3.1.1 方程的根与函数的零点 教案1

3.1.1《方程的根与函数的零点》教学设计
一、教学设计
内容和内容解析
“方程的根与函数的零点”是人教版高中《数学必修1》第三章“函数的应用”的起始课.本节通过研究一元二次方程的根及相应的函数图像与轴交点的横坐标的关系，导出函数零点的概念；以具体函数在某区间上存在零点的特点，探究在某区间上图像连续的函数存在零点的判定方法，体现了从特殊到一般、从具体到抽象的认知过程.教学时，教师应从“数”和“形”两方面入手，一方面引导学生注意函数当即为方程，说明方程是函数的一个特例；另一方面通过在函数的图像与轴的交点之间架起桥梁，让学生自主得到方程的根和函数零点的等价关系.教师要引导学生用联系的观点看待函数零点的有关概念，让学生体会函数零点是解决超越方程的必备条件也是学生形成用函数观点处理方程、不等式、算法等内容的一个支撑点.本节课渗透了化归与转化、数形结合、函数与方程的数学思想对于学生认识数学的科学价值、文化价值形成理性思维等方面具有基础性的作用.
目标和目标解析
三维目标是：
（1）知识与技能：
1.结合二次函数的图像理解函数零点的定义，会判断一元二次方程根的存在性及根的个数;
2.了解方程的实根与其相应函数零点之间的联系；
3.了解判定函数的零点存在的条件，能找到零点所在的区间.
（2）过程与方法：
1.
体验二次函数的图象与轴的交点的横坐标和对应的一元二次方程根的关系，探究方程的根与函数的零点的联系；
2.经历从特殊到一般从具体到抽象的研究过程，提高发现问题、提出问题、解决问题的能力；
3.
在课堂探究中领会化归与转化、数形结合、函数与方程的思想，并能用该思想主动来研究问题.
（3）情感、态度与价值观：在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值.
目标解析：“经历”就是让学生亲眼所见或亲身去做，在这里教师可以采用《几何画板》、PPT等手段来演示，让学生体会知识的发生、发展过程，学生不仅收获了概念，还“体验”到了数与形的转化，即函数零点与方程的根之间的关系是通过函数的图像与轴的交点来建立的.建构主义学习理论，强调数学的学习是螺旋式上升的过程.教学时，教师要明确学生学习的“最近发展区”给学生提供探究的情境，让学生自己发现并归纳出结论“一元二次方程的根是相应二次函数的图像与轴交点的横坐标”.
方程的根与其相应函数零点之间的等价关系是贯穿本节课的主线，如果不理解这个概念，就没办法层层递进的理解函数与方程思想.由学生熟悉的一元二次方程及其相应函数的关系过渡到一般的方程及其相应函数的关系中培养学生观察、抽象概括问题的能力.在理清函数与方程的关系的过程中体验数学的转化思想的意义和价值.学生在获得知识的同时，也学会了思考问题的方法，形成能够自主发现问题、提出问题、解决问题的能力.
基于上述分析得到本节的教学重点：
1、理解方程的根与函数零点的等价关系，形成用函数处理问题意识；
2、“函数零点存在的条件”.
教学问题诊断分析
学生已有的认知基础是初中学习过的二次函数和二次方程，并且解决过当函数值为零时求相应自变量值的问题，掌握了部分基本初等函数的图像与性质，这为本节课利用函数图像判断方程根的存在性提供了一定的知识基础.学生的数学能力发展正处于形象思维向抽象思维转换阶段但还是更注重形象思维，而且初中函数教学要求较低，初中生的运算能力有所不高.
教学过程中可能遇到的障碍体现在以下三个方面：一是引导学生画函数图像发现方程的根与函数零点关系中，学生可能会设法通过画出图像找到所有函数可能存在的零点，但并不是所有函数的图像都能具体的描绘出；二是零点存在性定理的教学中因为，且图像在区间上连续不断是函数在区间上有零点的充分而非必要条件，这容易引起思维的混乱；三是学生容易将“方程的根”与“函数的零点”混为一谈，要让学生明确尽管它们有密切的联系，之所以介绍通过求函数的零点求方程的根，是因为函数的图像和性质，为理解函数的零点提供了直观认识，并为判定零点是否存在和求出零点提供了支持，这就使方程的求解与函数的变化形成联系，有利于分析问题的本质.
