1.3.1 单调性与最大（小）值 教案1

§1.3.1 单调性与最大（最小）值
【教材分析】
函数是描述事物变化规律的数学模型,在研究函数的性质时,单调性和奇偶性是非常重要的性质.在初中学习函数时,已经重点研究了一些函数的增减性,只是较为粗略,未明确给出有关函数增减性的定义,对于函数增减性的判断也主要根据观察图象得出,而本节内容,正是初中有关内容的深化和提高：给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义,既让学生理解到从图象的角度“看”函数的增减变化,又从解析式的角度“算”函数的单调变化,“看”函数图象的变化是让学生获得函数单调性的直观认识,“算”函数的单调变化是从数量关系的角度通过逻辑推理进行确认,体现数形结合的重要思想.
由于函数图象是发现函数性质的直观载体,因此,在本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情境,以利于学生作函数图象,有更多的时间用于思考、探究函数的单调性、最值等性质.还要特别重视从几个实例的共同特征到一般性质的概括过程,并要引导学生用数学语言表达出来,让学生经历这些概念的形成过程,培养学生数学探究意识和探究能力.
在本节课的教学中以函数的单调性的概念产生、形成为线,它始终贯穿于整个课堂教学过程.对单调性概念的深入而正确的理解往往是学生认知过程中的难点,因此在课堂上突出对概念的分析不仅仅是为了分析函数单调性的定义,而且想让学生对如何学会、弄懂一个概念有初步的认识,并且在以后的学习中学有所用；利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性又是一个难点,使用函数单调性定义证明是对函数单调性概念的深层理解,给出一定的步骤“作差、变形、定号”是必要的,有利于学生理解概念,也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助.
【教学目标】
1.通过观察一些函数图象的升降变化,形成增减函数的直观认识,再通过函数值的大小比较,从解析式的角度,认识函数值随自变量大小变化的规律,得出函数单调性的定义.
2.理解函数单调性及其几何意义,掌握用函数的定义证明函数单调性的基本方法和步骤会求函数的单调区间.
3.在经历认识函数单调性以图识数,从直观认识到抽象概括的过程,学生自主探究,体验函数单调性概念的形成过程,学会运用函数图象和解析式理解和研究函数的性质,学习数学思考的基本方法,培养数学思维能力.
【教学重难点】
教学重点:函数单调性的概念的产生和形成
教学难点:函数函数单调性的概念的产生和形成过程中,从图象的直观认识到从解析式的数量关系的认识,并用数学符号语言表达出其概念.
【教学设计建议】
一、导入新课
1、一次函数、二次函数和反比例函数图象反映出怎样的函数升降变化规律？
2、如何利用函数的解析式认识函数值随自变量大小变化的这种升降变化规律呢？
【设计意图：根据初中已经学过的基本函数入手,分别引出从图象的角度和从解析式的角度刻画函数的变化规律,激发学生兴趣和探究问题的激情.】
二、探索新知
（一）分别画函数y=x+1和y=x2-1的图象并观察这函数图象,指出这两个函数图象的升降变化规律.

图1 图2
从函数y=x+1的图象〔图1〕看到：图象由左至右是上升的；从函数y=x2-1的图象〔图2〕看到：图象在y轴的左侧部分是下降的,在y轴的右侧部分是上升的.这是观察函数图象上的点,得出的结论.
对于函数图象的“上升”和“下降”,如果观察函数图象上每个点对应的横坐标x和函数值,会得到的什么结论呢？怎样用数学语言描述呢？
【设计意图：用几何画板画出两个函数的图象,标示出函数图象上的点、点的横纵坐标,运用几何画板的追踪功能,观察图象上的点的上升与下降,以及点的横纵坐标的变化.】
（二）以函数y=x2-1为例,探究对任意的x1,x2时,f（x1）与f（x2）的大小关系,并思考如何准确从数量关系的角度刻画函数图象增减变化,“上升”与“下降”？
（1）对任意的x1当x1y2,或者y1=y2都可能；当0y2.
（2）对任意的x1>x2时,f（x1）与f（x2）的大小关系也有四种情况.
（3）不妨设任意的x1
图3
即：对于y=f（x）=x2-1如果取x1、x2∈[0,+∞）,得到y1=f（x1）,y2=f（x2）,那么当x1＜x2,有y1＜y2,这时我们就说函数y=f（x）=x2-1在［0,+∞）上是增函数.当x在区间（－∞,0）上取值时,随着x的增大,相应的y值反而随着减小,即如果取x1、x2∈（－∞,0）,得到y1=f（x1）,y2=f（x2）,那么当x1＜x2时,有y1＞y2,这时我们就说函数y=f（x）=x2-1在（－∞,0）上是减函数.
【设计意图：此处需要突破对任意的x1,x2时,f（x1）与f（x2）的大小关系的情况较多,需要具体分析,让学生理解到能真正刻画函数图象的增减变化,“上升”与“下降”数学表达,进而理解到如何准确从数量关系的角度刻画函数图象增减变化,“上升”与“下降”.】
（三）增减函数的定义
（1）归纳新知：

