第五章 三角函数 综合训练（含答案）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

三角函数
综合训练
考点1　三角函数的概念与三角恒等变换
1.已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)=(　　)
A.-3m　　B.-　　C.　　D.3m
2.已知=,则tan=(　　)
A.2+1　　B.2-1　　C.　　D.1-
3.设甲:sin2α+sin2β=1,乙:sin α+cos β=0,则(　　)
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
4.已知α为锐角,cos α=,则sin =(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
5.已知sin(α-β)=,cos αsin β=,则cos(2α+2β)=(　　)
A.　　B.　　C.-　　D.-
6.若sin(α+β)+cos(α+β)=2cossin β,则(　　)
A.tan(α-β)=1　　B.tan(α+β)=1
C.tan(α-β)=-1　　D.tan(α+β)=-1
7.已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+tan β=4,tan αtan β=+1,则sin(α+β)=　　　　.
8.若θ∈,tan θ=,则sin θ-cos θ=　　　　.
考点2　三角函数的图象及其变换
9.函数y=-x2+(ex-e-x)sin x在区间[-2.8,2.8]的图象大致为(　　)
　　
　　
10.当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为(　　)
A.3　　B.4　　C.6　　D.8
11.函数y=f(x)的图象由函数y=cos的图象向左平移个单位长度得到,则y=f(x)的图象与直线y=x-的交点个数为(　　)
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
12.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间单调递增,直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,则f=(　　)
A.-　　B.-　　C.　　D.
13.已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=,则f(π)=　　　　.
考点3　三角函数的性质及其应用
14.设函数f(x)=sin ωx(ω>0).已知f(x1)=-1, f(x2)=1,且|x1-x2|的最小值为,则ω=(　　)
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
15.已知函数f(x)=3sinωx+(ω>0)的最小正周期为π.则f(x)在区间上的最小值是(　　)
A.-　　B.-　　C.0　　D.
16.(多选题)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin,下列说法中正确的有(　　)
A. f(x)与g(x)有相同的零点
B. f(x)与g(x)有相同的最大值
C. f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D. f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
17.函数f(x)=sin x-cos x在[0,π]上的最大值是　　　　.
18.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于原点对称.若α∈,则cos β的最大值为　　　　.
19.若f(x)=(x-1)2+ax+sin为偶函数,则a=　　　　.
20.已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是　　　　.
①心中有“数”:转化为对应图象的交点或方程的解;对点突破:P387定点1
21.f(x)=+,x∈的值域为(　　)
A.[1,2]　　B.[1,]　　
C.[1,]　　D.以上全错
22.sin36°-sin3114°+sin3126°=　　　　.
23.函数y=的最大值与最小值之积为　　　　.
24.设函数f(x)=sin x·sin 3x,若关于x的方程f(x)=a在(0,π]上有奇数个不同的实数解,则实数a的值为　　　　.
25.已知函数f(x)=cos4x+sin4x+asin 4x-b,且f为奇函数.若方程f(x)+m=0在[0,π]上有四个不同的实数解x1,x2,x3,x4,则f=　　　　.
26.已知函数g(x)=sin2x-cos x+a,x∈有两个零点.
(1)求实数a的取值范围;
(2)设x1,x2是g(x)的两个零点,证明:x1+x2<.
27.已知f(x)=sin·cos x+sin-.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)若af-f≥2对任意的x∈恒成立,求a的取值范围;
(3)已知函数g(x)=f,记方程g(x)=在区间[0,21]上的根从小到大依次为x1,x2,…,xn,求x3+2x4+…+2xn-1+xn的值.
28.定义域为R的函数h(x)满足:对任意x∈R,都有h(x+2π)=h(x)+h(2π),则称h(x)具有性质P.
(1)分别判断以下两个函数是否具有性质P:q(x)=2x+1和n(x)=1-cos x;
(2)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)<ω<,|φ|<具有性质P.
①求出ω,φ的值;
②将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,若对任意的a,b∈[2m,m+π],当a>b时, f(a)-f(b)答案
1.A　
由cos(α+β)=m,得cos αcos β-sin αsin β=m,
由tan αtan β=2,得sin αsin β=2cos αcos β,
故cos αcos β-2cos αcos β=m,即cos αcos β=-m,
从而sin αsin β=-2m,
故cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-3m.
2.B　∵=,∴=,∴tan α=1-,∴tan==2-1.
3.B　∵∴sin2α=cos2β,∴|sin α|=|cos β|,推不出sin α+cos β=0,∴充分性不成立;
∵sin α+cos β=0,∴sin α=-cos β,∴sin2α+sin2β=(-cos β)2+sin2β=1,∴必要性成立.