教师应该通过引导让学生逐渐认识和理解函数零点的内涵从而突破的难点.
基于上述分析，确定本节课的教学难点是：探究“函数零点存在性定理”．
教学支持条件分析
零点概念意义的建构的两个层面：一是通过具体一元二次方程的根与其相应二次函数图像与x轴交点横坐标的关系，引出零点的概念，让学生理解零点是一个数而不是点，二是用零点存在性定理判断零点存在的区间.需要以下条件的支持才能较好的完成.
学生方面，主动参与到教学活动的每个环节中，能够积极发现问题、分析问题、解决问题，在教师引导下能自己探索出数学结论.
教师方面，考虑到学生的知识水平和理解能力，教师可借助多媒体和几何画板制作动态直观的课件让学生观察、讨论、画图，自主探索，在函数与方程的联系中体验数形结合思想、转化思想的意义和价值，发展学生对高中数学的认识，体会函数在高中的核心作用．例如：演示如何找到函数的零点所在的区间能使教学更富趣味性和生动性．
教法选择：以问题串的形式，从“创设情境，自主探究，巩固升华，归纳小结，分层作业布置”进行教学；
学法指导：采用开放式的自主学习方式让学生在教师的引导下，观察，探究，体验知识的形成、发展过程.
教学用具：多媒体课件、几何画板、三角板.
教学过程
（一）
创设情境，引入新课
师：方程对我们来说并不陌生，同学们会求方程的解吗？
生共同回答：
师：那如果我在前面加上一个情况会怎样呢？请同学们会求方程的解吗？
（见学生回答有困难，教师做了如下提示）
师：同学们想一想这个方程用我们以前学过的知识可以解吗？
生：应该不能吧.
师：确实不能，一元一次方程的解法不能用，一元二次方程的解法也不能用.那退一步我们能不能确定这个方程解的个数呢？
（学生小组讨论）
第一小组的同学举手回答：作函数和函数的图像，两个函数图像只有一个交点，所以方程的解只有一个.
第二小组同学：我们也是画出函数的图像看到它在定义域上是单调递增的与轴只有一个交点.
师：到黑板上把你们两组画的图给大家欣赏下.
学生演示并讲给大家听（学生自发的鼓掌）.
师：精彩！精彩来自两个方面，一是讲解的思路很清晰；二是把方程的问题转化为函数的问题来解！我们经常会遇到无法用公式法求解的方程，这组同学将方程的问题转化为函数来研究，这就是今天我们要学习的内容——方程的根与函数的零点
设计意图：让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识和原有的知识发生联系，符合学生学习的认知规律.在知识的冲突中调动学生的学习兴趣，让学生逐步学会运用合情推理的方法来探究问题，培养学生的归纳推理能力.新课程提倡学生成为课堂的主人，不是让教师成为旁观者，而是要让教师在解题的“关键处”点拨，为学生搭建获取知识的脚手架.
（二）自主探究，意义建构
师：那方程与函数究竟有什么关系呢？让我们一步步来揭开它的神秘面纱.
思考：一元二次方程的根与二次函数的图像有什么关系？根据特殊与一般的思想方法，我们先来求几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图像：
观察下表，求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象，并写出函数图象与轴交点的坐标
方
程
函
数
方程的实数根
函数图像
函数的图象与轴的交点
问：方程的实数根与函数图象与轴交点的横坐标之间有什么关系？
生：（观察讨论）方程的实数根就是函数图像与轴交点的横坐标.
师：回答的很好！对于函数我们把叫作函数的零点.你能概括一般函数零点的概念吗？
生：对于函数,我们把使的实数叫做函数的零点.
师：概括的很到位.
设计意图：学生不可能凭空想象出数学的思想和方法，所以课上从三个特殊的一元二次方程与函数的关系得到一般的一元二次方程的根与二次函数的图像的关系.渗透了从特殊到一般的数学思想方法，发展学生的抽象思维能力.
师：结合函数零点的定义和我们刚才的探究过程，你能总结方程的根与函数的零点之间关系吗？
生：（学生小组讨论）函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图像与轴交点的横坐标.
生：还可以用数学符号语言表达，函数有零点方程有实数根
函数
的图像与x轴有交点.
师：数学语言真是丰富啊！
练习1
说出函数的零点是（
）
生：零点是
（师笑而不语）
生：不对，我认为是，才使得，故把称为函数的零点.定义中实数叫做函数的零点.