图4
如图4：y=f（x）对于区间［a,b］上的任意x1、x2,当x1＜x2时,都有f（x1）＜f（x2）,因此y=f（x）在区间［a,b］上是单调递增的,区间［a,b］是函数y=f（x）的单调增区间.
y=f（x）对于区间［a,b］上的任意x1、x2,当x1＜x2时,都有f（x1）＞f（x2）,因此y=f（x）在区间［a,b］上是单调递减的,区间［a,b］是函数y=f（x）的单调减区间.
（2）函数单调性的定义：
一般地,设函数f（x）的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1一般地,设函数f（x）的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1f（x2）,那么就说函数f（x）在区间D上是减函数.
增减函数的几何意义：增函数从左向右看,图象是上升的.函数值变化趋势函数值随着自变量的增大而增大;减函数从左向右看,图象是下降的,函数值随着自变量的增大而减小.
总结：如果函数y=f（x）在区间D上是增函数（或减函数）,那么就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性,区间D叫做y=f（x）的单调递增（或减）区间.
（3）说明:
增函数从左向右看,图象是上升的;从右往左看就是下降的,其实函数值变化趋势是函数值随着自变量的增大而增大,随着自变量的减小也是在减小的;减函数从左向右看,图象是下降的,从右往左看图象就是下降的,函数值随着自变量的增大而减小,随着自变量的减小而增大的.
【设计意图：经历新知的探究过程后,函数单调性的定义就是水到渠成了.但是学生不容易理解任意两个自变量的值x1、x2的实质,所以需要引导学生从左往右、也可以从右往左观察图象的“上升”和“下降”,既可以随着自变量的增大而变化,也可以随着自变量的减小而变化去刻画函数的增减性.】
三、反思提升
（一）反思函数单调性的概念产生过程
（二）函数单调性的理解：
要特别注意定义中为了简便,不妨设x1要注意理解“定义域内某个区间”“属于”“任意”“都有”这几个关键词语；在写单调区间时不要轻易用并集的符号连接.
（三）利用函数单调性定义证明函数单调性的方法与步骤
证明的四个步骤：（1）设x1、x2是给定区间内的任意两个值,且x1＜x2；
（2）“作差”---f（x1）-f（x2）,并将此差式变形（要注意变形的程度）；
（3）“判号”---f（x1）-f（x2）的正负（要注意说理的充分性）；
（4）“结论”---根据f（x1）-f（x2）的符号确定其增减性.
（四）数学方法和思想
在认识函数单调性以图识数,体现图形语言向数学符号语言的转化.从直观认识到抽象概括过程中,体现数形结合的思想.
【设计意图：经历问题引入和新知探究后,师生对已经学习的新知和数学思想方法进行反思提升,强调函数单调性概念中需要注意的问题及证明函数单调性的步骤.】
四、反馈例练
（一）基础例练
例1 如图5是定义在区间［－5,5］上的函数y=f（x）,根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数？
图5
解：函数y=f（x）的单调区间是［-5,2）,［-2,1）,［1,3）,［3,5］.其中函数y=f（x）在区间［-5,2）,［1,3）上是减函数,在区间［-2,1）,［3,5］上是增函数.
点评：本题主要考查函数单调性的几何意义,以及图象法判断函数单调性.
例2物理学中的玻意耳定律p=（k为正常数）告诉我们,对于一定量的气体,当其体积V减少时,压强p将增大.试用函数的单调性证明.
解：利用函数单调性的定义只要证明函数p=在区间（0,+∞）上是减函数即可.
点评：本题主要考查函数的单调性,以及定义法判断函数的单调性.
定义法判断或证明函数的单调性的步骤是第一步：在所给的区间上任取两个自变量x1和x2,通常令x1（二）巩固例练
【例3】（1）画出已知函数f（x）=-x2+2x+3的图象；
（2）证明函数f（x）=-x2+2x+3在区间（-∞,1］上是增函数；
（3）当函数f（x）在区间（-∞,m］上是增函数时,求实数m的取值范围.
点评：本题主要考查二次函数的图象、函数的单调性及其应用.讨论有关二次函数的单调性问题时,常用数形结合的方法,结合二次函数图象的特点来分析问题.
例4 证明f（x）=在（－∞,-1）和（1,+∞）上都是单调递增函数.
点评：本题检验运用定义证明这个函数的单调性,初步理解其步骤,需要注意在对“作差”的式子进行正负判号时,推理要充分、正确.
【设计意图：通过两种层次的反馈例练,由浅入深,逐渐达到运用新知的目的,同时反馈学生学习理解的程度,进行学习监控和补救.】
五、课后作业
1、教科书P32 3、 P39 A 1、2、3
2、校本教辅资料相应练习

【教学设计感悟】
“函数单调性”是一个重要的数学概念.本节课是函数单调性的起始课,以往的教学方法一般是由教师讲解为主,在单调性的定义教学中,往往缺少从定性的描述到定量表示的思维过程,即缺少“真正的体验”.本设计致力于展示概念是生成、发展和形成的过程.在概念的发生、发展和形成中,通过循序渐进的体验活动,调动学生的思维,突出培养学生的思维能力.本节课采用问题引导,学生探究学习的教学方法,通过创设情境,引导探究,师生交流,最终形成概念,获得方法.本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学,为学生提供直观感性的材料,有助于学生对问题的理解和认识.考虑到部分学生数学基础较好、思维较为活跃的特点,对判断方法进行适当的延展,加深对定义的理解.