2024-2025学年湖南省株洲二中高二（下）期中数学试卷（B卷）(含简略答案)

2024-2025学年湖南省株洲二中高二（下）期中数学试卷（B卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数y=x-cos（2x-1）的导数为（　　）
A. y′=1-sin（2x-1） B. y′=1+sin（2x-1）
C. y′=1-2sin（2x-1） D. y′=1+2sin（2x-1）
2.在等差数列{an}中，若a2+a8=10，a4=4，则公差d=（　　）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
3.某班级要从3名男生和2名女生中选取2位学生分别担任正、副班长，则至少有一名女生被选中的不同选法有（　　）种.
A. 7 B. 10 C. 14 D. 16
4.在的展开式中，x3的系数为（　　）
A. 10 B. 15 C. 20 D. 40
5.某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为，则智能客服的回答被采纳的概率为（　　）
A. B. C. D.
6.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4=48，S8=60，则S12=（　　）
A. 83 B. 108 C. 75 D. 63
7.设随机变量X～N（3，10），a=P（X＜3），，c=ln3-ln2，则（　　）
A. c＜a＜b B. c＜b＜a C. a＜c＜b D. b＜c＜a
8.已知函数，g（x）=x2-4x+3，若对于任意的x1∈（0，+∞），总存在x2∈[0，1]，使得f（x1）≥g（x2）成立，则实数a的取值范围是（　　）
A. 0＜a≤4 B. a=4 C. 0＜a≤2 D. a=2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知随机变量X～N（2，σ2），若P（X≤0）=0.1，则（　　）
A. P（X≤2）=0.5 B. P（X≤4）=0.9
C. P（2≤X≤4）=0.3 D. D（2X+2）=4σ2
10.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为M（x0，y0），则下列说法中正确的有（　　）
A. 若直线l过焦点F，则|AF| |BF|的最小值为2
B. 若E（3，1），则|AE|-|AF|的最大值为5
C. 若直线AB的斜率存在，则其斜率与x0无关，与y0有关
D. 若O为坐标原点，直线l的方程为y=k（x-4），则
11.设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，a5=18.则下列说法正确的是（　　）
A. 若{an}为等差数列，则a3=10
B. 若{an}为等差数列，则
C. 若{an}为等比数列，则a3=6或-6
D. 若{an}为等比数列，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线的右焦点为F，一条渐近线被以点F为圆心，2a为半径的圆截得的弦长为2a,则双曲线C的离心率为______.
13.在我市的一项竞赛活动中，某县的三所学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生排成一排合影，要求同校任意两名学生不能相邻，那么不同的排法有______种.（用数字作答）
14.设函数f（x）=（ex-ax）（2lnx-ax2-1），若f（x）≤0，则a的取值范围为______.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知数列{an}的前n项和为.
（1）求a1，a2的值；
（2）求{an}的通项公式an；
（3）设，Tn是数列{bn}的前n项和，求Tn.
16.(本小题12分)
袋子A和B中都装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出1个红球的概率是，从B中摸出1个红球的概率为p.
（1）从A中有放回地摸球，每次摸出1个，有3次摸到红球即停止.
①求恰好摸5次停止的概率；
②记5次之内（含5次）摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列.
（2）若A，B两个袋子中的球数之比为1：2将A，B中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是，求p的值.
17.(本小题12分)
已知函数.
（1）若a=2，求函数f（x）在（1，e2）上的零点个数；
（2）若f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），求证：.
18.(本小题12分)
如图，在体积为的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，△A1AC是边长为2的正三角形.
（1）求证：平面ACC1A1⊥平面BDD1B1.
（2）求A1C与平面BDD1B1所成角的正弦值.
19.(本小题12分)
已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为A1，A2，过点T(4,0)的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点.
（1）求双曲线的方程；
（2）记直线A1M，A2N的斜率分别为k1，k2，证明：是定值；
（3）设G为直线A1M和A2N的交点，记△GMN，△GA1A2的面积分别为S1，S2，求的最小值.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】ABD
10.【答案】CD
11.【答案】AB
12.【答案】2
13.【答案】120
14.【答案】[，e]
15.【答案】a1=1，a2=2；
an=n；
．
16.【答案】．
17.【答案】有一个零点；
证明：先证x1+x2＞2，
依题设有，
于是，
记，t＞1，则，故，
，，
记函数，x＞1，
则，g（x）在（1，+∞）上单调递增，g（t）＞g =0，
又lnt＞0，所以x1+x2＞2，
再证，
f（x）=0 h（x）=ax-1-xlnx=0，故x1，x2也是h（x）的两个零点，
由h′（x）=a-1-lnx=0，得x=ea-1，
当x＜ea-1时，h′（x）＞0；
当x＞ea-1时，h′（x）＜0，
由 知p是h（x）的唯一最大值点，故有，
记函数，
则，故φ（x）在（0，+∞）上单调递增，
故当x＞p时，φ（x）＞φ（p）=0；
当0＜x＜p时，φ（x）＜0，
于是，
整理，得，
即，
同理，，
故，
，
于是，
综上，．
18.【答案】证明：设四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高为h，
因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，且AC=2，
所以正方形ABCD的面积为2．因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为，
所以，得，
即点A1到平面ABCD的距离为．
连接A1O，因为△A1AC是边长为2的正三角形，所以，
即A1O为点A1到平面ABCD的距离，
所以A1O⊥平面ABCD．
因为BC 平面ABCD，所以A1O⊥BD．
在正方形ABCD中，BD⊥AC．
因为A1O∩AC=O，所以BD⊥平面ACC1A1．因为BD 平面BDD1B1，
所以平面ACC1A1⊥平面BDD1B1；
．
19.【答案】解：（1）由双曲线的焦距为，
得，解得a2=4，
所以双曲线C的方程为．
（2）依题意，设直线l的方程为x=my+4，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
由，消去x并整理得(m2-4)y2+8my+12=0，
由直线l与双曲线的右支交于M，N两点，得可得，
解得-2＜m＜2，
则，，即2my1y2=-3(y1+y2)，
而A1(-2,0)，A2(2,0)，
所以
=为定值．
（3）由（2）知k2=-3k1，直线A1M：y=k1(x+2)，直线A2N：y=-3k1(x-2)，
则点G的横坐标为xG=1，
于是
=，当且仅当m=0时取等号，
所以的最小值为3．
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