2.1.1平 面
预 习 案
要点1 平面的特征
“平面”是平的，它无厚度，可以无限延展．
要点2 平面的表示
平面通常用希腊字母α，β，γ等表示，如平面α、平面β、平面γ等，也可以用代表平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称，如平面ABCD、平面AC、平面BD，还可以用平面内不共线的三点的字母表示，如平面ABC.
要点3 平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
符号表示：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α.
(2)公理2：过 的三点，有且只有一个平面．
符号表示：A，B，C三点不共线?
有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α.
(3)公理3：如果两个不重合的平面有 公共点，
那么它们有且只有一条过该点的
符号表示：P∈α∩β?α∩β＝l，且P∈l.
要点4 三个公理的推论
推论1：经过一条直线和 的一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条 ，有且只有一个平面．
推论3：经过两条 ，有且只有一个平面．
1．“线段AB在平面α内，直线AB不全在平面α内”这一说法是否正确？为什么？
答：不正确．∵线段AB在平面α内，∴线段AB上的所有点都在平面α内，∴线段AB上的A、B两点一定在平面α内，∴直线AB在平面α内(公理1)．
2．三个公理各有什么作用？
答：(1)公理1是判断直线在平面内的依据，证明点在平面内的依据．
(2)公理2是确定一个平面的依据．
(3)公理3的作用是：①判定两个平面相交；②作两个平面的交线；③证明点共线或线共点．
探究案
题型一 平面的概念
例1 给出下列结论：
①长为a，宽为b的矩形是面积为ab的一个平面； ②黑板面可以认为是平面的一部分；
③因为平展在桌面上的纸面是平面的一部分，且由于300页的书比100页的书厚，所以300个平面重叠起来，比100个平面重叠起来厚；
④平面是平滑的，无厚度的，可以无限延展的，只描述不定义的数学概念．
其中正确的结论共有( )
思考题1 判断下列说法是否正确？并说明理由．
(1)平行四边形是一个平面；
(2)任何一个平面图形都是一个平面；
(3)在空间图形中，原图中的线都要画成实线，后补画的线都画成虚线；
(4)用平行四边形表示的平面，以四边为边界．
题型二 平面的画法及表示
例2 下面有4个与下图相关的命题：
(1)图①中有三条虚线，被遮挡的面有三个；(2)图②中被遮挡的面有三个；
(3)图①中长方体的底面ABCD与图②中三棱锥的底面ABC所在平面均可以表示为平面AC.
(4)图③中被遮挡的面有一个；其中正确命题的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
探究2 仔细观察图形，发挥想象能力，表示平面的大写字母前要加“平面”或“面”等字样．
思考题2 用两张全等的矩形纸，按下列各图所示的两个平面的位置进行摆放．
题型三 三种语言的相互转换
例3 用符号表示下列语句，并画出图形．
(1)三个平面α、β、γ相交于一点P，且平面α与平面β交于PA，平面α与平面γ交于PB，平面β与平面γ交于PC；
(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC；
(3)直线a和b相交于平面α内一点M.
思考题3 (1)若点M在直线a上，a在平面α内，则M、a、α间的上述关系可记为( )
A．M∈a，a∈α B．M∈a，a?α
C．M?a，a?α D．M?a，a∈α
(2)下图中的画法不正确的是________．
(3)如右上图所示，若梯形ABCD的两底AB，CD在平面α内，那么梯形ABCD的两腰BC，DA是否在平面α内？
题型四 公理二
例4 空间四点可以确定几个平面？并画出图形．
思考题4 (1)3条直线相交于1点，最多能确定________个平面；3条直线相交于3点，最多能确定________个平面．
(2)空间有五个点，其中有四个点在同一平面内，但没有任何三点共线，这样的五个点确定平面的个数最多可以是________．
题型五 公理三
例5 已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线
分别交面α于P、Q、R，求证：P、Q、R在同一条直线上．
探究3 (1)证明若干点共线问题，只需证明这些点同在两个相交平面内即可，根据公理3，找出相交的平面与平面的交线，说明这些点都在两个平面的交线上．
(2)根据公理3，可作出两个平面的交线．
思考题5 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)如图①作出平面ABC1D1与平面A1B1CD的交线；
(2)如图②作出平面A1C1CA与平面A1DCB1的交线．
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
预 习 案
要点1 空间两条直线的位置关系
空间两条直线的位置关系有且只有三种：
要点2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行
公理4表述的性质通常叫做空间平行线的传递性，是判定空间两条直线平行的方法之一．
要点3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线 ，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等．
要点4 异面直线所成的角
已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
如果两条异面直线a，b所成的角是直角，那么这两条直线互相垂直，记作a⊥b.
