2024-2025学年湖南省永州市雅思高级中学高二（下）期中数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年湖南省永州市雅思高级中学高二（下）期中数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 127.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-24 10:49:28 | ||
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文档简介
2024-2025学年湖南省永州市雅思高级中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.有8位同学一次数学测试的分数分别是：111，118，125，130，130，132，136，140，则这组数据的75百分位数是（ ）
A. 130 B. 132 C. 134 D. 136
2.已知集合，，则A∩B=（ ）
A. B. C. D.
3.已知向量，满足，，且，则在方向上的投影向量为（ ）
A. 3 B. -3 C. -3a D. -a
4.若数列{nan}的前n项和Tn=2n（n+1）（2n+1），则数列{an}的前n项和Sn=（ ）
A. n2+11n B. C. 6n2+6n D. -6n2+12n
5.已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l,过E上的一点A作l的垂线，垂足为B，若|AB|=3|OF|（O为坐标原点），且△ABF的面积为，则E的方程为（ ）
A. y2=4x B. C. y2=8x D.
6.设A，B为两个事件，已知，则P（A|B）=（ ）
A. B. C. D.
7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,2asinA-bsinB=3csinC，若S表示△ABC的面积，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8.已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为k（k≠0）的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D.若，则双曲线的离心率取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.2023年10月份诺贝尔奖获奖名单已经全部揭晓，某校为调研同学们对诺贝尔奖获奖科学家的了解程度，随机调查了该校不同年级的8名同学所知道的获得过诺贝尔奖的科学家人数，得到一组样本数据：1，1，2，4，1，4，1，2，则（ ）
A. 这组数据的众数为1 B. 这组数据的极差为2
C. 这组数据的平均数为2 D. 这组数据的40%分位数为1
10.已知点M在圆x2+y2+2x-3=0上，点P（0，1），Q（1，2），则（ ）
A. 存在点M，使得|MP|=1 B. ∠MQP≤
C. 存在点M，使得|MP|=|MQ| D. |MQ|=|MP|
11.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的右顶点为A，直线l与以O为圆心，|OA|为半径的圆相切，切点为P.则（ ）
A. 双曲线C的离心离为
B. 当直线OP与双曲线C的一条渐近线重合时，直线l过双曲线C的一个焦点
C. 当直线l与双曲线C的一条渐近线平行时，若直线l与双曲线C的交点为Q，则
D. 若直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于D，E两点，与双曲线C分别交于M，N两点，则|DM|=|EN|
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知单位圆x2+y2=1上一点，现将点A绕圆心逆时针旋转到点B，则点B的横坐标为______.
13.在数列{an}中，a1=1，an+an+1=en，其中e是自然对数的底数，令Sn=a1+，则ln= ______.
14.已知函数f（x）=a（x-x1）（x-x2）（x-x3）（a＞0），设曲线y=f（x）在点（xi，f（xi））处切线的斜率为ki（i=1，2，3），若x1，x2，x3均不相等，且k2=-2，则k1+4k3的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共25分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题5分)
如图，已知平面四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=2，AD=4.
（1）若A，B，C，D四点共圆，求AC；
（2）求四边形ABCD面积的最大值.
16.(本小题5分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，PD⊥AB，AD∥BC，AD=4，AB=BC=2，M为PA的中点.
（1）证明：DM⊥平面PAB；
（2）求直线PB与平面MCD所成角的正弦值.
17.(本小题5分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn=3n2+5n,数列{bn}是等比数列，公比q＞0，b1=6，b3=2a3+4.
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）设数列{cn}满足c1=1，cn=，其中k∈N*.
（i）求数列{cn}的前2024项和；
（ii）求.
18.(本小题5分)
某学校为了了解老师对“民法典”知识的认知程度，针对不同年龄的老师举办了一次“民法典”知识竞答，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：[20，25），第二组：[25，30），第三组：[30，35），第四组：[35，40），第五组：[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.
（1）根据频率分布直方图，估计这m人年龄的第75百分位数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取40人，担任“民法典”知识的宣传使者.
①若有甲（年龄23），乙（年龄43）两人已确定人选宣传使者，现计划从第一组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人恰有一人被选上的概率；
②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和1，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和2，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄的方差.
19.(本小题5分)
已知函数f（x）=ax+ln（x+1）.
