【第29讲：复数】
【新高考课标要求】
1. 理解复数基本概念：需透彻认识复数的定义，明晰形如（）的数即为复数，其中是实部、是虚部，且为虚数单位，满足。这要求学生能精准辨别复数的实部与虚部，理解纯虚数（且）、实数（）等特殊复数类型的概念差异。比如面对复数，能迅速指出实部是，虚部是；看到，知道它是纯虚数，实部为 。
2. 掌握复数相等条件：要深刻理解复数相等的充要条件，即当且仅当且（）。在解题中，若遇到等式，学生应能依据该条件列出方程组求解。这一知识点常与方程、函数等知识结合，考查学生的综合运用能力。
3. 明晰复数代数表示与几何意义：一方面，要熟悉复数的代数表示法，能够熟练进行复数的代数形式书写与转换；另一方面，要理解复数的几何意义，知晓复数与复平面内的点以及平面向量存在一一对应关系。例如，复数在复平面内对应的点为，对应的向量从原点出发，终点坐标为 。这有助于学生从几何直观角度理解复数运算，如复数的加法对应向量的加法，在复平面上体现为向量的平移。
4. 熟练进行复数代数形式四则运算：涵盖复数的加、减、乘、除运算。加法和减法运算遵循实部与实部相加减、虚部与虚部相加减的规则，即 。乘法运算类比多项式乘法，但要注意的运用，如 。除法运算则需将分母实数化，通过乘以分母的共轭复数来实现，如（） 。学生需通过大量练习，提升运算的准确性与速度。
5. 了解复数加、减运算几何意义：复数加法的几何意义是，两个复数相加对应复平面内相应向量的加法，其和对应的向量是以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线（从共同起点出发）；复数减法的几何意义是，两个复数相减对应复平面内相应向量的减法，差对应的向量是从减数向量的终点指向被减数向量的终点。例如，已知复数，，在复平面内，对应的向量可由与通过平行四边形法则得到，对应的向量则是从指向 。
【知识梳理】
一、复数核心知识梳理（紧扣高考高频考点）
1. 复数的基本概念（高考基础送分点）
定义：形如（）的数称为复数，其中为虚数单位，满足。
实部：（必须为实数，不可含）；
虚部：（同样为实数，是虚数单位的系数，不含）。
分类：
实数：（如，可表示为）；
纯虚数：且（如，不可忽略的条件）；
非纯虚数的虚数：且（如）。
2. 复数的相等与共轭（高考常考方程求解）
相等条件：对任意复数，（），且。
核心应用：通过实部、虚部分离列方程组，求解复数中的参数（如已知，得，解得，）。
共轭复数：设，则其共轭复数为（实部不变，虚部变号）。
几何特征：复平面内，与对应的点关于实轴对称；
运算性质：（实数），（纯虚数或零），（高考高频，常用于分母实数化或求模长）。
3. 复数的几何意义（高考多选题常考）
一一对应关系：
复数 复平面内的点（横轴为实轴，纵轴为虚轴，原点对应复数）；
复数 平面向量（为原点）。
模长的几何意义：
复数的模，表示复平面内点到原点的距离，或向量的长度；
两点距离：复平面内两点，对应的复数分别为，，则（高考常结合圆、线段等几何图形考查）。
4. 复数的四则运算（高考必考运算题）
加法：（实部相加，虚部相加）；
减法：（实部相减，虚部相减）；
乘法：类比多项式乘法，结合化简：
特殊公式：（共轭复数乘积，即模长平方），（高考高频，需熟记）；
除法：核心是分母实数化，乘以分母的共轭复数：
5. 复数加减运算的几何意义（高考偶尔结合向量考查）
加法：复平面内，对应的向量为，遵循平行四边形法则（以，为邻边，对角线即为和向量）；
减法：复平面内，对应的向量为（从对应点指向对应点的向量）。
二、常用结论（高考真题高频调用）
1. 虚数单位的幂次循环：，，，，周期为，即（，）。
示例：，（高考常考指数化简）。
2. 常见复数运算结果：
（分子分母同乘，得）；
（分母实数化：）；
（同理推导，与上式互为相反数）。
3. 模长的运算性质：对任意复数，，有：
；
（）；
（）。
4. 共轭复数的运算性质：，，（）。
三、微点提醒（高考易错点规避）
1. 虚部的概念误区：复数的虚部是（实数），而非。例如，的虚部是，不是（高考选择题常设置此陷阱）。
2. 纯虚数的条件遗漏：判断纯虚数时，需同时满足“实部为”且“虚部不为”。例如，为纯虚数，需，解得，不可仅由得（模拟题高频易错点）。
3. 复平面与直角坐标系的区别：复平面的纵轴是虚轴，单位为，对应复数的虚部；直角坐标系的纵轴是轴，单位为，二者不可混淆。例如，复数对应复平面内的点，而非直角坐标系中的向量。
4. 除法运算的分母不为零：进行复数除法时，需先判断分母是否为零（即分母的实部、虚部不同时为零）。例如，无意义，因分母对应的复数不能作为除数。
5. 模长的非负性：复数的模长是实数且非负，计算时需注意根号下的表达式为平方和（恒正），例如，不可遗漏负号的平方。
【课前自测】【真题体验】
一、单选题
1．（2023·全国甲卷·高考真题）（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】利用复数的四则运算求解即可.
【详解】
故选：C.
2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.
【详解】因为，所以.
故选：C.
3．（2023·全国乙卷·高考真题）（ ）
A．1 B．2 C． D．5
【答案】C
【分析】由题意首先化简，然后计算其模即可.
【详解】由题意可得，
则.
故选：C.
4．（2007·陕西·高考真题）在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据复数的运算法则，得到，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】由复数的运算法则，可得复数，
复数在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D.
5．（2024·全国甲卷·高考真题）若，则（ ）
A． B． C．10 D．
【答案】A
【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.
【详解】由，则.
故选：A
6．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足，则（ ）
A． B． C．4 D．8
【答案】B
【分析】先求出复数，再根据复数模的公式即可求出．
【详解】由可得，，所以，
故选：B.
二、填空题
7．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ．
【答案】
【分析】先由复数除法运算化简，再由复数模长公式即可计算求解.
【详解】先由题得，所以.
故答案为：
8．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数 ．
【答案】
【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.
【详解】.
故答案为：.
9．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】先设，利用复数的乘方运算及概念确定，再根据复数的几何意义数形结合计算即可.
【详解】设，
由题意可知，则，
又，由复数的几何意义知在复平面内对应的点在单位圆内部（含边界）的坐标轴上运动，如图所示即线段上运动，
设，则，由图象可知，
所以.
故答案为：
10．（2024·上海·高考真题）已知虚数，其实部为1，且，则实数为 ．
【答案】2
【分析】设且，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.
