指数与指数函数
题型一：指数运算
【解题方法总结】
利用指数幂的运算性质，进行化简计算即可．
例1（多选题）下列各式中一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
例2根式的分数指数幂的形式为（ ）
A． B． C． D．
例3（1）化简：.（结果用分数指数幂表示）
（2）化简：.（结果用分数指数幂表示）
（3）求值：.
题型二：指数函数的图像及性质
【解题方法总结】
解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.
例4函数y＝x+a与y＝a﹣x（a＞0且a≠1）在同一坐标系中的图像可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
例5（多选题）函数的图象可能为（ ）
B．
C． D．
例6函数的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（ ）
A． B．
C． D．
题型三：指数函数的解析式、定义域与值域
【解题方法总结】
根据指数函数的定义，结合具体条件，进行求解即可.
例7若函数f（x）＝（a2﹣2a﹣2）ax是指数函数，则a的值是（ ）
A．﹣1 B．3 C．3或﹣1 D．2
例8若关于的方程有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例9已知函数的值域是，则实数m的取值范围是 ．
题型四：解指数不等式
【解题方法总结】
指数不等式的三种求解方法：
(1)性质法：解形如>的不等式，可借助函数y=的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与
0
(2)隐含性质法：解形如>b的不等式，可先将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助函数y=的
单调性求解.
(3)图象法：解形如>的不等式.可利用对应的函数图象求解.
例10不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
例11不等式的解集为 ．
例12已知a＞0，且a≠1，若函数y＝xa﹣1在（0，+∞）内单调递减，则不等式a3x+1＞a﹣2x中x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，） B．（，+∞）
C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．R
题型五：指数型复合函数性质的应用
【解题方法总结】
借助指数函数的图象和性质来研究指数型复合函数的性质，再结合具体问题，进行求解即可.
例13已知函数，．
(1)若，解关于的不等式；
(2)若函数的最小值为-4，求m的值．
例14（2023春·甘肃张掖·高一高台县第一中学校考阶段练习）已知是定义域为R的奇函数．
(1)求a的值，判断的单调性并证明；
(2)若恒成立，求实数k的取值范围．
例15已知函数f（x）＝ax+b的图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若不等式0对任意x∈（﹣∞，2]成立，求实数c的取值范围．指数与指数函数
题型一：指数运算
【解题方法总结】
利用指数幂的运算性质，进行化简计算即可．
例1（多选题）下列各式中一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【详解】，错误；，正确；
，错误；，正确
故选：
例2根式的分数指数幂的形式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
.
故选D.
例3（1）化简：.（结果用分数指数幂表示）
（2）化简：.（结果用分数指数幂表示）
（3）求值：.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【详解】（1）；
（2）；
（3）.
题型二：指数函数的图像及性质
【解题方法总结】
解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.
例4函数y＝x+a与y＝a﹣x（a＞0且a≠1）在同一坐标系中的图像可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题思路】分别讨论a＞1和0＜a＜1时，函数y＝x+a与y＝a﹣x在同一坐标系中的图像情况，即可得出答案．
【解答过程】解：根据指数函数的定义知，当a＞1时，函数y＝x+a与y＝a﹣x在同一坐标系中的图像为图（1）所示：
当0＜a＜1时，函数y＝x+a与y＝a﹣x在同一坐标系中的图像为图（2）所示：
只有选项B满足题意．
故选：B．
例5（多选题）函数的图象可能为（ ）
A．B．C． D．
【答案】ABD
【解析】根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给赋值，判断选项.当时，，图象A满足；
当时，，，且，此时函数是偶函数，关于轴对称，图象B满足；
当时，，，且，此时函数是奇函数，关于原点对称，图象D满足；
图象C过点，此时，故C不成立.
故选：ABD
例6函数的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】若，为增函数，
且，与图象不符，
若，为减函数，
且，与图象相符，所以，
当时，，
结合图象可知，此时，所，则，所以，
故选:C.
题型三：指数函数的解析式、定义域与值域
【解题方法总结】
根据指数函数的定义，结合具体条件，进行求解即可.
