湖南省常德市临澧县2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题（含答案）

临澧2026届高三 入学 考试试卷
数 学
时量：120分钟 总分：150分
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合，，则　　
A．， B． C． D．，
2．已知为虚数单位，若，则　　
A． B．2 C． D．
3．已知，，，则　　
A． B． C． D．
4．函数的部分图象大致为（ ）.
A． B． C． D．
5．函数是定义在R上的偶函数，且，若，，
则（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
6．已知函数，若，都有
成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．若函数在区间上是减函数，且，，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
8．若正实数是方程的根，则（ ）
A． B．1 C．2 D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．已知且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．的最小值为2 B．的最小值为
C．的最大值为1 D．的最小值为2
10．给出下列命题，其中正确的命题有（ ）
A．函数的零点所在区间为
B．若关于x的方程有解，则实数m的取值范围是；
C．函数与函数是相同的函数；
D．若函数满足，则
11．关于函数，下列判断正确的是（ ）
A．是的极大值点
B．函数有且只有1个零点
C．对不等式在上恒成立
D．对任意两个正实数，且，若，则
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12．若，则__________．
13．已知命题，命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是__________．
14．已知实数、满足，则________．
（在“”、“” 、“” 、“” 、“”中选一个填在横线处）
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．（本小题满分13分） 已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为．
（1）求；
（2）若，且的周长为5，设为边中点，求．
16．（本小题满分15分） 已知等差数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）设等比数列满足，，设，数列的前项和为，求的最大值．
17．（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，平面平面，，，且．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的正弦值．
18．（本小题满分17分） 己知双曲线（）的离心率为，
右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离为1，两动点A，B在双曲线C上，线段AB的中点为
（1）求双曲线C的方程；
（2）证明：直线AB的斜率k为定值；
（3）O为坐标原点，若的面积为求直线AB的方程．
19．（本小题满分17分） 已知函数
（1）若在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求a的值；
（2）若，证明：；
（3）若在上有且仅有一个极值点，求正实数a的取值范围．
临澧2026届高三 入学 考试试卷
数 学 (参考答案)
1．B 2．B 3．D 4．D 5．C 6．B 7．A 8．A
9． 10． 11．
12． 13．， 14．
15．（1）依题意，，所以，
由正弦定理可得，，
由余弦定理，，解得，
因为，所以； （6分）
（2）依题意，，因为，解得，
因为，
所以，
所以． （13分）
16．（1）设等差数列的公差为，则，
又，，得，；（4分）
（2）在等比数列中，，，则，
，． （8分）
，
则
． （11分）
，
当时，，单调递增，当时，，单调递增，
且，，
当时，，当时，，
当时，有最大值且最大值为． （15分）
17．（1）证明：由题意，则，
因为，，所以，，
因为平面平面，平面平面，
且，平面，所以平面，因为平面，
所以，且，，平面，
所以平面，又平面，所以平面平面；（7分）
（2）如图，以为原点，，所在直线分别为轴，轴，在平面内过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，2，，，，
所以，，，，
设平面的一个法向量，
则，令，得，
设平面的法向量，
则，令，得，
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面夹角的正弦值为． （15分）
18．（1）右焦点的坐标为，C的一条渐近线方程为（1分）
即所以（2分）
又，解得（3分）
所以双曲线C的方程为（4分）
（2）设，，则两式相减并整理得，
（6分）
因为线段AB的中点为，则（8分）
所以因为，所以，
所以直线AB的斜率k为定值2．（10分）
（3）设直线，联立消y得（10分）
因为，所以（11分）
，（12分）
（13分）
点O到直线AB的距离为（14分）
所以…（15分）
整理得，解得（舍去），（16分）
又因为，所以直线AB的方程为（17分）
19．（1） （1分），又，
所以曲线在点处的切线方程为（2分）
当时，，当时，
所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（3分）
解得或（4分）
（2）当时，
于是，（6分）
构造则
令可得令可得
所以在上单调递增，在上单调递减．（8分）
于是所以于是不等式获证．（9分）
（3） （10分）
令（11分）
当时，，所以在上单调递增，
（12分）
若则此时
所以在上单调递减，无极值. （13分）
若，，当时，
又在上单调递增，所以使得
且当时，当时，
所以当，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以为的唯一极值点（16分）
综上所述，正实数a的取值范围为（17分）