【详解】设，且.
则，
，，解得，
故答案为：2.
【考点一：复数的相关概念】
【例题】1．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】应用复数除法求出复数，根据共轭复数的定义求，即可得.
【详解】由题设，
则，故虚部为.
故选：B
2．（2025·云南玉溪·模拟预测）若复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数乘方、除法运算求得，进而求得的虚部.
【详解】由，得，
所以，所以的虚部为.
故选：D.
【针对训练】3．（2025·全国·模拟预测）若复数满足（其中i是虚数单位），复数的共轭复数为，则（ ）
A．的实部是
B．
C．在复平面内对应的点在第一象限
D．与在复平面内它们所对应的点关于轴对称
【答案】BD
【分析】根据复数的运算法则、共轭复数的定义、实部的定义、模的公式及几何意义求解判断各选项即可．
【详解】由，得，则，
所以的实部为，A错误；
而，B正确；
因为，其在复平面内对应的点的坐标为，在第四象限，C错误；
在复平面内对应的点的坐标为，
则与在复平面内它们所对应的点关于轴对称，D正确．
故选：BD．
4．（2025·海南·模拟预测）下列有关复数的说法中（其中i为虚数单位），正确的是（ ）
A．
B．复数的共轭复数的虚部为4
C．若复数z满足，则的最大值为2
D．若是关于x的方程的一个根，则
【答案】BC
【分析】计算可判断A；根据共轭复数的定义可判断B；求出的轨迹为圆，圆上的点到原点的距离最大值为2，可判断C；得到为方程的另一个根，根据韦达定理计算可得判断D.
【详解】A选项，，故A错误；
B选项，复数的共轭复数为，故虚部为，故B正确；
C选项，若复数z满足，则z的轨迹为复平面内，以为圆心，1为半径的圆，
此圆上的点到原点的距离，最大值为2，即到原点距离，故的最大值为2，故C正确；
D选项，是关于x的方程的一个根，为方程另一个根，
故，D不正确.
故选：BC
5．（2025·河北·模拟预测）复数满足：，则（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】C
【分析】先利用复数的除法运算求出复数，再写出它的共轭复数进行加法运算找到实部虚部再计数模即可.
【详解】，
，，.
故选：C.
【解题策略】
一、复数基本概念（实部、虚部、分类）解题思路
1. 核心考点与解题步骤
考点1：识别实部与虚部
解题步骤：① 明确复数标准形式（），若复数非标准形式（如含、分母含），先化简为；② 直接提取实部（不含的实数部分）、虚部（的系数，且为实数）。
适配场景：题目直接要求求复数的实部/虚部，或结合实部、虚部求参数（如“已知的实部为，求”）。
考点2：复数分类（实数、纯虚数、虚数）
解题步骤：① 先将复数化为标准形式（）；② 按分类条件判断：
实数：满足；
纯虚数：满足且（需同时满足两个条件，缺一不可）；
虚数：满足（包含纯虚数与非纯虚数的虚数）。
适配场景：题目明确要求判断复数类型，或已知复数类型求参数（如“已知为纯虚数，求”）。
2. 避错关键
虚部不可带：如的虚部是，而非；
纯虚数需“双条件”：不可仅由“实部为”判定为纯虚数，需额外验证“虚部不为”，避免漏解或错解参数。
二、复数相等与共轭复数解题思路
1. 核心考点与解题步骤
考点1：复数相等
解题步骤：① 确保两个复数均化为标准形式、（）；② 根据“实部相等且虚部相等”列方程组；③ 解方程组求参数或验证相等关系。
适配场景：题目给出复数相等的等式，求其中的参数（如“，求”），或证明两个复数相等。
考点2：共轭复数
解题步骤：① 若复数为标准形式，直接得共轭复数（实部不变，虚部变号）；② 若复数非标准形式，先化简为，再求共轭；③ 利用共轭复数性质解题：（实数）、（纯虚数或零）、（模长平方）。
适配场景：题目要求求共轭复数，或结合共轭复数性质求模长、数量关系（如“已知，求”）。
2. 避错关键
复数相等的“前提条件”：必须保证两个复数的实部、虚部均为实数，否则不可直接用“实部、虚部分别相等”；
共轭复数的“符号变化”：仅虚部变号，实部不变，避免将误写为或。
三、复数几何意义（点、向量、模长）解题思路
1. 核心考点与解题步骤
考点1：复数与点、向量的对应关系
解题步骤：① 明确对应规则：复数对应复平面内点，对应向量（为原点）；② 若已知复数，直接写出对应点坐标或向量坐标；③ 若已知点或向量，反向写出对应复数（点对应，向量对应）。
适配场景：题目要求指出复数对应复平面内的点或向量，或由点/向量求复数（如“求复平面内点对应的复数”）。
考点2：复数模长的计算与几何意义
解题步骤：① 若复数为标准形式，直接用公式计算；② 若复数为非标准形式（如），先化简为，或利用模长性质（，、）；③ 结合几何意义：表示点到原点的距离，表示点到的距离，辅助分析几何图形（如圆、线段）。
适配场景：题目要求求复数模长，或结合模长的几何意义求最值、判断轨迹（如“求表示的图形”）。
2. 避错关键
复平面与直角坐标系的“区别”：复平面纵轴为虚轴，对应复数虚部，不可将点误理解为直角坐标系中“，”；
模长的“非负性”：是实数且非负，计算时需注意根号下为平方和（恒正），避免遗漏负号的平方（如）。
四、通用解题流程（适用于所有复数概念题）
1. 化简优先：无论何种题型，先将复数化为标准形式（），避免非标准形式导致的概念混淆；
2. 定位考点：根据题目要求，判断考查“基本概念”“复数相等/共轭”还是“几何意义”，匹配对应解题步骤；
3. 列关系/用性质：结合考点列方程（如复数相等列方程组）、用公式（如模长公式、共轭性质），确保每一步紧扣概念本质；
4. 验证检查：解题后验证结果是否符合概念要求（如纯虚数需验证虚部不为，模长需验证非负），规避常见易错点。
【考点二：复数的几何意义】
【例题】1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面上不可能位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】设，由已知得在复平面的轨迹是以为圆心，为半径的圆，由图即可判断.
【详解】设，由得，
可得在复平面上对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，（如图）.
由图知圆显然不经过第三象限，故复数在复平面上不可能位于第三象限.
故选：C.
2．（2025·四川巴中·二模）已知复数的共轭复数记为，对于任意的三个复数与下列结论错误的是（ ）
A．复数的共轭复数
B．若，则复平面内对应的点位于第四象限
C．已知复数z满足，则的最小值为2
D．若，且，则
【答案】BC
【分析】A选项，利用复数除法法则和共轭复数的概念得到A正确；B选项，利用复数乘方法则得到，得到对应点坐标，得到所在象限；C选项，由模长的几何意义得到对应的点在虚轴（加上原点）上，由几何意义得到最小值为1；D选项，，又，则.
