2.3 幂函数 教案

§2.3.1
幂函数
【教材分析】
幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数.学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历,幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成.
因此,学习过程中,引入幂函数的概念之后,尝试放手让学生自己进行合作探究学习.本节通过实例,让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型,通过研究y＝x,y＝x2,y＝x3,y＝x-1,y＝x等函数的性质和图象,让学生认识到幂指数大于零和小于零两种情形下,幂函数的共性：当幂指数a＞0时,幂函数的图象都经过点（0,0）和（1,1）,且在第一象限内函数单调递增；当幂指数a＜0时,幂函数的图象都经过点（1,1）,且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线.在方法上,我们应注意从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质,并注意与指数函数进行对比学习.
【教学目标】
1.通过生活实例引出幂函数的概念,会画幂函数的图象,通过观察图象,了解幂函数图象的变化情况和性质
2.了解几个常见的幂函数的性质,通过这几个幂函数的性质,总结幂函数的性质,通过画图比较,使学生进一步体会数形结合的思想
3.应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题,培养学生观察分析归纳能力,了解类比法在研究问题中的作用,培养学生运用具体问题具体分析的方法去分析和解决问题的能力.
【教学重难点】
教学重点:从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质.
教学难点:幂函数的性质.
【教学设计建议】
一、导入新课
1、前面我们已经学习过正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，这类函数有什么特点呢？
2、生活中也有这些问题：
(1).如果张红购买了每千克1元的水果w千克,那么她需要付的钱数p（元）和购买的水果量w（千克）之间有何关系？根据函数的定义可知,这里p是w的函数.
(2).如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数.
(3).如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V=a3,这里V是a的函数.
(4).如果正方形场地面积为S,那么正方形的边长a=S,这里a是S的函数.
(5).如果某人t
s内骑车行进了1
km,那么他骑车的速度v=t-1km/s,这里v是t的函数.
以上这些我们生活中经常遇到的几个数学模型,这些函数解析式有什么共同特点？
【设计意图：简单回顾已有知识的基础上，通过实例加深和引出新的函数模型，形成认知冲突.】
二、探索新知
（一）观察分析上述函数的解析式，给这类函数命名。
由于函数的指数是一个常数,底数是变量,类似于我们学过的幂的形式,因此我们称这种类型的函数为幂函数。
如果我们用字母a来表示函数的指数,就能得到一般的式子,即幂函数的定义:
一般地,形如y=xa（x∈R）的函数称为幂函数,其中x是自变量,a是常数.如y=x2,y=x,y=x3等都是幂函数,幂函数与指数函数、对数函数一样,都是基本初等函数.
（二）画出画出y=x,y=x,y=x2,y=x-1,y=x3五个函数图象
1、学生通过列表、描点、连线画函数图象:
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x
…
0
1
1.41
1.73
…
y=x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
y=x3
…
-27
-8
-1
0
1
8
27
…
y=x-1
…
-
-1
1
…
2、观察图象,分组讨论,探究幂函数的性质和图象的变化规律，完成表格
函数
性质
y=x
y=x2
y=x3
y=x
y=x-1
定义域
值域
奇偶性
单调性
特殊点
图象分布
（三）归纳新知
1、幂函数的定义及其注意
2、上诉五个函数的图像及性质
函数
性质
y=x
y=x2
y=x3
y=x
y=x-1
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇
奇
奇
非奇非偶
奇
单调性
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递减
特殊点
(1,1)
(1,1)
(1,1)
(1,1)
(1,1)
图象分布
第Ⅰ、Ⅲ象限
第Ⅰ、Ⅱ象限
第Ⅰ、Ⅲ象限
第Ⅰ象限
第Ⅰ、Ⅲ象限
三、反思提升
（一）幂函数的定义及说明
（二）幂函数的图像及特点
1、第一象限一定有幂函数的图象,第四象限一定没有幂函数的图象,而第二、三象限可能有,也可能没有图象,这时可以通过幂函数和定义域和奇偶性来判断.
2、幂函数y=xa的性质.
（1）所有的幂函数在（0,+∞）都有定义,并且图象都过点（1,1）；
（2）当a＞0时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞)上是增函数（从左往右看,函数图象逐渐上升）.
特别地,当a＞1时,x∈（0,1）,y=x2的图象都在y=x图象的下方,形状向下凸,a越大,下凸的程度越大.
当0＜a＜1时,x∈（0,1）,y=x2的图象都在y=x的图象上方,形状向上凸,a越小,上凸的程度越大.
（3）当a＜0时,幂函数的图象在区间（0,+∞）上是减函数.
在第一象限内,当x向原点靠近时,图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴,当x慢慢地变大时,图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴.
（三）数学方法与思想
类比法和数学结合的思想
四、反馈例练
（一）基础例练
例1判断下列函数哪些是幂函数.
①y=0.2x;②y=x-3;③y=x-2;④y=x.⑤y=2x2
活动：学生独立思考,讨论回答,教师巡视引导,及时评价学生的回答.根据幂函数的定义判别,形如y=xa（x∈R）的函数称为幂函数,严格按这个标准来判断.
解：①不是;②是;③是④是⑤不是
例2求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性.
（1）y=x,（2）y=x,（3）y=x-2.
活动：学生思考,小组讨论,教师引导,学生展示思维过程,教师评价.
解：（1）偶函数,它在(-∞,0］上是减函数,在［0,+∞)上是增函数.
（2）非奇非偶的函数,它在(0,+∞)上是减函数.
（3）偶函数,它在(-∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是减函数.
点评：在函数解析式中含有分数指数时,可以把它们的解析式化成根式,进行判定.
例3证明幂函数f(x)=在［0,+∞)上是增函数.
（二）巩固例练
例1函数y＝（x2-2x）的定义域是(
)
A.{x|x≠0或x≠2}
B.（-∞,0）∪（2,＋∞）
C.（-∞,0］∪［2,＋∞)
D.（0,2）
答案：B
例2
比较下列各组数的大小：
（1）1.10.1,1.20.1;（2）0.24-0.2,0.25-0.2;(3)0.20.3,0.30.3,0.30.2.
活动：学生先思考或回忆,然后讨论交流,教师适时提示点拨.比较数的大小,常借助于函数的单调性.对（1）（2）可直接利用幂函数的单调性.对(3)只利用幂函数的单调性是不够的,还要利用指数函数的单调性,事实上,这里0.30.3可作为中间量.
解：（1）1.10.1<1.20.1.（2）0.24-0.2>0.25-0.2.(3)0.20.3<0.30.3<0.30.2.
（三）拓展提升
分别在同一坐标系中作出下列函数的图象,通过图象说明它们之间的关系.
①y＝x-1,y＝x-2,y=x-3;②y＝x,y＝x;③y=x,y=x2,y=x3;④y=x,y＝x.
活动：学生思考或交流,探讨作图的方法,教师及时提示,必要时,利用几何画板演示.
解：利用描点法,在同一坐标系中画出上述四组函数的图象如图2-3-2、图2-3-3，图2-3-4、图2-3-5.
图2-3-2
图2-3-3
图2-3-4
图2-3-5
【设计意图：.】
五、课后作业
1、教科书P79
1、2、3
2、校本教辅资料相应练习
【教学设计感悟】
幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数,课本内容较少,但高考内容不少,应适当引申,所以设计了一些课本上没有的题目类型,以扩展同学们的视野,同时由于作图的内容较多,建议抓住关键点作图,要会熟练地运用计算机或计算器作图,强化对知识的理解.