（1）若a=-2，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≤0恒成立，求a的取值集合.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】ACD
10.【答案】ABD
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】1-n
14.【答案】18
15.【答案】解：（1）在△ABC中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC2-2AB BCcos∠ABC=8+8-2×8 cos∠ABC=16-16cos∠ABC，
在△ACD中，由余弦定理得：AC2=AD2+CD2-2AD CDcos∠ADC=16+4-2×8 cos∠ADC=20-16cos∠ADC，
因为A，B，C，D四点共圆，
所以∠ABC+∠ADC=π，
因此cos∠ADC=-cos∠ABC，
上述两式相加得：2AC2=36，得；
（2）由（1）得：16-16cos∠ABC=20-16cos∠ADC，化简得，①
四边形ABCD的面积，整理得，②
由①②两边分别平方然后相加得：，
由于0＜∠ADC＜π，0＜∠ABC＜π，当且仅当∠ADC+∠ABC=π时，cos（∠ADC+∠ABC）取得最小值-1，此时四边形ABCD的面积最大，
由，得，
故四边形ABCD面积的最大值为．
16.【答案】（1）证明：设AD中点为O，连接PO，△PAD为等边三角形，故PO⊥AD，
由题意知平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
PO 平面PAD，故PO⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，
故PO⊥AB，又PD⊥AB，PO∩PD=P，PO，PD 平面PAD，
故AB⊥平面PAD，DM 平面PAD，故AB⊥DM，
又M为PA的中点，△PAD为等边三角形，则DM⊥PA，
AB∩PA=A，AB，PA 平面PAB，
所以DM⊥平面PAB；
（2）解：由（1）知AB⊥平面PAD，AD 平面PAD，故AB⊥AD，
连接CO，，则AO∥BC，AO=BC，
即四边形AOCB为平行四边形，故OC∥AB，所以OC⊥AD，
故以O为坐标原点，OC，OD，OP所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面MCD的一个法向量为，则，
即，令y=1，则，
=1×2+1×（-2）+×（-2）=-6，||==，||==2，
所以cos＜，＞===-，
设直线PB与平面MCD所成角为，
所以sinθ=|cos＜，＞|=．
17.【答案】解：（1）当n=1时，2S1=2a1=8 a1=4，
当n≥2时，，
所以an=Sn-Sn-1=3n+1，
显然a1符合上式，
所以an=3n+1，
由题意，
所以．
（2）（i）易知210=1024，211=2048＞2024，
即数列{cn}的前2024项中有10项分别为c2=b1，c4=b2，…，c512=b9，c1024=b10，其余项均为1，
故数列{cn}的前2024项和；
（ii）由（1）知，而，
所以，
易知，，
所以．
18.【答案】解：（1）不妨设第75百分位数为a,
此时5×（0.01+0.07+0.06）+（a-35）×0.04=0.75，
解得a=36.25；
（2）①易知第一组应抽取2人，记为A，甲，
第五组抽取4人，记为B，C，D，乙，
此时对应的样本空间为Ω={（A，B），（A，C），（A，甲），（A，乙），（A，D），（B，C），（B，甲），（B，乙），（B，D），（C，甲），（C，乙），（C，D），（甲，乙）（甲，D），（乙，D）}，共15个样本点，
记“甲、乙两人至少一人被选上”为事件M，
此时M={（A，甲），（A，乙），（B，甲），（B，乙），（C，甲），（C，乙），（甲，D），（乙，D）}，共8个样本点，
则甲、乙两人恰有一人被选上的概率P（M）=；
②设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为s2，s′2，
此时=36，=42，s2=1，s′2=2，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为s″2，
此时=+=38，s″2==，
故这m人中35～45岁所有人的年龄的方差约．
19.【答案】解：（1）函数f（x）=ax+ln（x+1），定义域为（-1，+∞），
当a=-2时，f（x）=-2x+ln（x+1），f'（x）=-2+=．
由f'（x）＞0得-1＜x＜-，
由f'（x）＜0得x＞-，
所以f（x）的单调增区间是（-1，-），f（x）的单调减区间是（-，+∞）；
（2）由f（x）=ax+ln（x+1），x∈（-1，+∞），得，
若a＞0，则f（2）=2a+ln3＞0，不符合题意．
若a＜0，令f'（x）=0，解得，
则当x∈（-1，-）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（-，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
当，即-1＜a＜0时，由f（0）=0，可得当x∈（0，-）时，f（x）＞0，不符合题意．
当，即a＜-1时，由f（0）=0，可得当x∈（-，0）时，f（x）＞0，不符合题意．
当，即a=-1时，可知f（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，则f（x）max=f（0）=0，符合题意，
故a的取值集合为{-1}．
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.有8位同学一次数学测试的分数分别是：111，118，125，130，130，132，136，140，则这组数据的75百分位数是（ ）