∴甲是乙的必要条件但不是充分条件.
4.D　∵α为锐角,∴为锐角,∴sin>0.
∵cos α=1-2sin2,∴2sin2=1-cos α=,
∴sin2===,
∴sin=.
5.B　因为sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=,
cos αsin β=,所以sin αcos β=+=,
所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=+=,
所以cos(2α+2β)=cos[2(α+β)]=1-2sin2(α+β)=1-2×=.
6.C　∵sin(α+β)+cos(α+β)=sin
=sin=sincos β+·cossin β=2cossin β,
∴sincos β-cossin β=0,
∴sincos β-cossin β=0,
即sin=0,
于是sin=sin(α-β)+cos(α-β)=0,
从而sin(α-β)=-cos(α-β),因此tan(α-β)=-1.
7.答案　-
解析　由题意得tan(α+β)===-2,
由已知得α∈,β∈,k,m∈Z,
所以α+β∈((2m+2k)π+π,(2m+2k)π+2π),k,m∈Z,
又因为tan(α+β)=-2<0,
所以α+β∈(2m+2k)π+,(2m+2k)π+2π,k,m∈Z,则sin(α+β)<0,
由=-2,及sin2(α+β)+cos2(α+β)=1,解得sin(α+β)=-.
8.答案　-
解析　解法一:因为tan θ==,所以cos θ=3sin θ,代入sin2θ+cos2θ=1得sin2θ=,因为θ∈,所以sin θ=,则cos θ=,所以sin θ-cos θ=-.
解法二:(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=1-=1-=,因为tan θ=<1,0<θ<,所以0<θ<,所以sin θ9.B　令f(x)=y=-x2+(ex-e-x)sin x,x∈[-2.8,2.8].
∵f(x)的定义域为[-2.8,2.8],关于原点对称,且f(-x)=-x2+(e-x-ex)sin(-x)=-x2+(ex-e-x)sin x=f(x),
∴函数f(x)为偶函数,可排除A、C.
f(1)=-1+sin 1>-1+sin =-1->->0,故可排除D.
10.C　易知函数y=sin x的最小正周期为2π,函数y=2sin的最小正周期为,所以在x∈[0,2π]上,函数y=2sin有三个周期的图象,
画出两函数图象,如图所示,由图可知,两函数图象有6个交点.
11.C　由题知, f(x)=cos=cos2x+=-sin 2x,
在同一平面直角坐标系中作出f(x)=-sin 2x的图象与直线y=x-,如图所示,
由图知y=f(x)的图象与直线y=x-共有3个交点.
12.D　由题意画出f(x)的大致图象(如图).
由图可知点和点为f(x)图象的相邻最低点和最高点,
设f(x)的最小正周期为T,由题意知=-=,又T=,所以|ω|=2,不妨令ω=2,则f(x)=sin(2x+φ),
将代入,得sin=-1,
所以+φ=-+2kπ,k∈Z,所以φ=-+2kπ,k∈Z,
所以f(x)=sin=sin,k∈Z,
故f=sin=sin=sin=.
13.答案　-
解析　第一步先求ω,通常考虑|ω|=,但结合题图不能得出T,思维受阻,由直线y=与曲线y=f(x)交于点A,B,可考虑特殊角的三角函数值,设点A,B,则|AB|=x2-x1=,
由题图可知(k1∈Z),则ω(x2-x1)=,故ω=4.
第二步求φ,通常考虑用“五点作图法”,由题图知函数图象过点,且在单调递增区间内,所以4×+φ=2kπ(k∈Z),即φ=2kπ-(k∈Z),
故f(x)=sin,将x=π代入即得f(π)=-.
14.B　由题意可知f(x1)为f(x)的最小值, f(x2)为f(x)的最大值,则==,即T=π,又ω>0,所以ω==2.
15.D　因为函数f(x)的最小正周期为π,所以T==π,所以ω=2,即f(x)=3sin,
当x∈时,2x+∈,
所以当2x+=,
即x=-时, f(x)min=3sin =.
16.BC　令f(x)=sin 2x=0,
解得x=,k∈Z,即为f(x)的零点,
令g(x)=sin=0,
解得x=+,k∈Z,即为g(x)的零点,
显然f(x)与g(x)的零点不同,故A错误;
f(x)max=g(x)max=1,故B正确;
f(x),g(x)的最小正周期均为=π,故C正确;
令2x=kπ+,k∈Z,得x=+,k∈Z,故f(x)的图象的对称轴方程为x=+,k∈Z,令2x-=kπ+,k∈Z,得x=+,k∈Z,
故g(x)的图象的对称轴方程为x=+,k∈Z,显然f(x)与g(x)的图象的对称轴不同,故D错误.
