第19讲 利用导数研究函数零点
一、知识梳理
1.零点分为两类:变号零点和不变号零点.
2.零点问题的常用处理方法:利用函数零点存在定理的条件为函数图象在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0.
①直接法:判断一个零点时,若函数为单调函数,则只需取值证明f(a)·f(b)<0即可.
②分类讨论法:判断几个零点时,需要先结合单调性,确定分类讨论的标准,再利用函数零点存在定理,在每个单调区间内取值证明f(a)·f(b)<0.
3.可化为函数零点的函数问题包括两个方向:
①与函数零点性质有关的问题(更多涉及构造函数法).
②可以转化为函数零点的函数问题(更多涉及整体转化、数形结合等方法技巧).能够利用等价转化、构造函数法求解的问题常涉及参数的最值、曲线交点、零点的大小关系等.求解时一般先通过等价转化,将题目转化为函数零点问题,再构造函数,然后利用导数研究函数的单调性、极值、最值等,并结合分类讨论,通过确定函数的零点达到解决问题的目的.
4.极值点偏移题型常见的题设:
①若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1≠x2,求证:x1+x2>2x0(或x1+x2<2x0),其中x0为函数f(x)的极值点;
②若函数f(x)中存在x1,x2且x1≠x2,满足f(x1)=f(x2),求证:x1+x2>2x0(或x1+x2<2x0),其中x0为函数f(x)的极值点;
③若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1≠x2,令x0=,求证:f'(x0)>0;
④若函数f(x)中存在x1,x2且x1≠x2,满足f(x1)=f(x2),令x0=,求证:f'(x0)>0.
二、三大核心原则
零点分类原则 ：变号零点和不变号零点，利用函数零点存在定理的条件：
处理方法原则 ：直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明即可分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用函数零点存在定理，在每个单调区间内取值证明
转化化归原则 ：可化为函数零点的函数问题包括两个方向：
（1）与函数零点性质有关的问题（更多涉及构造函数法）
（2）可以转化为函数零点的函数问题（更多涉及整体转化、数形结合等方法技巧）
三、四大常见题型与解题策略
1. 利用数形结合讨论函数零点：根据参数确定函数零点的个数,解题的基本思想是“数形结合”,即通过研究函数的性质(单调性、极值、最值、函数值的极限位置等),作出函数的大致图象,然后通过函数图象得出其与x轴交点的个数,或者两个相关函数图象交点的个数,基本步骤是“先数后形”.
【例1】 已知函数f(x)=.
(1)求函数f(x)的最值;
(2)讨论函数g(x)=aex-ln x-1的零点个数.
【例2】已知函数f(x)=x3-3ax+a2.
(1)当a=时,求函数f(x)的图象过原点的切线方程;
(2)若f(x)有三个零点,求a的取值范围.
3. 隐零点问题
含参函数的隐零点问题回代方法处理的一般步骤:
第一步,用零点存在定理判定导函数零点的存在性,列出零点方程f'(x0)=0,并结合f(x)的单调性得到零点的范围(有时零点范围需要适当调整加以缩小);
第二步,以零点x0为分界点,说明导函数f'(x)的正负,进而得到f(x)的最值f(x0)的表达式;
第三步,将零点方程适当变形,整体代入最值表达式进行化简证明.
【例3】已知函数f(x)=x-ln x-2.
(1)证明:f(x)在区间(3,4)上存在唯一的零点;
(2)若对于任意的x∈(1,+∞),都有xln x+x>k(x-1),求整数k的最大值.
4. 与函数零点有关的证明问题
解决与零点有关的证明问题通常需要构造函数,常见的构造方法与解题思路如下:
(1)直接构造新函数,利用导数研究函数的单调性与极值(最值),从而得出不等关系;
(2)利用可分离变量构造新函数,把问题转化为函数的最值问题,从而判定不等关系;
(3)适当放缩构造法,根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论,从而判定不等关系;
(4)构造“形似”函数,变形再构造,对原不等式同解变形,根据相似结构构造辅助函数.
四、典例欣赏
【例5】已知函数（）.
(1)求在区间上的最大值与最小值；
(2)当时，求证：.第19讲 利用导数研究函数零点
一、知识梳理
1.零点分为两类:变号零点和不变号零点.
2.零点问题的常用处理方法:利用函数零点存在定理的条件为函数图象在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0.
①直接法:判断一个零点时,若函数为单调函数,则只需取值证明f(a)·f(b)<0即可.
②分类讨论法:判断几个零点时,需要先结合单调性,确定分类讨论的标准,再利用函数零点存在定理,在每个单调区间内取值证明f(a)·f(b)<0.