【详解】A.复数，则共轭复数，正确：
B.，对应点为，在第三象限，B错：
C.复数满足，则对应的点在是以对应点为端点的线段的中垂线上，即虚轴（加上原点）上，
表示虚轴（加上原点）上的点到点的距离，最小值为1，C错误.
D.若，则，又，则，故D正确：
故选：BC
【针对训练】1．（2025·山东·三模）已知i是虚数单位，若复数z满足，则z在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】设出复数的代数形式，利用复数乘法，结合复数相等求出在复平面内对应点即可.
【详解】设，则，
，
于是，解得，
所以在复平面内对应点在第二象限.
故选：B
2．（2025·广东佛山·三模）复平面上两点对应的复数分别是，向量对应的复数为，则（ ）
A．17 B． C．13 D．
【答案】D
【分析】根据复数的几何意义求出坐标即可得出复数，进而求出模.
【详解】由题意可得，，则，
所以，得．
故选：D
3．（2025·广东·模拟预测）若复数z满足，那么的最大值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】利用复数模的几何意义转化复数z满足的限制条件，进而求得的最大值.
【详解】设复数、在复平面内对应的点分别为，
复数在复平面对应的点为：，
由可知：复数z在复平面内对应的点到两点的距离之和为2，
而，所以点在线段上，故，
则，
当时，的最大值为.
故选：B.
【解题策略】
一、复数与复平面内点、向量的对应关系（高考基础高频考点）
1. 核心考点与解题步骤
考点1：由复数确定点/向量
解题步骤：① 确保复数化为标准形式（），若为非标准形式（如含、分母含），先化简（如）；② 依据对应规则：复数对应复平面内的点（横轴为实轴，纵轴为虚轴），对应从原点出发的向量；③ 直接写出点的坐标或向量的坐标，无需额外运算。
适配场景：题目要求指出复数在复平面内对应的点的位置（如象限、坐标轴），或写出对应向量（如“求复数对应复平面内的点及向量”）。
考点2：由点/向量确定复数
解题步骤：① 明确已知条件类型：若已知复平面内点，直接对应复数；若已知向量（为原点），同样对应复数；② 若向量起点非原点（如，、），先计算向量坐标，再对应复数。
适配场景：题目给出复平面内点的坐标或向量坐标，求对应复数（如“复平面内点对应什么复数”“向量对应什么复数”）。
2. 避错关键
区分“复平面与直角坐标系”：复平面纵轴是虚轴，仅对应复数的虚部，不可将点误写为“”，也不可将向量坐标中的带；
非原点向量的转化：若向量起点不是原点，需先计算向量的坐标（终点坐标减起点坐标），再对应复数，避免直接用起点或终点坐标对应复数。
二、复数模长的几何意义（高考重难点考点）
1. 核心考点与解题步骤
考点1：模长的基本计算（点到原点的距离）
解题步骤：① 若复数为标准形式，直接代入模长公式计算（根号下为实部、虚部的平方和，恒非负）；② 若复数为非标准形式（如），先化简为（如），再代入公式；③ 若复数与共轭相关（如），可利用性质简化计算（如，，则）。
适配场景：题目直接要求求复数的模长（如“求”），或结合复数运算求模长（如“求”）。
考点2：模长的几何应用（两点间距离与轨迹问题）
解题步骤：① 两点间距离：若复数、对应复平面内点、，则，即两点间的距离；② 轨迹判断：根据模长表达式的结构确定轨迹：
（，为定复数）：表示以对应点为圆心、为半径的圆；
（为定复数）：表示线段的垂直平分线；
（）：表示以为焦点的椭圆。
适配场景：题目要求求复平面内两点间的距离（如“求与对应点的距离”），或判断模长表达式表示的几何图形（如“判断表示的图形”）。
考点3：模长的最值问题
解题步骤：① 几何法（优先用）：将复数模长转化为复平面内的距离，结合图形求最值（如求的最小值，即求点到点的最小距离，若在某定图形上，如线段、圆，则结合图形性质找最近点）；② 代数法：设（），将模长表达式化为关于的函数（如），结合约束条件（如）求函数最值。
适配场景：题目要求求模长的最值（如“已知满足，求的最大值”），常结合圆、线段、椭圆等图形考查。
2. 避错关键
模长公式的“平方和”：不可将误写为或，计算时需注意实部、虚部的正负（平方后均为正）；
轨迹条件的“限制”：判断椭圆轨迹时，需满足“”，若，则表示线段，不可直接判定为椭圆；
最值求解的“几何优先”：代数法计算较繁琐，且易因计算错误出错，优先用几何法转化为距离问题，结合图形直观求解。
三、复数加减运算的几何意义（高考低频但易漏考点）
1. 核心考点与解题步骤
考点1：加法的几何意义（平行四边形法则）
解题步骤：① 确定两个复数、对应向量、；② 以、为邻边作平行四边形，从原点出发的对角线对应的向量即为，对应复数；③ 若需验证，可通过向量加法坐标运算或复数加法运算核对。
适配场景：题目要求结合平行四边形法则求两复数的和（如“已知、，用几何方法求”）。
考点2：减法的几何意义（三角形法则）
解题步骤：① 确定复数、对应向量、；② 复数减法对应向量减法，即从对应点指向对应点的向量，对应复数；③ 可通过两点间距离公式验证。
适配场景：题目要求结合向量减法求复数差（如“已知、，用几何方法求”），或解释复数差的几何意义。
2. 避错关键
加法的“平行四边形起点”：两向量需从同一原点出发，才能构成平行四边形的邻边，不可用非共起点的向量直接叠加；
减法的“向量方向”：对应向量是“从指向”，而非“从指向”，避免方向混淆导致复数符号错误。
四、通用解题流程（适用于复数几何意义题型）
1. 化简先行：无论何种题型，先将涉及的复数化为标准形式（），为后续对应点、向量或计算模长奠定基础；
2. 几何转化：将复数问题转化为几何问题——复数对应点/向量，模长对应距离，模长表达式对应轨迹，明确几何模型（如点、线段、圆、椭圆）；
3. 选法求解：基础计算用公式（如模长公式），轨迹与最值问题优先用几何法（结合图形性质），复杂约束条件下用代数法（设坐标转化为函数）；
4. 验证回归：解题后将几何结果回归到复数问题（如轨迹图形对应模长表达式，距离最值对应模长最值），验证是否符合题目要求，规避几何与复数的转化错误。
【考点三：复数的运算】
【例题】1．（2025·全国·模拟预测）已知复数，为的共轭复数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据共轭复数的概念得，然后根据复数乘法运算逐一计算即可判断AB；由可得，然后判断CD.