17.答案　2
解析　f(x)=sin x-cos x=2sin,当x∈[0,π]时,x-∈,
当x-=,即x=时, f(x)max=2.
18.答案　-
解析　由题意得β=α+π+2kπ,k∈Z,
从而cos β=cos(α+π+2kπ)=-cos α,k∈Z,
因为α∈,所以cos α∈,cos β∈,
所以cos β的最大值为-.
19.答案　2
解析　f(x)=x2+(a-2)x+cos x+1.由f(x)为偶函数得f(x)=f(-x),即x2+(a-2)x+cos x+1=x2-(a-2)x+cos x+1,所以2(a-2)x=0,所以a=2.
20.答案　[2,3)
解析　解法一:令t=ωx,因为0≤x≤2π,所以0≤ωx≤2ωπ,则cos t=1在[0,2ωπ]上有且仅有3个根,
结合余弦函数y=cos t的图象可得4π≤2ωπ<6π,故2≤ω<3.
解法二:依题意得cos ωx=1在区间[0,2π]上恰好有3个解,即x=,k∈Z,ω>0在区间[0,2π]上恰好有3个解,所以k=0,1,2,当k=2时,x=≤2π,解得ω≥2,当k=3时,x=>2π,解得ω<3.
综上所述,ω的取值范围是[2,3).
21.C　∵x∈,∴0≤sin x≤1,0≤cos x≤1,
设y=+,则y2=sin x+2+cos x.
设t=sin x+cos x=sin,∵x+∈,∴t∈[1,],且sin x·cos x=,
∴y2=t+2=t+,t∈[1,].
观察可知,当t∈[1,]时,y2随t的增大而增大,当t=1时,y2=1,当t=时,y2=2,∴1≤y2≤2,又y>0,∴1≤y≤=.
22.答案　
解析　∵sin 3θ=sin(θ+2θ)=sin θcos 2θ+cos θsin 2θ=sin θ(1-2sin2θ)+2sin θ(1-sin2θ)=3sin θ-4sin3θ,
∴sin3θ=sin θ-sin 3θ,
则sin36°-sin3114°+sin3126°=(sin 6°-sin 114°+sin 126°)-(sin 18°-sin 342°+sin 378°),
又sin 6°-sin 114°+sin 126°=sin 6°-sin(120°-6°)+sin(120°+6°)=sin 6°+2cos 120°sin 6°=sin 6°-sin 6°=0,
sin 18°-sin 342°+sin 378°=sin 18°-sin(360°-18°)+sin(360°+18°)=3sin 18°,
∴sin36°-sin3114°+sin3126°=-sin 18°.
∵cos 3θ=cos(θ+2θ)=cos θcos 2θ-sin θsin 2θ=cos θ·(2cos2θ-1)-2cos θ(1-cos2θ)=4cos3θ-3cos θ,sin 36°=cos 54°,
∴2sin 18°cos 18°=4cos318°-3cos 18°,即4sin218°+2sin 18°-1=0,
解得sin 18°=或sin 18°=(舍去).
∴sin36°-sin3114°+sin3126°=-×=.
23.答案　
解析　令t=sin x,则-1≤t≤1,当t=0时,y=1.当t≠0时,原函数变形为y=1+,当t>0时,t+≥2,当且仅当t=1时取等号,当t<0时,t+≤-2,当且仅当t=-1时取等号,
故0<≤或-≤<0,所以1综上,≤y≤,所以函数y=的最大值为,最小值为,它们的积为.
24.答案　0或-1
解析　∵f(π-x)=sin(π-x)sin[3(π-x)]=sin x·sin 3x=f(x),∴f(x)的图象关于直线x=对称.
∵关于x的方程f(x)=a在(0,π]上有奇数个不同的实数解,
∴y=f(x)与y=a的图象在(0,π]上有奇数个不同的交点,又f(0)=f(π)=0, f=-1, f(x)的图象关于直线x=对称,∴a=f=-1时,y=f(x)与y=a的图象在(0,π]上有奇数个不同的交点.
∵区间(0,π]是半开半闭区间,
∴a=f(π)=0时,y=f(x)与y=a的图象在(0,π]上有奇数个不同的交点.
综上,a的值为0或-1.