其他同学也七嘴八舌说：零点是一个实数.
师：（非常兴奋的）从定义上可以看到零点指的是一个实数并非一个点.
设计意图：这道题看似简单，却能巩固学生所学的知识，也让学生能够辨析概念，为接下来要总结方程的根与函数零点的关系打好基础.
师：那函数零点的求法有哪些呢？
生：求方程的实数根.
师：我们把这种方法叫做代数法.
生：也可以画函数的图像找到它与轴交点的横坐标.
师：我们把这种方法叫做几何法.方程的根与函数零点的关系，为我们分析问题解决问题又提供了一种思想叫函数与方程的思想.
设计意图：要求学生从“数”和“形”两个层面来理解函数零点这个概念，深化了学生对数形结合思想的认识.在课堂上有充分的活动空间和时间调动学生的自主精神，让学生自主讨论发现归纳方程的根与函数零点的等价关系让学生体验成功的喜悦，消除懂而不会的现象.数学思想方法是数学问题的灵魂，学生只有通过教师引导自主探索出函数与方程的思想才能运用自如.
（三）理论内化，巩固升华
师：请同学们求出函数的零点.
生：还不能求解.
师：不是所有的函数的零点都能直接求解的.
师：探索函数具备什么条件时，能在区间上存在零点.
师：观察函数的图像
填空：在区间上______零点；
_______，
_______,
____0（＜或＞）．
Ⅱ）观察下面函数的图像
填空：
在区间上______(有/无)零点；
·_____0（＜或＞）．
在区间上______(有/无)零点；
·_____0（＜或＞）．
在区间上______(有/无)零点；
·_____0（＜或＞）．
师：由以上探索，你可以得出什么样的结论？
生：函数零点的左右两侧函数值应该异号.
生：若函数在区间上满足，则函数在区间
内存在零点.
师：不一定哦，谁能举一个反例呢？
生：反比例函数.
师：能说具体一点吗？
生：反比例函数在有，但在区间内不存在零点.
师：举得例子很恰当.请同学们思考为什么反比例函数对上述命题不成立，而对二次函数则是成立的呢？
生：我知道，的图像是断开的，而二次函数的图像是连续的，只有在
上连续不断的函数，在满足的条件时，才存在零点.
师：我们一起用符号语言总结函数零点存在性定理：如果函数在区间
上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间
内有零点.即存在，使得，这个也就是方程的根.
师：我还想问同学们，若将“零点存在性判定方法”中的结论改为“函数在区间
上只有一个零点”，这个命题正确吗？
（这时学生产生分歧，教师提醒学生冷静思考）.
生：不正确，应该是至少有一个零点，可以看下图函数在内有3个零点
师：那如果要使得“有且只有一个零点”是正确的结论，可以将条件作怎样的修改呢？
学生思考了一下还是没有同学回答
师：只要让函数在区间
上是单调函数就行了.
学生恍然大悟
师：大家可以针对这个定理提出问题吗？
生：老师，我来试试！若，则在区间内一定不存在零点吗？
生：不一定吧.
生：你能举一个具体例子吗？
生：函数
在零点两侧的函数值同号.（学生们的表情中充满了自豪感）
师：所以“函数零点存在性定理”是应用于变号的零点中.
设计意图：学生经历自主举反例，归纳共同特征以及形式化表示零点存在性定理的过程.教师要在学生认知的最近发展区提问，让学生跳一跳能够摘到果子.可能在这一过程中学生得到的概念比较片面，只要教师耐心的引导就能得到真理，同时也给学生留下了思维的空间，有利于调动学生学习的积极性.
（四）数学应用，深化理解
例2：求的零点的大致区间和个数.
（教师用多媒体演示解答）
解：用计算器或计算机作出，的对应值表和图像.
1
2
3
4
5
–4
–1.0369
1.0986
3.3863
5.6094
6
7
8
9
7.7918
9.9459
12.0794
14.1972
由表和图可知，，则，这说明函数在区间内有零点.由于函数在定义域内是增函数，所以它仅有一个零点.
练习2：函数，问：方程在区间内有没有实数根？为什么？
师：请一位同学上来解答其他同学独立做练习（教师巡视指导）
且函数的图像是连续曲线，
在区间内有零点.
即方程在区间内有实数根.