A. 130 B. 132 C. 134 D. 136
2.已知集合，，则A∩B=（ ）
A. B. C. D.
3.已知向量，满足，，且，则在方向上的投影向量为（ ）
A. 3 B. -3 C. -3a D. -a
4.若数列{nan}的前n项和Tn=2n（n+1）（2n+1），则数列{an}的前n项和Sn=（ ）
A. n2+11n B. C. 6n2+6n D. -6n2+12n
5.已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l,过E上的一点A作l的垂线，垂足为B，若|AB|=3|OF|（O为坐标原点），且△ABF的面积为，则E的方程为（ ）
A. y2=4x B. C. y2=8x D.
6.设A，B为两个事件，已知，则P（A|B）=（ ）
A. B. C. D.
7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,2asinA-bsinB=3csinC，若S表示△ABC的面积，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8.已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为k（k≠0）的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D.若，则双曲线的离心率取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.2023年10月份诺贝尔奖获奖名单已经全部揭晓，某校为调研同学们对诺贝尔奖获奖科学家的了解程度，随机调查了该校不同年级的8名同学所知道的获得过诺贝尔奖的科学家人数，得到一组样本数据：1，1，2，4，1，4，1，2，则（ ）
A. 这组数据的众数为1 B. 这组数据的极差为2
C. 这组数据的平均数为2 D. 这组数据的40%分位数为1
10.已知点M在圆x2+y2+2x-3=0上，点P（0，1），Q（1，2），则（ ）
A. 存在点M，使得|MP|=1 B. ∠MQP≤
C. 存在点M，使得|MP|=|MQ| D. |MQ|=|MP|
11.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的右顶点为A，直线l与以O为圆心，|OA|为半径的圆相切，切点为P.则（ ）
A. 双曲线C的离心离为
B. 当直线OP与双曲线C的一条渐近线重合时，直线l过双曲线C的一个焦点
C. 当直线l与双曲线C的一条渐近线平行时，若直线l与双曲线C的交点为Q，则
D. 若直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于D，E两点，与双曲线C分别交于M，N两点，则|DM|=|EN|
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知单位圆x2+y2=1上一点，现将点A绕圆心逆时针旋转到点B，则点B的横坐标为______.
13.在数列{an}中，a1=1，an+an+1=en，其中e是自然对数的底数，令Sn=a1+，则ln= ______.
14.已知函数f（x）=a（x-x1）（x-x2）（x-x3）（a＞0），设曲线y=f（x）在点（xi，f（xi））处切线的斜率为ki（i=1，2，3），若x1，x2，x3均不相等，且k2=-2，则k1+4k3的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共25分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题5分)
如图，已知平面四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=2，AD=4.
（1）若A，B，C，D四点共圆，求AC；
（2）求四边形ABCD面积的最大值.
16.(本小题5分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，PD⊥AB，AD∥BC，AD=4，AB=BC=2，M为PA的中点.
（1）证明：DM⊥平面PAB；
（2）求直线PB与平面MCD所成角的正弦值.
17.(本小题5分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn=3n2+5n,数列{bn}是等比数列，公比q＞0，b1=6，b3=2a3+4.
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）设数列{cn}满足c1=1，cn=，其中k∈N*.
（i）求数列{cn}的前2024项和；
（ii）求.
18.(本小题5分)
某学校为了了解老师对“民法典”知识的认知程度，针对不同年龄的老师举办了一次“民法典”知识竞答，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：[20，25），第二组：[25，30），第三组：[30，35），第四组：[35，40），第五组：[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.
（1）根据频率分布直方图，估计这m人年龄的第75百分位数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取40人，担任“民法典”知识的宣传使者.
①若有甲（年龄23），乙（年龄43）两人已确定人选宣传使者，现计划从第一组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人恰有一人被选上的概率；
②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和1，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和2，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄的方差.
19.(本小题5分)
已知函数f（x）=ax+ln（x+1）.