25.答案　±
解析　f(x)=++asin 4x-b=+cos22x+asin 4x-b=++asin 4x-b=asin 4x+cos 4x+-b,
∵f为奇函数,∴f(x)的图象关于点对称,∴
∴a=,b=,
∴f(x)=sin 4x+cos 4x=sin,
∵x∈[0,π],∴4x+∈,画出f(x)在[0,π]上的图象.
由已知得方程f(x)=-m在[0,π]上有四个不同的实数解x1,x2,x3,x4,
结合图可得f(0)<-m不妨设x1∴f=sin
=sin =-;
当-∴f=sin
=sin =.
综上, f=±.
26.解析　(1)g(x)=sin2x-cos x+a=-cos2x-cos x+a+1,x∈,
令t=cos x,-1依题意得f(t)=-t2-t+a+1的两个零点均在(-1,0)内,
因此解得-故实数a的取值范围为.
(2)证明:设f(t)的两个零点为t1,t2,
不妨令t1=cos x1,t2=cos x2,
因为t1,t2为t2+t=a+1的两个不同的实数解,
所以t1+t2=-1,所以cos x1+cos x2=-1,
等式两边同时平方得cos2x1+2cos x1cos x2+cos2x2=1,
因为x1,x2∈,所以cos x1<0,cos x2<0,
可得2cos x1cos x2>0,所以cos2x1+cos2x2<1,
则cos2x1又所以cos x1>cos,
易知y=cos x在上单调递减,
则x1<-x2,故x1+x2<.
27.解析　(1)f(x)=sincos x+sin-=cos x+sin-=sin 2x++sin-=sin+sin=sin.
令2x+∈,k∈Z,则x∈,k∈Z,
故f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)af-f≥2即asin x-cos x≥2对任意的x∈恒成立,
则a≥对任意的x∈恒成立(sin x>0,进行参变分离),
令y====+,
设u=tan ,因为x∈,所以u=tan ∈,
由对勾函数的性质知y=+在上单调递减,
又=tan =1,所以tan =-1,
则y=+的最大值为+=2+1,即y=的最大值为2+1,故a≥2+1.
(3)g(x)=f=sin2+=sin,
∵x∈[0,21],∴x-∈,
令t=x-,则t∈,易得sin =sin =sin =sin=<,
画出函数y=sin t在上的图象,如图所示,
由图可知,y=sin t的图象与直线y=共有6个交点,即n=6,设这6个交点的横坐标从小到大依次为t1,t2,t3,t4,t5,t6.
由图象的对称性得t3+2t4+2t5+t6=(t3+t4)+(t4+t5)+(t5+t6)=2×+2×+2×=21π,
∴x3+2x4+2x5+x6=(t3+2t4+2t5+t6)+6×=92.
28.解析　(1)q(x+2π)=2(x+2π)+1=2x+4π+1,q(x)+q(2π)=2x+1+4π+1=2x+4π+2,
所以q(x+2π)≠q(x)+q(2π),所以q(x)不具有性质P.
n(x+2π)=1-cos(x+2π)=1-cos x,n(x)+n(2π)=1-cos x+1-1=1-cos x,
所以n(x+2π)=n(x)+n(2π),所以n(x)具有性质P.
(2)①若f(x)具有性质P,则f(0+2π)=f(0)+f(2π),
则f(0)=sin φ=0,因为|φ|<,所以φ=0,则f(x)=sin ωx,
由f(x+2π)=f(x)+f(2π)得f(4π)=2f(2π),
即sin 4ωπ=2sin 2ωπ,即2sin 2ωπcos 2ωπ=2sin 2ωπ,
解得sin 2ωπ=0或cos 2ωπ=1.
由sin 2ωπ=0,解得ω=,k∈Z,因为<ω<,所以ω=2.
由cos 2ωπ=1,解得ω=k,k∈Z,因为<ω<,所以ω=2.
综上,ω=2.
验证:当ω=2,φ=0时, f(x)=sin 2x,
则对任意x∈R, f(x+2π)=sin[2(x+2π)]=sin 2x, f(x)+f(2π)=sin 2x+sin 4π=sin 2x,
所以f(x+2π)=f(x)+f(2π)恒成立,故当ω=2,φ=0时, f(x)具有性质P.
②由①得f(x)=sin 2x,所以g(x)=sin,由f(a)-f(b)设H(x)=f(x)-g(2x),x∈[2m,m+π],
则当a>b时,H(a)易得H(x)=sin 2x-sin=sin 2x-=sin 2x-cos 2x=sin,
由x∈[2m,m+π],得2x-∈,不妨设2x-=t,
则问题转化为y=sin t在区间(m>0)上单调递减,
所以解得≤m≤.
故m的取值范围是.