【详解】因为，则，则，A正确．
因为，B正确．
因为，所以，，，故C正确，D错误．
故选：ABC．
2．（2025·江苏泰州·模拟预测）若，其中i是虚数单位，则复数z的共轭复数的模为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】先求出复数z，再根据共轭复数和模的定义求解.
【详解】,
所以，且.
故选：B
【针对训练】1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知复数，则复数的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用复数的乘方、乘法运算求出，进而求出其共轭复数.
【详解】，则，
所以.
故选：A
2．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用复数的除法法则得出、，进而得出、，再利用复数的除法运算化简即可.
【详解】由题意可得，，
，
则，
则.
故选：C
3．（2025·山东泰安·模拟预测）若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，根据复数代数形式的运算及复数相等的充要条件得到方程，即可求出，再计算其模.
【详解】设，
则左边，
右边，，
，解得，，
故.
故选：A.
【解题策略】
一、复数的加法运算（高考基础送分点）
1. 核心考点与解题步骤
考点：代数形式加法
解题步骤：① 确保两个复数均为标准形式、（），若含非标准项（如），先化简（如）；② 按“实部相加，虚部相加”规则计算：；③ 结果保留形式，若虚部为，可直接表示为实数（如）。
适配场景：题目直接考查复数加法，或结合向量加法（复平面几何意义）考查，多为基础计算题（如“计算”）。
2. 避错关键
避免“实虚部混淆”：不可将实部与虚部交叉相加（如）；
化简非标准项：计算前需先处理、分母含等非标准形式，确保复数为后再运算，避免直接相加导致错误。
二、复数的减法运算（高考基础高频考点）
1. 核心考点与解题步骤
考点：代数形式减法
解题步骤：① 同加法，先将复数化为标准形式、；② 按“实部相减，虚部相减”规则计算：；③ 注意负号分配，若虚部为负，相减后变为正（如）。
适配场景：题目直接考查复数减法，或结合复平面内两点间距离（）考查，如“计算”，或先算减法再求模长。
2. 避错关键
负号分配完整：减去一个复数等于加上其相反数，即，避免漏改实部或虚部的符号（如）；
结果符号检查：计算后核对虚部符号，确保负号未遗漏（如若为负，虚部直接保留负号）。
三、复数的乘法运算（高考核心考点，多结合公式考查）
1. 核心考点与解题步骤
考点1：代数形式乘法（多项式乘法类比）
解题步骤：① 将复数视为多项式（为字母），按多项式乘法展开：；② 利用化简含的项：；③ 合并实部与虚部：实部为，虚部为，最终结果为。
适配场景：基础乘法计算（如“计算”），或结合共轭复数乘法（）考查。
考点2：特殊乘法公式（高频应用）
解题步骤：熟记高频特殊公式，直接代入计算以简化运算：① 平方公式：，尤其、；② 共轭乘法：（结果为实数，常用于分母实数化或求模长）；③ 立方公式（低频）：，可按多项式展开后化简。
适配场景：题目含平方、共轭乘法结构，如“计算”“计算”，用特殊公式可快速得出结果。
2. 避错关键
化简不遗漏：展开后必须将化为，不可保留（如）；
特殊公式记准确：避免混淆与，或共轭乘法符号错误（如）。
四、复数的除法运算（高考重难点，多为压轴基础题）
1. 核心考点与解题步骤
考点：代数形式除法（分母实数化）
解题步骤：① 确保被除数、除数均为标准形式，除数不为（即除数实部、虚部不同时为）；② 核心操作“分母实数化”：分子分母同乘除数的共轭复数（除数的共轭为），使分母变为实数：
③ 拆分结果：实部为，虚部为，整理为（）形式，若分子为，结果为（如）。
适配场景：题目直接考查除法（如“计算”），或结合其他运算（先乘后除、先加减后除）考查，是高考复数运算的高频压轴基础题。
考点：特殊除法结果（熟记简化计算）
解题步骤：熟记常见特殊除法结果，直接调用：① （分子分母同乘，得）；② （分母实数化后得）；③ （同理推导）。
适配场景：题目含上述特殊结构，如“计算”“计算”，用熟记结果可大幅节省时间。
2. 避错关键
共轭复数符号正确：除数为时，共轭复数为（仅虚部变号），不可将实部变号（如）；
分子展开完整：分子乘共轭复数时，按多项式乘法完整展开，避免漏项（如）；
分母计算准确：分母（平方和），不可误算为。
五、复数混合运算（高考综合考点，多为多步运算）
1. 核心考点与解题步骤
考点：加、减、乘、除混合运算
解题步骤：① 遵循“先乘除，后加减”的运算顺序，有括号先算括号内；② 每一步运算均按对应规则进行（乘除先化简，加减后合并）；③ 优先使用特殊公式（如共轭乘法、平方公式）简化中间步骤，避免复杂展开。
示例流程：计算：
第一步：先算分子乘法：；
第二步：算除法：；
第三步：算加法：。
适配场景：高考复数综合题，如“计算”，多为多步运算，考查运算准确性与技巧性。
2. 避错关键
运算顺序不颠倒：不可先算加减后算乘除，有括号需优先计算括号内内容；
分步验证：每一步运算后单独验证结果（如乘法后检查化简是否正确，除法后检查分母是否为实数），避免一步错导致后续全错；
结果形式规范：最终结果需化为最简形式，分数实部、虚部需化为最简分数（如），不可保留复杂分式。
六、通用解题流程（适用于所有复数运算题型）
1. 化简标准形式：无论单一运算还是混合运算，先将所有复数化为（）的标准形式，处理、分母含等非标准项；
2. 确定运算顺序：单一运算直接按规则计算，混合运算遵循“先乘除，后加减，有括号先算括号内”；
3. 优先使用技巧：乘除运算优先用共轭复数、特殊公式（如）简化，减少计算量；
4. 分步验证结果：每一步运算后检查符号、化简、实虚部分类是否正确，避免积累错误；
5. 规范结果形式：最终结果整理为形式，实部、虚部为实数（可含分数），虚部为时直接表示为实数。
一、单选题
1．（2025·全国·模拟预测）若复数（为虚数单位），则（ ）
A． B．1 C． D．2
2．（2025·全国·模拟预测）复数的模为（ ）
A．1 B． C． D．2
3．（24-25高二下·浙江舟山·期末）已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·河北·模拟预测）已知，则（ ）
A． B．1 C． D．
5．（2025·江西新余·模拟预测）已知复数（其中为虚数单位），则（ ）
A．8 B． C．2 D．
6．（2025·陕西咸阳·三模）已知复数，则|z|＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2025·湖南长沙·三模）复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（2025·海南·模拟预测）已知为虚数单位，若为纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．6
9．（2025·安徽芜湖·模拟预测）复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·全国·模拟预测）复数的实部为（ ）
A．1 B． C．0 D．i
11．（2025·广东东莞·模拟预测）已知复数满足，则复数在复平面对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、多选题
12．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若点的坐标为，则对应的点在第三象限
B．若，则点的集合所构成的图形的面积为
C．若，则的模为7
D．若是关于的方程的一个根，则
13．（2025·福建泉州·模拟预测）已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
14．（2025·江苏南通·模拟预测）设为复数，则（ ）
A． B．
C． D．
15．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知复数，则（ ）
A．若复数z为实数，则
B．若复数z为纯虚数，则
C．当时，
D．复数z在复平面内对应的点不可能在第二象限
三、填空题
16．（2023·北京·三模）设是纯虚数，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A A A D C D C C A
题号 11 12 13 14 15
答案 A ABD AD AD ACD
1．B
【分析】由复数的除法运算，再求复数的模即可.