（1）若a=-2，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≤0恒成立，求a的取值集合.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】ACD
10.【答案】ABD
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】1-n
14.【答案】18
15.【答案】解：（1）在△ABC中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC2-2AB BCcos∠ABC=8+8-2×8 cos∠ABC=16-16cos∠ABC，
在△ACD中，由余弦定理得：AC2=AD2+CD2-2AD CDcos∠ADC=16+4-2×8 cos∠ADC=20-16cos∠ADC，
因为A，B，C，D四点共圆，
所以∠ABC+∠ADC=π，
因此cos∠ADC=-cos∠ABC，
上述两式相加得：2AC2=36，得；
（2）由（1）得：16-16cos∠ABC=20-16cos∠ADC，化简得，①
四边形ABCD的面积，整理得，②
由①②两边分别平方然后相加得：，
由于0＜∠ADC＜π，0＜∠ABC＜π，当且仅当∠ADC+∠ABC=π时，cos（∠ADC+∠ABC）取得最小值-1，此时四边形ABCD的面积最大，
由，得，
故四边形ABCD面积的最大值为．
16.【答案】（1）证明：设AD中点为O，连接PO，△PAD为等边三角形，故PO⊥AD，
由题意知平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
PO 平面PAD，故PO⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，
故PO⊥AB，又PD⊥AB，PO∩PD=P，PO，PD 平面PAD，
故AB⊥平面PAD，DM 平面PAD，故AB⊥DM，
又M为PA的中点，△PAD为等边三角形，则DM⊥PA，
AB∩PA=A，AB，PA 平面PAB，
所以DM⊥平面PAB；
（2）解：由（1）知AB⊥平面PAD，AD 平面PAD，故AB⊥AD，
连接CO，，则AO∥BC，AO=BC，
即四边形AOCB为平行四边形，故OC∥AB，所以OC⊥AD，
故以O为坐标原点，OC，OD，OP所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面MCD的一个法向量为，则，
即，令y=1，则，
=1×2+1×（-2）+×（-2）=-6，||==，||==2，
所以cos＜，＞===-，
设直线PB与平面MCD所成角为，
所以sinθ=|cos＜，＞|=．
17.【答案】解：（1）当n=1时，2S1=2a1=8 a1=4，
当n≥2时，，
所以an=Sn-Sn-1=3n+1，
显然a1符合上式，
所以an=3n+1，
由题意，
所以．
（2）（i）易知210=1024，211=2048＞2024，
即数列{cn}的前2024项中有10项分别为c2=b1，c4=b2，…，c512=b9，c1024=b10，其余项均为1，
故数列{cn}的前2024项和；
（ii）由（1）知，而，
所以，
易知，，
所以．
18.【答案】解：（1）不妨设第75百分位数为a,
此时5×（0.01+0.07+0.06）+（a-35）×0.04=0.75，
解得a=36.25；
（2）①易知第一组应抽取2人，记为A，甲，
第五组抽取4人，记为B，C，D，乙，
此时对应的样本空间为Ω={（A，B），（A，C），（A，甲），（A，乙），（A，D），（B，C），（B，甲），（B，乙），（B，D），（C，甲），（C，乙），（C，D），（甲，乙）（甲，D），（乙，D）}，共15个样本点，
记“甲、乙两人至少一人被选上”为事件M，
此时M={（A，甲），（A，乙），（B，甲），（B，乙），（C，甲），（C，乙），（甲，D），（乙，D）}，共8个样本点，
则甲、乙两人恰有一人被选上的概率P（M）=；
②设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为s2，s′2，
此时=36，=42，s2=1，s′2=2，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为s″2，
此时=+=38，s″2==，
故这m人中35～45岁所有人的年龄的方差约．
19.【答案】解：（1）函数f（x）=ax+ln（x+1），定义域为（-1，+∞），
当a=-2时，f（x）=-2x+ln（x+1），f'（x）=-2+=．
由f'（x）＞0得-1＜x＜-，
由f'（x）＜0得x＞-，
所以f（x）的单调增区间是（-1，-），f（x）的单调减区间是（-，+∞）；
（2）由f（x）=ax+ln（x+1），x∈（-1，+∞），得，
若a＞0，则f（2）=2a+ln3＞0，不符合题意．
若a＜0，令f'（x）=0，解得，
则当x∈（-1，-）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（-，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
当，即-1＜a＜0时，由f（0）=0，可得当x∈（0，-）时，f（x）＞0，不符合题意．
当，即a＜-1时，由f（0）=0，可得当x∈（-，0）时，f（x）＞0，不符合题意．
当，即a=-1时，可知f（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，则f（x）max=f（0）=0，符合题意，
故a的取值集合为{-1}．
第1页，共1页
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