2024-2025学年河北省石家庄市晋州一中高一（下）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年河北省石家庄市晋州一中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则必有（　　）
A. B. 0 A C. 0∈A D. 2∈A
2.已知，是非零平面向量，则“ ＜2”是“||＜||”的（　　）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.下列结论中正确的是（　　）
A. 所有的集合都可以用列举法表示
B. 集合{ }表示空集
C. 集合A={（x,y）|y=x2+1}，B={y|y=x2+1}，则A=B
D. 已知（x-y）2＞0，P={x,y}，Q={y,x}，则P=Q
4.已知a＞b＞0，则下列说法错误的是（　　）
A. B. |a|＞|b| C. a2＞b2 D.
5.已知 x∈R，不等式（m2-4）x2-（m-2）x+＞0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A. m∈[2，6] B. m∈[2，6）∪{-2}
C. m=2 D. m∈[2，6）
6.下列图象中，表示定义域、值域均为[0，1]的函数是（　　）
A. B.
C. D.
7.下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（　　）
A. B. C. y=x3 D. y=sinx
8.已知函数是上的减函数，那么 的取值范围是（　　）
A. B.
C. [， D. （，）
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列四个命题：其中不正确的命题为（　　）
A. {0}是空集 B. 若a∈N，则-a N
C. 集合{x∈R|x2-2x+1=0}中只有一个元素 D. 集合是有限集
10.若正实数a,b满足a+b=1，则下列说法正确的是（　　）
A. ab有最小值 B. 有最大值
C. 有最小值 D. a2+b2有最小值
11.已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A. 函数f（x）的定义域为R
B. 函数f（x）的值域为（-1，1）
C. 函数f（x）的图象关于y轴对称
D. 函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设命题p： x0∈R，x02+ax0+a≤0．若p为假命题，则实数a的取值范围是______．
13.已知函数y=f（x）定义域为R且满足①y=f（x+2）为偶函数；②任意x≥2，y≥2都有f（x+y）-1=f（x）+f（y）成立；③ x1，x2∈[2，+∞），x1≠x2，都有，请给出满足上述三个性质的一个函数为______.
14.一天，小明从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到书后以原速的快步赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小明被爸爸追上时交流时间忽略不计）．两人之间相距的路程y（米）与小明从家出发到学校的步行时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为______米．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}．
（1）若A∪B=A，求实数m的取值范围；
（2）当A={x∈Z|-2≤x≤5}时，求A的非空真子集的个数；
（3）若A∩B= ，求实数m的取值范围．
16.(本小题12分)
已知幂函数f（x）=xα的图象过点（2，4）.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若不等式t≤f（x）+2x对任意的x∈R恒成立，求实数t的取值范围.
17.(本小题12分)
已知x＞0，y＞0，且2x+8y-xy=0，求：
（1）xy的最小值；
（2）x+y的最小值．
18.(本小题12分)
对于定义域为I的函数，如果存在区间[m,n] I，同时满足下列两个条件：
①f（x）在区间[m,n]上是单调的；
②当定义域是[m,n]时，f（x）的值域也是[m,n]．则称[m,n]是函数y=f（x）的一个“黄金区间”．
（1）请证明：函数y=1-（x＞0）不存在“黄金区间”．
（2）已知函数y=x2-4x+6在R上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”．
（3）如果[m,n]是函数y=（a≠0）的一个“黄金区间”，请求出n-m的最大值．
19.(本小题12分)
已知定义域为R的函数是奇函数.
（1）求a,b的值；
（2）证明：f（x）在（-∞，+∞）上为减函数；
（3）若对于任意t∈[0，1]，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求k的范围.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】ABD
10.【答案】BCD
11.【答案】ABD
12.【答案】（0，4）
13.【答案】（答案不唯一）
14.【答案】2080
15.【答案】解：（1）集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}．A∪B=A，
∴B A，
当B= 时，m+1＞2m-1，解得m＜2，
当B≠ 时，，解得2≤m≤3，
∴实数m的取值范围是（-∞，3]．
（2）当A={x∈Z|-2≤x≤5}时，
A={-2，-1，0，1，2，3，4，5}，
A的非空真子集的个数为28-2=254．
（3）∵A∩B= ，
∴当B= 时，m+1＞2m-1，解得m＜2，
当B≠ 时，或，
解得m＞4，
综上，实数m的取值范围是（-∞，2）∪（4，+∞）．
16.【答案】f（x）=x2；
（-∞，-1]．
17.【答案】解：（1）∵x＞0，y＞0，2x+8y-xy=0，
∴xy=2x+8y≥2，
∴≥8，∴xy≥64．当且仅当x=4y=16时取等号，
故xy的最小值为64．
（2）由2x+8y=xy，得：+=1，
又x＞0，y＞0，
∴x+y=（x+y） =10++≥10+=18，
当且仅当x=2y=12时取等号，
故x+y的最小值为18．
18.【答案】（1）证明：由函数y=1-为（0，+∞）上的增函数，
则有，
所以1-=x,即x2-x+1=0，无解，
所以函数y=1-（x＞0）不存在“黄金区间”．
（2）解：记[m,n]是函数y=x2-4x+6的一个“黄金区间”（m＜n），
由y=（x-2）2+2≥2及此时函数的值域为[m,n]，
所以m≥2，
又其图象的对称轴为x=2，
所以y=x2-4x+6在[m,n]上必为单调递增函数，
令x2-4x+6=x,解得x=2或x=3，
故该函数有唯一的一个“黄金区间”[2，3]．
（3）解：由y==在（-∞，0）和（0，+∞）上均为增函数，
已知f（x）在“黄金区间”[m,n]上单调，
所以[m,n] （-∞，0）或[m,n] （0，+∞），且f（x）在[m,n]上为单调递增，
故，
即m,n为方程=x的两个同号的实数根，
即方程a2x2-（a2+a）x+1=0有两个同号的实数根，
注意到，
则只要Δ=（a2+a）2-4a2＞0，解得a＜-3或a＞1，
由韦达定理可得，m+n=，，
所以==，
其中a＞1或a＜-3，
所以当a=3时，n-m取得最大值．
19.【答案】解：（1）∵f（x）为R上的奇函数，
∴f（0）=0=，
∴b=1，
又f（-1）=-f（1），则=-，
则a=1，
经检验a=1，b=1符合题意；
（2）任取x1＜x2，
则=，
∵x1＜x2，
∴＞0，1+2＞0，1+2＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，
∴f（x）为R上的减函数．
（3）∵不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0 恒成立，
∴f（t2-2t）＜-f（2t2-k），
∴f（x）为奇函数，
∴f（t2-2t）＜f（k-2t2），
∵f（x）为减函数，
∴t2-2t＞k-2t2，
即k＜3t2-2t恒成立，而，
∴，
故k的取值范围为{k|k＜-}．
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