【详解】由，
故选：B．
2．A
【分析】先对复数化简，然后再求复数的模
【详解】
所以
故选：A.
3．A
【分析】利用共轭复数的概念和复数的定义可得出结果.
【详解】因为，所以，故复数的虚部为.
故选：A.
4．A
【分析】由复数的代数运算可得，再由复数模的定义求解即可.
【详解】解：，
所以，
所以.
故选：A.
5．D
【分析】先求出复数，然后求出共轭复数，再通过求模公式计算即可.
【详解】由于，所以，则，故.
故选：.
6．C
【分析】由复数的乘法运算结合复数的模长公式求解即可.
【详解】，
则.
故选：C.
7．D
【分析】根据复数的除法运算法则，化简复数，再根据复数对应的点的坐标判断选项.
【详解】由条件可知，，
所以复数对应的点为，为第四象限的点.
故选：D
8．C
【分析】由复数乘法及纯虚数概念可得答案.
【详解】，因为，且为纯虚数，所以．
故选：C．
9．C
【分析】由复数的除法计算及虚部的概念可得结果.
【详解】因为，所以虚部为．
故选：C．
10．A
【分析】根据复数运算法则求，再求其实部即可.
【详解】因为，
所以的实部为1．
故选：A．
11．A
【分析】先利用复数除法和共轭复数的概念求出，再根据复数对应复平面内点的坐标判断象限即可.
【详解】由题意可得，
所以在复平面对应点，在第一象限，
故选：A
12．ABD
【分析】本题根据复数的模长，复数的几何意义以及根与系数的关系即可求解.
【详解】A选项，因为点的坐标为在第二象限，则对应的点为，所以在第三象限，故A选项正确；
B选项，，则依据复数模长的几何意义可知，表示一个圆环，面积为，故B选项正确；
C选项，，则，故C选项错误；
D选项，是关于的方程的一个根，则其共轭复数也是方程的根，则常数项，故D选项正确；
故选：ABD
13．AD
【分析】根据复数四则运算公式求复数，再代入乘方运算公式，即可判断选项.
【详解】因为，则，故A正确；
，，，则，由，
所以，则，
，故B错误；
，，所以，故C错误，D正确.
故选：AD
14．AD
【分析】设，，根据复数的乘法及复数模的定义计算判断A，取特殊值判断B，根据复数的加减法运算及模与共轭的概念运算判断C，根据复数的模及共轭运算判断D.
【详解】设，.
对于A选项，，
所以，
，A对；
对于B选项，取，，则，
，则，即，B错；
对于C选项，，，
，，
，所以C错误；
对于D选项，，
，，
所以，故D正确.
故选：AD
15．ACD
【分析】对于AB，由复数的概念验算即可；对于C，由复数模的计算公式求解即可；对于D，由复数的几何意义即可求解.
【详解】对于A，依题意可得，即，则，故A正确；
对于B，依题意可得，故B错误；
对于C，依题意可得，所以，故C正确；
对于D，若复数z在平面内对应的点在第二象限，则，所以D正确，
故选：ACD．
16．
【分析】根据复数运算，结合复数与复平面内点的对应关系进行求解即可.
【详解】由于是纯虚数，则设，
由
由于复数在复平面内对应的点位于实轴上，
所以，解得：，即：.
故答案为：【第29讲：复数】
【新高考课标要求】
1. 理解复数基本概念：需透彻认识复数的定义，明晰形如（）的数即为复数，其中是实部、是虚部，且为虚数单位，满足。这要求学生能精准辨别复数的实部与虚部，理解纯虚数（且）、实数（）等特殊复数类型的概念差异。比如面对复数，能迅速指出实部是，虚部是；看到，知道它是纯虚数，实部为 。
2. 掌握复数相等条件：要深刻理解复数相等的充要条件，即当且仅当且（）。在解题中，若遇到等式，学生应能依据该条件列出方程组求解。这一知识点常与方程、函数等知识结合，考查学生的综合运用能力。
3. 明晰复数代数表示与几何意义：一方面，要熟悉复数的代数表示法，能够熟练进行复数的代数形式书写与转换；另一方面，要理解复数的几何意义，知晓复数与复平面内的点以及平面向量存在一一对应关系。例如，复数在复平面内对应的点为，对应的向量从原点出发，终点坐标为 。这有助于学生从几何直观角度理解复数运算，如复数的加法对应向量的加法，在复平面上体现为向量的平移。
4. 熟练进行复数代数形式四则运算：涵盖复数的加、减、乘、除运算。加法和减法运算遵循实部与实部相加减、虚部与虚部相加减的规则，即 。乘法运算类比多项式乘法，但要注意的运用，如 。除法运算则需将分母实数化，通过乘以分母的共轭复数来实现，如（） 。学生需通过大量练习，提升运算的准确性与速度。
5. 了解复数加、减运算几何意义：复数加法的几何意义是，两个复数相加对应复平面内相应向量的加法，其和对应的向量是以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线（从共同起点出发）；复数减法的几何意义是，两个复数相减对应复平面内相应向量的减法，差对应的向量是从减数向量的终点指向被减数向量的终点。例如，已知复数，，在复平面内，对应的向量可由与通过平行四边形法则得到，对应的向量则是从指向 。
【知识梳理】
一、复数核心知识梳理（紧扣高考高频考点）
1. 复数的基本概念（高考基础送分点）
定义：形如（）的数称为复数，其中为虚数单位，满足。
实部：（必须为实数，不可含）；
虚部：（同样为实数，是虚数单位的系数，不含）。
分类：
实数：（如，可表示为）；
纯虚数：且（如，不可忽略的条件）；
非纯虚数的虚数：且（如）。
2. 复数的相等与共轭（高考常考方程求解）
相等条件：对任意复数，（），且。
核心应用：通过实部、虚部分离列方程组，求解复数中的参数（如已知，得，解得，）。
共轭复数：设，则其共轭复数为（实部不变，虚部变号）。
几何特征：复平面内，与对应的点关于实轴对称；
运算性质：（实数），（纯虚数或零），（高考高频，常用于分母实数化或求模长）。
3. 复数的几何意义（高考多选题常考）
一一对应关系：
复数 复平面内的点（横轴为实轴，纵轴为虚轴，原点对应复数）；
复数 平面向量（为原点）。
模长的几何意义：
复数的模，表示复平面内点到原点的距离，或向量的长度；
两点距离：复平面内两点，对应的复数分别为，，则（高考常结合圆、线段等几何图形考查）。
4. 复数的四则运算（高考必考运算题）
加法：（实部相加，虚部相加）；
减法：（实部相减，虚部相减）；
乘法：类比多项式乘法，结合化简：
特殊公式：（共轭复数乘积，即模长平方），（高考高频，需熟记）；
除法：核心是分母实数化，乘以分母的共轭复数：
5. 复数加减运算的几何意义（高考偶尔结合向量考查）
加法：复平面内，对应的向量为，遵循平行四边形法则（以，为邻边，对角线即为和向量）；
减法：复平面内，对应的向量为（从对应点指向对应点的向量）。
二、常用结论（高考真题高频调用）
1. 虚数单位的幂次循环：，，，，周期为，即（，）。
示例：，（高考常考指数化简）。
2. 常见复数运算结果：
（分子分母同乘，得）；
（分母实数化：）；
（同理推导，与上式互为相反数）。