1．在异面直线所成角的定义中，角的大小与点O的位置有关系吗？
2．如何画异面直线？
3．(1)空间中同垂直于一条直线的两条直线的位置关系一定是平行的吗？
(2)空间中同平行于一条直线的两条直线的位置关系一定是平行吗？
(3)空间中同与一直线异面的两条直线的位置关系一定是平行吗？
探究案
题型一 空间两条直线位置关系的判定
例1 若直线a⊥直线b，直线c∥a，则c与b关系是( )
A．相交或异面 B．相交或平行
C．平行或异面 D．相交、平行或异面
探究1 判断两直线的位置关系，不能局限于平面内，要把直线置身于空间考虑，有时可分为平面和空间两种情形讨论．
思考题1 已知a、b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b ( )
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
题型二 公理4的运用
例2 (1)已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为C1D1，D1A1的中点．
求证：四边形MNAC是梯形．
【思路分析】 要证明四边形MNAC是梯形，只需证明MN∥AC，且MN≠AC即可，由中点联想到中位线性质，问题可证．
(2)如右图，A是△BCD所在平面外一点，M、N分别
是△ABC和△ACD的重心，已知BD＝6.
①判断MN与BD位置关系；
②求MN的长．
思考题2 已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是线段AB、AD的中点，F、G分别是线段CB、CD上的点且＝＝.
求证：EF、GH、CA交于一点．
题型三 等角定理的运用
例3 如图，不共面的三条直线a，b，c交于点O，在点O的同侧
分别取点A和A1、B和B1、C和C1，使得＝，＝.
求证：△ABC∽△A1B1C1.
思考题3 已知E、E1分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AD、A1D1的中点．
求证：∠BEC＝∠B1E1C1.
题型四 异面直线所成的角
例4 如图，正方体AC1中，E，F分别是A1B1、B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．
探究4 (1)由本例的解法，不难发现求异面直线所成角的一般步骤是：
①构造：恰当地选择一个点，用平移法构造异面直线所成的角；
②证明：证明①中所作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：通过解三角形等知识，求出①中所构造的角的大小；
④结论：假如所构造的角的大小为α，若0°＜α≤90°，则α即为所求异面直线所成角的大小；若90°＜α＜180°，则180°－α即为所求．
思考题4 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1B1，B1C1的中点，
求EF与AD1所成角的大小．
【思路分析】 把EF平移到A1C1，再平移到AC，
则所求角与∠D1AC有关，求出角∠D1AC即可得EF与AD1所成的角．
课堂小结
1．异面直线所成角的范围是(0°，90°]．
2．判定异面直线的方法：
①定义法；②反证法；③判定定理法．
3．求异面直线所成角的步骤：
①作；②证；③求；④答．
2.1.3 空间中线与面、面与面之间的位置关系
预 习 案
要点1 直线与平面的位置关系
(1)直线在平面内——有 公共点；
(2)直线与平面相交——有且 公共点；
(3)直线与平面平行—— 公共点．
直线与平面相交或平行的情况，则称为直线在平面外．
要点2 平面与平面的位置关系
(1)位置关系
①两个平面平行—— 公共点；
②两个平面相交——有一条
(2)两个平面平行的符号表示
平面α与β平行，记作α∥β.
