2026届高三数学入学考试
满分：150分，时间：120分钟
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知集合A={-2,0,2,4},B={x||x-3|≤m}.若A∩B=A,则m的取值范围是 ( )
A.(1,+∞) B.[1,+∞)
C.(5,+∞) D.[5,+∞)
2. 若复数z满足= -1-i,则z= ( )
A.-1-i B.-1+i
C.1-i D.1+i
3. 已知x>1,则的最小值为 ( )
A.6 B.8 C.10 D.12
4. 已知a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是 ( )
A.a>b>c B.b>a>c
C.a>c>b D.c>a>b
5. 在△ABC中,C=60°,a+2b=8,sin A=6sin B,则c= ( )
A. B.
C.6 D.5
6.已知a=(4,-2),b=(cos α,sin α),若a⊥b,则= ( )
A.- B.
C. D.-
7. 已知f (x)=|ex-1|-1,若函数g(x)=[f (x)]2-af (x)-1有三个零点,则a的取值范围为 ( )
A.(0,+∞) B.(-1,0)∪(0,+∞)
C.(-1,0)∪(0,1) D.(1,+∞)
8. 已知函数f (x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f (x-4)=7.若y=g(x)的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则f (k)= ( )
A.-21 B.-22 C.-23 D.-24
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 若不等式ax2-bx+c>0的解集是(-1,2),则下列选项正确的是 ( )
A.a+b+c>0
B.b<0且c>0
C.a<0
D.不等式ax2-cx+b<0的解集是R
10. 已知函数f(x)=2sin,则下列说法正确的是 ( )
A.f (x)的最小正周期为
B.f (x)的图象关于点成中心对称
C.f (x)在区间上单调递增
D.若f (x)的图象关于直线x=x0对称,则sin 2x0=
11. 已知函数f(x)=若存在实数m使得方程f(x)=m有四个互不相等的实根x1,x2,x3,x4,且x1
A.0C.x1+x2<0 D.x3+f (x2)有最小值
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知向量a=(3,2),b=(4,x),若a⊥b,则x= .
13. 已知α,β∈,sin α=,cos(α+β)=,则β= .
14. 已知函数f (x)=若关于x的方程f(x)=a(x+3)有四个不同的实数根,则实数a的取值范围是 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数f (x)=ln(x+2)+ln(x-2).
(1)求f (x)的定义域
(2)求关于x的不等式f (x)≥ln(3x)的解集
16. 已知函数f (x)=sin2x+sin xcos x.
(1)若A是三角形中一内角且f (A)=0,求A的值
(2)若A是锐角三角形中一内角且f=,求sin A的值
17. 已知函数f (x)=mx2+mx+3,m∈R.
(1)若关于x的不等式f (x)>0在实数集R上恒成立,求实数m的取值范围
(2)解关于x的不等式f (x)>(3m-1)x+5
18. 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,B是A与C的等差中项.
(1)若=,试判断△ABC的形状
(2)若△ABC是锐角三角形,求的取值范围
19. 设函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程
(2)若在区间上单调递增，求的取值范围
(3)当时，，求的取值范围2026年高三数学入学考试参考答案
一、单项选择题
1—8 DCAABBAD
7【详解】函数f(x)=|ex-1|-1的图象如图所示,令f(x)=t,若函数g(x)=[f (x)]2-af (x)-1有三个零点,方程h(t)=t2-at-1=0有一根在(-1,0)上,一根在[0,+∞)上,则即解得a>0;
方程h(t)=t2-at-1=0有一根在(-1,0)上,一根等于-1,则此时无解.
综上,a>0,故选A.
8【详解】由f(x)+g(2-x)=5得f(x)=5-g(2-x)①.由g(x)-f(x-4)=7得f(x-4)=g(x)-7,所以f(x)=g(x+4)-7②.由①②得5-g(2-x)=g(x+4)-7,即g(x+4)+g(2-x)=12,所以y=g(x)的图象关于点(3,6)对称,g(3)=6,又y=g(x)的图象关于直线x=2对称,所以函数g(x)是周期为4的函数,且g(1)=g(3)=6,f(x)=g(x)-7.因为g(4)+g(2)=12,所以g(4)=12-g(2)=12-4=8,所以f(1)=g(1)-7=-1,f(2)=g(2)-7=-3,f(3)=g(3)-7=-1,f(4)=g(4)-7=1,所以f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(22)=5×(-4)+(-1)+(-3)=-24.故选D.