3. 模长的运算性质：对任意复数，，有：
；
（）；
（）。
4. 共轭复数的运算性质：，，（）。
三、微点提醒（高考易错点规避）
1. 虚部的概念误区：复数的虚部是（实数），而非。例如，的虚部是，不是（高考选择题常设置此陷阱）。
2. 纯虚数的条件遗漏：判断纯虚数时，需同时满足“实部为”且“虚部不为”。例如，为纯虚数，需，解得，不可仅由得（模拟题高频易错点）。
3. 复平面与直角坐标系的区别：复平面的纵轴是虚轴，单位为，对应复数的虚部；直角坐标系的纵轴是轴，单位为，二者不可混淆。例如，复数对应复平面内的点，而非直角坐标系中的向量。
4. 除法运算的分母不为零：进行复数除法时，需先判断分母是否为零（即分母的实部、虚部不同时为零）。例如，无意义，因分母对应的复数不能作为除数。
5. 模长的非负性：复数的模长是实数且非负，计算时需注意根号下的表达式为平方和（恒正），例如，不可遗漏负号的平方。
【课前自测】【真题体验】
一、单选题
1．（2023·全国甲卷·高考真题）（ ）
A． B．1 C． D．
2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国乙卷·高考真题）（ ）
A．1 B．2 C． D．5
4．（2007·陕西·高考真题）在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．（2024·全国甲卷·高考真题）若，则（ ）
A． B． C．10 D．
6．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足，则（ ）
A． B． C．4 D．8
二、填空题
7．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ．
8．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数 ．
9．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是 ．
10．（2024·上海·高考真题）已知虚数，其实部为1，且，则实数为 ．
【考点一：复数的相关概念】
【例题】1．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·云南玉溪·模拟预测）若复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【针对训练】3．（2025·全国·模拟预测）若复数满足（其中i是虚数单位），复数的共轭复数为，则（ ）
A．的实部是
B．
C．在复平面内对应的点在第一象限
D．与在复平面内它们所对应的点关于轴对称
4．（2025·海南·模拟预测）下列有关复数的说法中（其中i为虚数单位），正确的是（ ）
A．
B．复数的共轭复数的虚部为4
C．若复数z满足，则的最大值为2
D．若是关于x的方程的一个根，则
5．（2025·河北·模拟预测）复数满足：，则（ ）
A． B．6 C． D．
【解题策略】
一、复数基本概念（实部、虚部、分类）解题思路
1. 核心考点与解题步骤
考点1：识别实部与虚部
解题步骤：① 明确复数标准形式（），若复数非标准形式（如含、分母含），先化简为；② 直接提取实部（不含的实数部分）、虚部（的系数，且为实数）。
适配场景：题目直接要求求复数的实部/虚部，或结合实部、虚部求参数（如“已知的实部为，求”）。
考点2：复数分类（实数、纯虚数、虚数）
解题步骤：① 先将复数化为标准形式（）；② 按分类条件判断：
实数：满足；
纯虚数：满足且（需同时满足两个条件，缺一不可）；
虚数：满足（包含纯虚数与非纯虚数的虚数）。
适配场景：题目明确要求判断复数类型，或已知复数类型求参数（如“已知为纯虚数，求”）。
2. 避错关键
虚部不可带：如的虚部是，而非；
纯虚数需“双条件”：不可仅由“实部为”判定为纯虚数，需额外验证“虚部不为”，避免漏解或错解参数。
二、复数相等与共轭复数解题思路
1. 核心考点与解题步骤
考点1：复数相等
解题步骤：① 确保两个复数均化为标准形式、（）；② 根据“实部相等且虚部相等”列方程组；③ 解方程组求参数或验证相等关系。
适配场景：题目给出复数相等的等式，求其中的参数（如“，求”），或证明两个复数相等。
考点2：共轭复数
解题步骤：① 若复数为标准形式，直接得共轭复数（实部不变，虚部变号）；② 若复数非标准形式，先化简为，再求共轭；③ 利用共轭复数性质解题：（实数）、（纯虚数或零）、（模长平方）。
适配场景：题目要求求共轭复数，或结合共轭复数性质求模长、数量关系（如“已知，求”）。
2. 避错关键
复数相等的“前提条件”：必须保证两个复数的实部、虚部均为实数，否则不可直接用“实部、虚部分别相等”；
共轭复数的“符号变化”：仅虚部变号，实部不变，避免将误写为或。
三、复数几何意义（点、向量、模长）解题思路
1. 核心考点与解题步骤
考点1：复数与点、向量的对应关系
解题步骤：① 明确对应规则：复数对应复平面内点，对应向量（为原点）；② 若已知复数，直接写出对应点坐标或向量坐标；③ 若已知点或向量，反向写出对应复数（点对应，向量对应）。
适配场景：题目要求指出复数对应复平面内的点或向量，或由点/向量求复数（如“求复平面内点对应的复数”）。
考点2：复数模长的计算与几何意义
解题步骤：① 若复数为标准形式，直接用公式计算；② 若复数为非标准形式（如），先化简为，或利用模长性质（，、）；③ 结合几何意义：表示点到原点的距离，表示点到的距离，辅助分析几何图形（如圆、线段）。
适配场景：题目要求求复数模长，或结合模长的几何意义求最值、判断轨迹（如“求表示的图形”）。
2. 避错关键
复平面与直角坐标系的“区别”：复平面纵轴为虚轴，对应复数虚部，不可将点误理解为直角坐标系中“，”；
模长的“非负性”：是实数且非负，计算时需注意根号下为平方和（恒正），避免遗漏负号的平方（如）。
四、通用解题流程（适用于所有复数概念题）
1. 化简优先：无论何种题型，先将复数化为标准形式（），避免非标准形式导致的概念混淆；
2. 定位考点：根据题目要求，判断考查“基本概念”“复数相等/共轭”还是“几何意义”，匹配对应解题步骤；
3. 列关系/用性质：结合考点列方程（如复数相等列方程组）、用公式（如模长公式、共轭性质），确保每一步紧扣概念本质；
4. 验证检查：解题后验证结果是否符合概念要求（如纯虚数需验证虚部不为，模长需验证非负），规避常见易错点。
【考点二：复数的几何意义】
【例题】1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面上不可能位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2025·四川巴中·二模）已知复数的共轭复数记为，对于任意的三个复数与下列结论错误的是（ ）