设计意图：通过运用函数零点存在性定理解决问题，促进学生对零点概念的掌握和理解，同时例题应该教师来讲评发挥教师的示范作用，培养学生规范解答，严谨的思维能力.
对新知识的理解需要一个不断深化完善的过程，通过练习，进行数学思想方法的小结，可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，同时反映教学效果，便于教师进行查漏补缺.
（五）归纳小结，分层作业
本节我们学习了哪些知识？你学会了哪些方法？
判断函数零点所在的区间：用零点存在性定理.
找根的个数：①用零点存在性定理结合函数的单调性.
②数形结合画出函数的图像或者转化为两个函数的图像的交点个数.
3.还学会了函数与方程、数形结合、化归与转化的数学思想方法.
分层作业：
1、名校学案 方程的根与函数的零点
2、拓展作业：已知求取何值时能分别满足下列条件
①有2个零点;②3个零点;③4个零点.
设计意图：课堂小结是教学的重要组成部分，应引导学生从过程、方法、思想等方面进行归纳总结，而不应只是结论的重现.
二、教学实践心得
《方程的根与函数的零点》的教学价值的挖掘与思考
数学是思维的体操，但是初中、高中接受的得数学知识出校门不到一两年就很快忘了，唯有深深铭刻于脑中的数学精神，数学的思维方法，研究方法和着眼点等都随时随地的发生作用.“方程的根和函数的零点”的教学价值主要体现在三个方面：（1）是培养学生数学思想方法.（2）是提高学生的数学思维能力.（3）是突出数学人文价值.
首先“方程的根与函数的零点“的教学价值体现在培养学生数学思想方法方面.函数的零点问题是大学《数学分析》中的介值定理基础知识，该问题与高等数学联系紧密，涉及到很多数学思想方法.如通过探究一元二次方程的根与二次函数的图像的关系，得出零点概念，体现了数形结合的思想.把方程有无实根转化为函数有无零点的问题体现了化归与转化的思想.方程与函数的关系也体现函数与方程的思想.举反例说明但在区间内不存在零点，体现了化归与转化的思想.
数学思想方法是数学知识的灵魂，教师在授课中不仅要着眼于知识的传授，更要着眼于三维目标，进而去揭示数学的思想方法.
本节课教师引导学生自主得出零点及零点存在性定理.充分展示知识的发生、发展过程，通过外显的学术形态体现内隐的思想方法，完善学生的数学认知结构，促进知识迁移，发现解题途径，让学生养成用数学眼光看待问题的意识.
其次，“方程的根与函数的零点“的教学价值体现在提高学生的数学思维能力方面.函数是中学数学的核心概念，核心的根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机的联系在一起.
学生以前接触的都是能用公式法求根的方程，但当老师问及如何解的方程时，引起学生认知的冲突.本节从特殊一元二次方程的根及其相应二次函数零点的关系出发到一般的方程与函数的关系发展学生的抽象思维能力，数学问题的求解，可以形成学生正确的思维方法.教师在课堂上引领学生对零点意义建构，找到学生的最近发展区，让学生主动参与到知识的学习过程中.课堂上教师应把话语权交给学生，但不是放任，而是用精炼的问题串启发诱导学生跳动的思维一步步得出零点及零点存在性定理，进而用其解决问题，零点存在性定理在二分法中的应用在信息时代的影响是非常深远的.
学生应用方程的根与函数零点关系求解函数的零点的个数，强化了基础知识，提高分析问题，解决问题的能力.
用函数来解决方程根的问题渗透发散思维和创新意识的培养，让学生认识到许多知识之间有联系，但要经过严谨的推理和推断过程，所以说数学概念背后的思维方式比数学概念本身更重要，数学会让我们养成冷静、客观的思维习惯，我们应该有意识的培养学生的思维能力和创造性才能.
再次，“方程的根与函数的零点“的教学价值体现在丰富数学的人文价值方面.《课标》指出，数学文化是“贯穿于整个高中数学课程的重要内容之一”，并要求将其“渗透在每个模块或专题中”.对数学内容进行人文化加工，能更好的调动学生热爱数学、探索数学问题的激情.课上老师也可以从本章的阅读与思考开始导入新课，阅读与思考中阐述了中外历史上的方程求解是“方程的根和函数的零点”的补充，在课堂上可以带领学生一起去欣赏古今中外数学史感受数学的演变之路，不仅可以增进学生学习数学的信心，还可以提高学生对事件本质的洞察力和理性思考的能力，这是数学作为文化对人类社会文明的影响.