3.可化为函数零点的函数问题包括两个方向:
①与函数零点性质有关的问题(更多涉及构造函数法).
②可以转化为函数零点的函数问题(更多涉及整体转化、数形结合等方法技巧).能够利用等价转化、构造函数法求解的问题常涉及参数的最值、曲线交点、零点的大小关系等.求解时一般先通过等价转化,将题目转化为函数零点问题,再构造函数,然后利用导数研究函数的单调性、极值、最值等,并结合分类讨论,通过确定函数的零点达到解决问题的目的.
4.极值点偏移题型常见的题设:
①若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1≠x2,求证:x1+x2>2x0(或x1+x2<2x0),其中x0为函数f(x)的极值点;
②若函数f(x)中存在x1,x2且x1≠x2,满足f(x1)=f(x2),求证:x1+x2>2x0(或x1+x2<2x0),其中x0为函数f(x)的极值点;
③若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1≠x2,令x0=,求证:f'(x0)>0;
④若函数f(x)中存在x1,x2且x1≠x2,满足f(x1)=f(x2),令x0=,求证:f'(x0)>0.
二、三大核心原则
零点分类原则 ：变号零点和不变号零点，利用函数零点存在定理的条件：
处理方法原则 ：直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明即可分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用函数零点存在定理，在每个单调区间内取值证明
转化化归原则 ：可化为函数零点的函数问题包括两个方向：
（1）与函数零点性质有关的问题（更多涉及构造函数法）
（2）可以转化为函数零点的函数问题（更多涉及整体转化、数形结合等方法技巧）
三、四大常见题型与解题策略
1. 利用数形结合讨论函数零点：根据参数确定函数零点的个数,解题的基本思想是“数形结合”,即通过研究函数的性质(单调性、极值、最值、函数值的极限位置等),作出函数的大致图象,然后通过函数图象得出其与x轴交点的个数,或者两个相关函数图象交点的个数,基本步骤是“先数后形”.
【例1】 已知函数f(x)=.
(1)求函数f(x)的最值;
(2)讨论函数g(x)=aex-ln x-1的零点个数.
【详解】(1)由函数f(x)=,x∈(0,+∞)，得f'(x)==.
令h(x)=-(ln x+1)，则h'(x)=-<0恒成立，所以h(x)在(0,+∞)上单调递减，且h(1)=0，所以当x∈(0,1)时，f'(x)>0，当x∈(1,+∞)时，f'(x)<0,所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，则当x=1时，f(x)取得最大值，最大值为f(1)=，f(x)无最小值.
(2)函数g(x)=aex-ln x-1的零点个数就是方程aex-ln x-1=0的解的个数，整理得a=。由题意知f(x)=，x∈(0,+∞)，由(1)可知，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，当x=1时，f(x)取得最大值f(1)=,
当x趋近于0时，f(x)趋近于-∞，当x趋近于+∞时，f(x)恒大于0且趋近于0.
作出函数f(x)的大致图象,如图.
由图知，当a>时,函数g(x)没有零点,
当a=或a≤0时，函数g(x)只有1个零点,
当0
2. 利用函数性质讨论函数零点
求解此类问题的一般步骤:
①求函数f(x)的导数.
②根据导数确定f(x)的单调区间.
③根据f(x)的零点个数确定需要满足的条件,进而得到关于参数的不等式(组).
④解不等式(组),得到参数的取值范围.
【例2】已知函数f(x)=x3-3ax+a2.
(1)当a=时,求函数f(x)的图象过原点的切线方程;
(2)若f(x)有三个零点,求a的取值范围.
【详解】(1)当a=时,f(x)=x3-3x+2,则f'(x)=3x2-3.
设切点为(x0,-3x0+2),则切线方程为y-+3x0-2=(3-3)(x-x0),
因为切线过原点,所以-+3x0-2=-3+3x0,解得x0=1,
所以切线方程为y=(3-3)x.
(2)f'(x)=3x2-3a.
当a≤0时,f'(x)≥0恒成立,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,至多有一个零点.
当a>0时,令f'(x)=0,得x=±,令f'(x)<0,得-令f'(x)>0,得x<-或x>,
所以f(x)在(-,)上单调递减,在(-∞,-),(,+∞)上单调递增.
因为f(x)有三个零点,所以即解得0当0,
又f(a+4)=(a+4)3-3a(a+4)+a2=(a+4)(a2+5a+16)+a2>0,f()<0,所以f(a+4)·f()<0,
所以f(x)在(,a+4)上有一个零点.
因为-2<-,f(-2)=-2a+a2=a(-2)<0,f(-)>0,所以f(-)·f(-2)<0,
所以f(x)在(-2,-)上有一个零点.