A．复数的共轭复数
B．若，则复平面内对应的点位于第四象限
C．已知复数z满足，则的最小值为2
D．若，且，则
【针对训练】1．（2025·山东·三模）已知i是虚数单位，若复数z满足，则z在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2025·广东佛山·三模）复平面上两点对应的复数分别是，向量对应的复数为，则（ ）
A．17 B． C．13 D．
3．（2025·广东·模拟预测）若复数z满足，那么的最大值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【解题策略】
一、复数与复平面内点、向量的对应关系（高考基础高频考点）
1. 核心考点与解题步骤
考点1：由复数确定点/向量
解题步骤：① 确保复数化为标准形式（），若为非标准形式（如含、分母含），先化简（如）；② 依据对应规则：复数对应复平面内的点（横轴为实轴，纵轴为虚轴），对应从原点出发的向量；③ 直接写出点的坐标或向量的坐标，无需额外运算。
适配场景：题目要求指出复数在复平面内对应的点的位置（如象限、坐标轴），或写出对应向量（如“求复数对应复平面内的点及向量”）。
考点2：由点/向量确定复数
解题步骤：① 明确已知条件类型：若已知复平面内点，直接对应复数；若已知向量（为原点），同样对应复数；② 若向量起点非原点（如，、），先计算向量坐标，再对应复数。
适配场景：题目给出复平面内点的坐标或向量坐标，求对应复数（如“复平面内点对应什么复数”“向量对应什么复数”）。
2. 避错关键
区分“复平面与直角坐标系”：复平面纵轴是虚轴，仅对应复数的虚部，不可将点误写为“”，也不可将向量坐标中的带；
非原点向量的转化：若向量起点不是原点，需先计算向量的坐标（终点坐标减起点坐标），再对应复数，避免直接用起点或终点坐标对应复数。
二、复数模长的几何意义（高考重难点考点）
1. 核心考点与解题步骤
考点1：模长的基本计算（点到原点的距离）
解题步骤：① 若复数为标准形式，直接代入模长公式计算（根号下为实部、虚部的平方和，恒非负）；② 若复数为非标准形式（如），先化简为（如），再代入公式；③ 若复数与共轭相关（如），可利用性质简化计算（如，，则）。
适配场景：题目直接要求求复数的模长（如“求”），或结合复数运算求模长（如“求”）。
考点2：模长的几何应用（两点间距离与轨迹问题）
解题步骤：① 两点间距离：若复数、对应复平面内点、，则，即两点间的距离；② 轨迹判断：根据模长表达式的结构确定轨迹：
（，为定复数）：表示以对应点为圆心、为半径的圆；
（为定复数）：表示线段的垂直平分线；
（）：表示以为焦点的椭圆。
适配场景：题目要求求复平面内两点间的距离（如“求与对应点的距离”），或判断模长表达式表示的几何图形（如“判断表示的图形”）。
考点3：模长的最值问题
解题步骤：① 几何法（优先用）：将复数模长转化为复平面内的距离，结合图形求最值（如求的最小值，即求点到点的最小距离，若在某定图形上，如线段、圆，则结合图形性质找最近点）；② 代数法：设（），将模长表达式化为关于的函数（如），结合约束条件（如）求函数最值。
适配场景：题目要求求模长的最值（如“已知满足，求的最大值”），常结合圆、线段、椭圆等图形考查。
2. 避错关键
模长公式的“平方和”：不可将误写为或，计算时需注意实部、虚部的正负（平方后均为正）；
轨迹条件的“限制”：判断椭圆轨迹时，需满足“”，若，则表示线段，不可直接判定为椭圆；
最值求解的“几何优先”：代数法计算较繁琐，且易因计算错误出错，优先用几何法转化为距离问题，结合图形直观求解。
三、复数加减运算的几何意义（高考低频但易漏考点）
1. 核心考点与解题步骤
考点1：加法的几何意义（平行四边形法则）
解题步骤：① 确定两个复数、对应向量、；② 以、为邻边作平行四边形，从原点出发的对角线对应的向量即为，对应复数；③ 若需验证，可通过向量加法坐标运算或复数加法运算核对。
适配场景：题目要求结合平行四边形法则求两复数的和（如“已知、，用几何方法求”）。
考点2：减法的几何意义（三角形法则）
解题步骤：① 确定复数、对应向量、；② 复数减法对应向量减法，即从对应点指向对应点的向量，对应复数；③ 可通过两点间距离公式验证。
适配场景：题目要求结合向量减法求复数差（如“已知、，用几何方法求”），或解释复数差的几何意义。
2. 避错关键
加法的“平行四边形起点”：两向量需从同一原点出发，才能构成平行四边形的邻边，不可用非共起点的向量直接叠加；
减法的“向量方向”：对应向量是“从指向”，而非“从指向”，避免方向混淆导致复数符号错误。
四、通用解题流程（适用于复数几何意义题型）
1. 化简先行：无论何种题型，先将涉及的复数化为标准形式（），为后续对应点、向量或计算模长奠定基础；
2. 几何转化：将复数问题转化为几何问题——复数对应点/向量，模长对应距离，模长表达式对应轨迹，明确几何模型（如点、线段、圆、椭圆）；
3. 选法求解：基础计算用公式（如模长公式），轨迹与最值问题优先用几何法（结合图形性质），复杂约束条件下用代数法（设坐标转化为函数）；
4. 验证回归：解题后将几何结果回归到复数问题（如轨迹图形对应模长表达式，距离最值对应模长最值），验证是否符合题目要求，规避几何与复数的转化错误。
【考点三：复数的运算】
【例题】1．（2025·全国·模拟预测）已知复数，为的共轭复数，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·江苏泰州·模拟预测）若，其中i是虚数单位，则复数z的共轭复数的模为（ ）
A． B．2 C． D．4
【针对训练】1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知复数，则复数的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知，，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·山东泰安·模拟预测）若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【解题策略】
一、复数的加法运算（高考基础送分点）
1. 核心考点与解题步骤
考点：代数形式加法
解题步骤：① 确保两个复数均为标准形式、（），若含非标准项（如），先化简（如）；② 按“实部相加，虚部相加”规则计算：；③ 结果保留形式，若虚部为，可直接表示为实数（如）。
适配场景：题目直接考查复数加法，或结合向量加法（复平面几何意义）考查，多为基础计算题（如“计算”）。
