2】已知函数，则的极小值为
3. 根据极值(点)求参数
解题方法 ：（1）利用建立方程（2）验证是否为极值点（必须检验）
（3）回代检验参数合理性
关键点 ：必须回代验证是否为真极值点；注意参数对函数性质的影响
【例3】若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4. 求函数最值（不含参）
解题流程 ：（1）求及临界点（2）计算所有临界点和端点的函数值
（3）比较得出最值
【例4】已知函数．
（2）若，求在上的值域．
5. 求函数最值（含参）
讨论步骤 ：（1）按参数范围分类（2）每种情况下求临界点（3）比较端点值和极值（4）综合所有情况得出结论
【例5】已知函数.
（2）讨论的单调性，并求最值.
6. 根据最值求参数
解题策略 ：（1）建立关于参数的方程（2）考虑参数对单调性和极值的影响
（3）验证所得参数是否满足条件
【例6】已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若函数在区间上的最小值为0，求实数的值.
7. 综合应用问题
【例7】已知函数.
(1)当时，求的极大值；
(2)若在有最小值，且最小值大于，求的取值范围.
四、典例欣赏
【例8】设函数
（1）当时，求的极值；
（2）已知，若单调递增，求的最大值；
（3）已知，设为的极值点，求的最大值.