例7若函数f（x）＝（a2﹣2a﹣2）ax是指数函数，则a的值是（ ）
A．﹣1 B．3 C．3或﹣1 D．2
【解题思路】根据指数函数的定义列出方程组，求出a的值．
【解答过程】解：∵函数f（x）＝（a2﹣2a+2）（a+1）x是指数函数，
∴a2﹣2a﹣2＝1，且a＞0，a≠1
解得a＝3．
故选：B．
例8若关于的方程有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】方程有解，
有解，
令，
则可化为有正根，
则在有解，又当时，
所以，
故选：．
例9已知函数的值域是，则实数m的取值范围是 ．
【答案】．
【详解】时，且，即，
因此时，的取值范围应包含，
又时，，所以．
故答案为：．
题型四：解指数不等式
【解题方法总结】
指数不等式的三种求解方法：
(1)性质法：解形如>的不等式，可借助函数y=的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与
0(2)隐含性质法：解形如>b的不等式，可先将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助函数y=的
单调性求解.
(3)图象法：解形如>的不等式.可利用对应的函数图象求解.
例10不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，
∴x2﹣8＜2x，
解得﹣2＜x＜4．
故选：A．
例11不等式的解集为 ．
【答案】
【详解】原式可化为，
因为为减函数，所以，即，
解得或，
所以原不等式的解集为.
例12已知a＞0，且a≠1，若函数y＝xa﹣1在（0，+∞）内单调递减，则不等式a3x+1＞a﹣2x中x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，） B．（，+∞）
C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．R
【解题思路】根据函数y＝xa﹣1在（0，+∞）内单调递减，求出a的范围，得到函数y＝ax的单调性，将a3x+1＞a﹣2x转化为x的不等式即可．
【解答过程】解：依题意，a﹣1＜0，即0＜a＜1，
所以函数y＝ax为R上的减函数，
由a3x+1＞a﹣2x可得，3x+1＜﹣2x，
解得x，
故选：A．
题型五：指数型复合函数性质的应用
【解题方法总结】
借助指数函数的图象和性质来研究指数型复合函数的性质，再结合具体问题，进行求解即可.
例13已知函数，．
(1)若，解关于的不等式；
(2)若函数的最小值为-4，求m的值．
【答案】(1)
(2)-3
【详解】（1）时，由得，
，，
因为，所以，解得，
所以原不等式的解集为．
（2）因为，
令，因为，
所以，（当且仅当时取得等号）
则，，
①当，即时，在上单调递增，
当，即时，，
所以，解得，符合题意；
②当，即时，
在上单调递减，在上单调递增，
当，，
所以，解得，不合题意，舍去．
综上，的值为-3．
例14已知是定义域为R的奇函数．
(1)求a的值，判断的单调性并证明；
(2)若恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)，函数在R上是单调递增函数，证明见解析
(2)
【详解】（1）由题意得，所以，
当时，故为奇函数，
在R上是单调递增函数，
证明如下：
对于，，设，
则，
因为，所以，，，
所以，即，
所以，即函数在R上是单调递增函数．
（2）等价于，
因为是R上的单调增函数，所以，即恒成立，
所以，解得，所以k的取值范围为．
例15已知函数f（x）＝ax+b的图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若不等式0对任意x∈（﹣∞，2]成立，求实数c的取值范围．
【解题思路】（Ⅰ）由图像可知函数f（x）过点（0，﹣2）和（2，0），利用待定系数法求出a，b的值，即可得到函数f（x）的解析式．
（Ⅱ）依题意不等式c 10x+6x＞0，对任意x∈（﹣∞，2]恒成立，再利用分离参数法转化为求最值，结合指数函数的单调性即可求出实数c的取值范围．
【解答过程】解：（I）因为函数f（x）＝ax+b的图象经过点（0，﹣2）和（2，0），
又注意到a＞1，
∴，解得，
故函数f（x）的解析式为．
（Ⅱ）因为由（I）知对任意x∈（﹣∞，2]恒成立，
所以由题设得不等式c 10x+6x＞0，对任意x∈（﹣∞，2]恒成立，
即，亦即对任意x∈（﹣∞，2]恒成立，（*）
又易知函数在（﹣∞，2]上单调递增，
所以根据（*）可得，
故所求实数c的取值范围．