又f(x)在(-,)上有一个零点,所以f(x)有三个零点.
综上可知,a的取值范围为(0,4).
3. 隐零点问题
含参函数的隐零点问题回代方法处理的一般步骤:
第一步,用零点存在定理判定导函数零点的存在性,列出零点方程f'(x0)=0,并结合f(x)的单调性得到零点的范围(有时零点范围需要适当调整加以缩小);
第二步,以零点x0为分界点,说明导函数f'(x)的正负,进而得到f(x)的最值f(x0)的表达式;
第三步,将零点方程适当变形,整体代入最值表达式进行化简证明.
【例3】已知函数f(x)=x-ln x-2.
(1)证明:f(x)在区间(3,4)上存在唯一的零点;
(2)若对于任意的x∈(1,+∞),都有xln x+x>k(x-1),求整数k的最大值.
【详解】(1)证明:∵f(x)=x-ln x-2,∴f'(x)=1-.
当x∈(3,4)时,f'(x)=1->0,∴f(x)在(3,4)上单调递增.
∵f(3)=3-ln 3-2=1-ln 3<0,f(4)=4-ln 4-2=2-ln 4>0,∴f(3)·f(4)<0,
∴f(x)在区间(3,4)上存在唯一的零点.
(2)∵xln x+x>k(x-1),且x∈(1,+∞),∴k<(x>1).
令g(x)=(x>1),则g'(x)=(x>1),
由(1)知,f(x)=x-ln x-2在(1,+∞)上单调递增,且在区间(3,4)上存在唯一的零点,
设该零点为x0,则f(x0)=x0-ln x0-2=0,
故当x∈(1,x0)时,f(x)<0,即g'(x)<0,g(x)在(1,x0)上单调递减,
当x∈(x0,+∞)时,f(x)>0,即g'(x)>0,g(x)在(x0,+∞)上单调递增,
∴g(x)min=g(x0)===x0∈(3,4),∴k故整数k的最大值为3.
4. 与函数零点有关的证明问题
解决与零点有关的证明问题通常需要构造函数,常见的构造方法与解题思路如下:
(1)直接构造新函数,利用导数研究函数的单调性与极值(最值),从而得出不等关系;
(2)利用可分离变量构造新函数,把问题转化为函数的最值问题,从而判定不等关系;
(3)适当放缩构造法,根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论,从而判定不等关系;
(4)构造“形似”函数,变形再构造,对原不等式同解变形,根据相似结构构造辅助函数.
【例4】已知函数f(x)=e2x-ax-1.
(1)讨论f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在区间(0,+∞)上存在唯一零点x0,证明:x0【详解】(1)由题意可知,f(x)的定义域为R,且f'(x)=2e2x-a.
若a≤0,则f'(x)=2e2x-a>0对任意x∈R恒成立,
可知f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间.
若a>0,令f'(x)>0,可得x>ln ,令f'(x)<0,可得x可知f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.
综上所述,若a≤0,则f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间;
若a>0,则f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)证明:因为f(x)在区间(0,+∞)上存在唯一零点x0,
所以存在唯一的x0∈(0,+∞),使得f(x0)=-ax0-1=0,可得a=.
若要证明x00,x0>0.
不妨设h(x)=e2x-(x+1)2,x>0,则h'(x)=2e2x-2(x+1),x>0.
令u(x)=h'(x)=2e2x-2(x+1),x>0,则u'(x)=4e2x-2>4-2=2>0,x>0,
所以当x>0时,h'(x)单调递增,所以h'(x)>h'(0)=0,
所以当x>0时,h(x)单调递增,所以h(x)>h(0)=0,
即当x0>0时,不等式->0恒成立.
综上所述,若f(x)在区间(0,+∞)上存在唯一零点x0,则x0四、典例欣赏
【例5】已知函数（）.
(1)求在区间上的最大值与最小值；
(2)当时，求证：.
【详解】（1）解：（）（），
令，则，
当时，，所以在区间上恒成立，
在区间上单调递增，
所以，.
当时，，则当时，，
在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增，
所以，
而，.所以
综上所述，当时，，；
当时，所以，.
（2）法一：隐零点法
因为，，所以，欲证，
只需证明，
设，（），，
令，易知在上单调递增，
而，，
所以由零点的存在性定理可知，存在唯一的使得，
即，因此，，
当时，，，在上单调递减；
当时，，，在上单调递增；
所以
所以，因此.
方法二：（同构法）
因为，，所以，欲证，
只需证明，
只需证明，
因此构造函数（），，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增：
所以，所以，
所以，
因此.