二 多项选择题
9 BC 10 BC 11 ACD
11【详解】根据题意画出图象,如图所示.
由图象可得02,即<20,x1+x2<0,故C正确;因为f(x2)=f(x3)=m,所以x3+f(x2)=x3+f(x3)=-3x3+4=+,又1三、填空题
12．-6 13. 14. (0,4-2)
14【详解】设y=a(x+3),该直线恒过点(-3,0),方程f(x)=a(x+3)有四个不同的实数根,如图作出函数y=f(x)的图象,结合函数图象,则a>0,所以直线y=a(x+3)与曲线y=-x2-2x,x∈(-2,0)有两个不同的公共点,所以x2+(2+a)x+3a=0在(-2,0)上有两个不等实根,令g(x)=x2+(2+a)x+3a,实数a满足解得0四、解答题
15. 解:(1)由解得x>2,
所以f(x)的定义域为(2,+∞).
(2)由f(x)=ln(x+2)+ln(x-2)=ln(x2-4),x∈(2,+∞),得不等式f(x)≥ln(3x)可化为ln(x2-4)≥ln(3x).
因为y=ln x是增函数,所以
解得故x≥4.
故不等式f(x)≥ln(3x)的解集为{x|x≥4}.
16解:(1)由题意可得f(x)=+sin 2x=sin 2x-cos 2x+=sin+,
因为f(A)=0,所以sin+=0.
因为A∈(0,π),
所以2A-∈,
所以2A-=,即A=.
(2)由题意可得A∈,A-∈,
因为f=,
所以sin=,cos=,
所以sin A=sin
=sin+cos
=×+×=+,
即sin A=+.
17解:(1)依题意,mx2+mx+3>0在实数集R上恒成立.
当m=0时,3>0,成立;当m≠0时,要使原不等式恒成立,
则解得0(2)不等式f(x)>(3m-1)x+5,等价于mx2+(1-2m)x-2>0,即(x-2)(mx+1)>0.
当m>0时,解得x>2或x<-.
当m=0时,不等式整理为x-2>0,解得x>2;
当m<0时,方程(x-2)(mx+1)=0的两根为x1=-,x2=2.
当->2,即-当-=2,即m=-时,原不等式的解集为 ;
当-<2,即m<-时,解得-综上所述,当m<-时,原不等式的解集为;
当m=-时,原不等式的解集为 ;
当-当m=0时,原不等式的解集为{x|x>2};
当m>0时,原不等式的解集为
.
18解:(1)∵B是A与C的等差中项,∴2B=A+C.
又A+B+C=π,∴B=.
∵=,∴b2=a2+ac①,由余弦定理得b2=a2+c2-2ac×=a2+c2-ac,则a2+ac=a2+c2-ac,化简得c=2a,
∴b2=a2+ac=a2+2a2=3a2,即b=a,
∴a2+b2=a2+3a2=4a2=c2.
∵b=a≠a,∴△ABC是以c为斜边的直角三角形.
(2)∵B=,△ABC是锐角三角形,
∴∴∴=
==
==2cos Acos C=2cos Acos
=2cos A
=-cos2A+sin Acos A=-+
=sin 2A-cos 2A-=sin-③.
由∴19 （1）当时，，则，
则曲线在点处的切线斜率为，
又，
所以曲线在点处的切线方程为．
（2），
由题意得，恒成立．
令，则，且在单调递增，
令，解得，
所以当时，，故单调递减；
当时，，故单调递增；
所以，
又，当且仅当，故．
（3）因为，所以题意等价于当时，．
即，
整理，得，
因为，所以，故题意等价于．
设，
的导函数，
化简得，
考察函数，其导函数为，
当单调递减；当单调递增；
故在时，取到最小值，即，
即，
所以，
所以当单调递减；
当单调递增；
所以的最小值为，
故．