2. 避错关键
避免“实虚部混淆”：不可将实部与虚部交叉相加（如）；
化简非标准项：计算前需先处理、分母含等非标准形式，确保复数为后再运算，避免直接相加导致错误。
二、复数的减法运算（高考基础高频考点）
1. 核心考点与解题步骤
考点：代数形式减法
解题步骤：① 同加法，先将复数化为标准形式、；② 按“实部相减，虚部相减”规则计算：；③ 注意负号分配，若虚部为负，相减后变为正（如）。
适配场景：题目直接考查复数减法，或结合复平面内两点间距离（）考查，如“计算”，或先算减法再求模长。
2. 避错关键
负号分配完整：减去一个复数等于加上其相反数，即，避免漏改实部或虚部的符号（如）；
结果符号检查：计算后核对虚部符号，确保负号未遗漏（如若为负，虚部直接保留负号）。
三、复数的乘法运算（高考核心考点，多结合公式考查）
1. 核心考点与解题步骤
考点1：代数形式乘法（多项式乘法类比）
解题步骤：① 将复数视为多项式（为字母），按多项式乘法展开：；② 利用化简含的项：；③ 合并实部与虚部：实部为，虚部为，最终结果为。
适配场景：基础乘法计算（如“计算”），或结合共轭复数乘法（）考查。
考点2：特殊乘法公式（高频应用）
解题步骤：熟记高频特殊公式，直接代入计算以简化运算：① 平方公式：，尤其、；② 共轭乘法：（结果为实数，常用于分母实数化或求模长）；③ 立方公式（低频）：，可按多项式展开后化简。
适配场景：题目含平方、共轭乘法结构，如“计算”“计算”，用特殊公式可快速得出结果。
2. 避错关键
化简不遗漏：展开后必须将化为，不可保留（如）；
特殊公式记准确：避免混淆与，或共轭乘法符号错误（如）。
四、复数的除法运算（高考重难点，多为压轴基础题）
1. 核心考点与解题步骤
考点：代数形式除法（分母实数化）
解题步骤：① 确保被除数、除数均为标准形式，除数不为（即除数实部、虚部不同时为）；② 核心操作“分母实数化”：分子分母同乘除数的共轭复数（除数的共轭为），使分母变为实数：
③ 拆分结果：实部为，虚部为，整理为（）形式，若分子为，结果为（如）。
适配场景：题目直接考查除法（如“计算”），或结合其他运算（先乘后除、先加减后除）考查，是高考复数运算的高频压轴基础题。
考点：特殊除法结果（熟记简化计算）
解题步骤：熟记常见特殊除法结果，直接调用：① （分子分母同乘，得）；② （分母实数化后得）；③ （同理推导）。
适配场景：题目含上述特殊结构，如“计算”“计算”，用熟记结果可大幅节省时间。
2. 避错关键
共轭复数符号正确：除数为时，共轭复数为（仅虚部变号），不可将实部变号（如）；
分子展开完整：分子乘共轭复数时，按多项式乘法完整展开，避免漏项（如）；
分母计算准确：分母（平方和），不可误算为。
五、复数混合运算（高考综合考点，多为多步运算）
1. 核心考点与解题步骤
考点：加、减、乘、除混合运算
解题步骤：① 遵循“先乘除，后加减”的运算顺序，有括号先算括号内；② 每一步运算均按对应规则进行（乘除先化简，加减后合并）；③ 优先使用特殊公式（如共轭乘法、平方公式）简化中间步骤，避免复杂展开。
示例流程：计算：
第一步：先算分子乘法：；
第二步：算除法：；
第三步：算加法：。
适配场景：高考复数综合题，如“计算”，多为多步运算，考查运算准确性与技巧性。
2. 避错关键
运算顺序不颠倒：不可先算加减后算乘除，有括号需优先计算括号内内容；
分步验证：每一步运算后单独验证结果（如乘法后检查化简是否正确，除法后检查分母是否为实数），避免一步错导致后续全错；
结果形式规范：最终结果需化为最简形式，分数实部、虚部需化为最简分数（如），不可保留复杂分式。
六、通用解题流程（适用于所有复数运算题型）
1. 化简标准形式：无论单一运算还是混合运算，先将所有复数化为（）的标准形式，处理、分母含等非标准项；
2. 确定运算顺序：单一运算直接按规则计算，混合运算遵循“先乘除，后加减，有括号先算括号内”；
3. 优先使用技巧：乘除运算优先用共轭复数、特殊公式（如）简化，减少计算量；
4. 分步验证结果：每一步运算后检查符号、化简、实虚部分类是否正确，避免积累错误；
5. 规范结果形式：最终结果整理为形式，实部、虚部为实数（可含分数），虚部为时直接表示为实数。
一、单选题
1．（2025·全国·模拟预测）若复数（为虚数单位），则（ ）
A． B．1 C． D．2
2．（2025·全国·模拟预测）复数的模为（ ）
A．1 B． C． D．2
3．（24-25高二下·浙江舟山·期末）已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·河北·模拟预测）已知，则（ ）
A． B．1 C． D．
5．（2025·江西新余·模拟预测）已知复数（其中为虚数单位），则（ ）
A．8 B． C．2 D．
6．（2025·陕西咸阳·三模）已知复数，则|z|＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2025·湖南长沙·三模）复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（2025·海南·模拟预测）已知为虚数单位，若为纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．6
9．（2025·安徽芜湖·模拟预测）复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·全国·模拟预测）复数的实部为（ ）
A．1 B． C．0 D．i
11．（2025·广东东莞·模拟预测）已知复数满足，则复数在复平面对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、多选题
12．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若点的坐标为，则对应的点在第三象限
B．若，则点的集合所构成的图形的面积为
C．若，则的模为7
D．若是关于的方程的一个根，则
13．（2025·福建泉州·模拟预测）已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
14．（2025·江苏南通·模拟预测）设为复数，则（ ）
A． B．
C． D．
15．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知复数，则（ ）
A．若复数z为实数，则
B．若复数z为纯虚数，则
C．当时，
D．复数z在复平面内对应的点不可能在第二象限
三、填空题
16．（2023·北京·三模）设是纯虚数，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则