因此，教师可以通过创设新颖的问题情境，引导学生自主探索，合作交流，用函数的思想解决方程的问题，让学生体验知识的生成过程，丰富数学的人文价值.
克莱因说：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作.音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物资生活，但是数学能给予以上的一切.”
数学学习能够去浮躁，净化人的灵魂.数学的思维方式、数学的精神能使人们养成缜密、有条理的思维方式，有助于培养学生的一丝不苟的工作态度、敬业精神和强烈的社会责任感.在数学学习过程中，常常会遇到很多困难.通过自己不懈的努力，才能领略到数学的真谛，培养学生顽强的意志和探索精神.开拓、创新这是现代科学人文的一个基本素质.现代社会越来越需要创造性人才，数学学习过程实质上是一个再创造的过程，数学中对定理、结论以及解题方法的探索都需要学生具有创新思维和开拓精神.数学教学也就有了独特的人文精神，并构成其最主要内容.
既然“方程的根和函数零点“的教学能够培养学生扎实的数学知识和练就敏锐而严谨的思维，形成用数学思想方法看待问题，养成严谨求实的精神和态度.教师在本节课教学中要突出学生主体、着眼于学生发展，巧妙地展现如何用函数零点来解决问题.数学教育要给学生提供思维发散及延伸的空间，让学生养成用数学的眼光看待问题.使学生在接受数学科学教育的同时，完善和提高自己.
三、专家点评（三明一中
魏有莲）
这节课书本上的处理是从学生熟知的一元二次方程入手，结合二次函数的图像引出了函数零点的概念.从而很好将方程的根与函数的零点及函数图像与轴交点的横坐标实现等价.把代数问题转化为几何问题，再从几何问题转化到代数不等式的问题.林老师在上课的过程中能很好地把握教学目标，落实知识目标，引导学生在过程中体会数学思想与方法，体现参与与合作.
一、认知冲突，激发兴趣
通过创设情境，用已学方法不能求解方程，引发学生的认知冲突，引导学生利用函数的图像和性质来研究方程的根，导出课题，体现数学的回归于转化思想，函数和方程的思想，也激发了学生学习数学的积极性.
二、自主探究，合作交流
教师采用问题探究式的教学方法，引导学生自主探究，合作交流.从特殊到一般，从具体到抽象，在探究与交流中解决问题，得到方程的实数根等价于函数图像与轴交点的横坐标.感知概念，形成初步结论，体现了数形结合思想，提高了学生分析问题、解决问题的能力.
三、观察猜想，归纳概括
教师提出问题，有特殊到一般.学生通过观察猜想，归纳共同特征.概括出：满足的函数在区间内存在零点，教师紧扣学生的回答，引导学生举出反例满足但在区间内不存在零点，完善了定理，教会了学生养成冷静，客观，严谨的思维习惯.
四、巩固升华，发展认知
教师采用了多媒体演示求函数的零点所在的区间，并把问题深化到求出零点的个数.强化练习巩固定理，规范解题，严密思维.体现了教师的示范作用，使学生对新知的理解升华.完善和发展了学生的认知结构.
五、课堂小结，课后反思
教师引导学生从过程，方法，思想等方面进行归纳总结，并通过分层作业，引发学生进行课后反思.
本节课在新课程理念的指导下，本着“教师的主导地位和学生的主体地位相统一”的教学原则下组织本节教学，采用问题探究式的教学方法并配以多媒体辅助教学.通过教师的点拨，启发学生主动思考，通过观察达到对知识的发现和接受.通过学生自主合作、探究，在探究与交流中解决问题，形成对本节课重难点的理解和掌握.课堂例题和练习由浅入深，突出了本节课的重点内容，让学生体会运用函数的性质及图像来解题的重要的数学思想.教学环节层层深入，环环相扣，充分体现了数学的回归于转化、函数与方程、数形结合等思想方法.学生通过动眼观察，动脑思考，亲历了知识的形成和发展过程，提高了思维能力.
值得一提的是，在目前高考不允许使用计算器的情况下，可提高学生利用估算来确定函数值得大小.
如求函数在的零点所在的区间时，可由得出函数在在区间内有零点.