1．直线a与平面α平行，直线b?α，则a与b有怎样的位置关系？
2．如果平面α与平面β平行，直线a?α，直线b?β，那么a与b的位置关系是什么？
3．如何用图形语言及符号语言表示直线和平面与平面和平面的各种位置关系？
探究案
题型一 直线与平面相交
例1 如果一条直线经过平面内的一点，又经过平面外一点，那么此直线和平面相交．
思考题1 (1)直线l∥直线m，l与平面α相交，则m与平面α的位置关系是( )
A．m与平面α相交 B．m∥α
C．m?α D．m在平面α外
(2)若l∩α＝A，b?α，则l与b的位置关系为________．
(3)若l∩α＝A，l与b相交或异面，则b与α的位置关系为________．
题型二 直线与平面平行
例2 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
已知：a?α，b?α，a∥b(如图)．
求证：a∥α.
【思路分析】 要证明直线a和平面α平行，可由直线
与平面平行的定义，用反证法证明a与α没有公共点即可．
探究2 以上是直线和平面平行的判定定理．通过它可以利用直线间的平行推证直线与平面平行，这是处理立体图形的一种常用方法．即将直线与平面间关系的问题转化为直线间关系的问题来解决
思考题2 (1)如果直线a∥平面α，那么a与α内的( )
A．一条直线不相交
B．两条相交直线不相交
C．一组与a平行的直线不相交
D．任意一条直线都不相交
(2)若a∥α，b∥α，则a、b的关系是________．
(3)若a、b异面，a∥α，则b与α的关系是________．
(4)若a、b相交，a∥α，则b与α的关系为________．
探究3 本题利用淘汰法，即排除错误的选项，剩下的一个选项就是正确的．有关位置关系的判断问题，常用分类讨论的方法解决，分类时要做到“不重也不漏”．
思考题3 (1)判断下列说法是否正确：
①三角形中两条边在同一平面内，则第三条边也在该平面内．
②四边形中三个点共面，则第四个点也在该平面内．
(2)①若a?α，b∥α，则a、b的关系为________．
②若a?α，b∥a，则b与α的关系为________．
题型四 看图说事
例4 如图所示，O是正方体ABCD－A1B1C1D1底面对角线AC与BD的交点，
(1)指出直线B1O与平面A1DC1的位置关系(不需证明)；
(2)指出直线B1O与平面A1DA的位置关系(不需证明)；
(3)在由正方体8个顶点确定的平面中，哪些平面经过直线B1O.
思考题4 如图，四棱锥P－ABCD中，E是PC中点，底面ABCD是正方形．
①由四棱锥的顶点共可确定________个平面；
②PA和平面BED的位置关系为________；
③在过D的平面中，有________个与PA相交，有________个经过PA.
题型五 空间的划分
例5 三个平面将空间划分成几个部分？
课堂检测
1．过平面外一点，可作这个平面的平行线条数为( )
A．1条 B．2条
C．无数条 D．不确定
2．下列命题中正确的个数是( )
①如果a、b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；
②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直平行；
③如果直线a、b满足a∥α，b∥α，那么直线a∥b；
④如果直线a、b和平面α满足a∥b，a∥α，b?α，那么b∥α；
⑤如果a与平面α内的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α；
⑥如果平面α的同侧有两点A、B到平面α的距离相等，那么直线AB∥α.
A．0 B．1 C．2 D．3
3．若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线( )
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行或异面
4．过平面α外直线l上一点A，可作与α平行的平面的个数为( )
A．0 B．1
C．0或1 D．其他
5．已知a、b为不垂直的异面直线，α为一个平面，则a、b在α上的射影可能是
①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及线外一点．
在上面结论中，正确的结论编号为________(写出所有正确结论的编号)．
