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16.1.1 同底数幂的乘法
第十六章 整式的乘法
人教版(新教材)数学八年级上册
理解并掌握同底数幂的乘法法则，能够运用同底数幂的乘法法则进行相关计算.
体会数式通性和从具体到抽象的数学方法在研究数学问题中的作用.
经历探究和运用同底数幂的乘法法则的过程，感知数学归纳、转化等数学思想方法.
核
心
素
养
目
标
目录
CONTENT
情景引入
1
合作探究
2
典例分析
3
巩固练习
4
归纳总结
5
感受中考
6
小结梳理
7
布置作业
8
复习引入
有理数
整数
分数
加
减
乘
除
用字母表示数
代数式
整式
···
加
减
乘
除
乘方
类比
数式通性
复习引入
代数式
整式
···
加
减
乘
除
整式的乘法
多项式乘多项式
单项式乘多项式
单项式乘单项式
复习引入
你会列式表示下列绿地的面积吗？
转化
=
=
=
分配律
转化
单项式乘单项式
单项式乘多项式
多项式乘多项式
复习引入
变式 你会列式表示下列绿地的面积吗？
边长扩大为原来的a倍
边长扩大为原来的b倍
同底数幂的乘法
幂的乘方
积的乘方
合作探究
(1)
(2)
(3) (m，n是正整数)
猜想= (m，n是正整数)
探究 根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律
7
5
m+n
合作探究
m个a
n个a
(m+n)个a
证明
乘方的意义
乘法结合律
乘方的意义
合作探究
(1)
(2)
(3) (m，n是正整数)
= (m，n是正整数)
探究 观察以下各式的结果与原式，底数和指数分别有什么规律？
追问1 你能用文字语言描述这个规律吗？
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
追问2 在探究过程中，体会到了什么数学思想方法？
特殊
一般
合作探究
am · an = am+n (m，n 都是正整数).
文字语言：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
同底数幂的乘法的运算性质
一般地，对于任意底数与任意正整数，，我们有：
合作探究
证明
.
猜想 = .(m，n，p都是正整数)
同底数幂乘法的运算性质
乘法结合律
典例分析
例1 一种电子计算机每秒可进行1亿亿(1016)次运算，它工作103s可进行多少次运算
解 它工作103s可进行运算的次数为1016×103.
∵1016×103=1016+3=1019，
∴它工作103s可进行1019次运算.
典例分析
例2 计算：
(1) x2·x5 ； (2) a·a6 ； (3) ( 2)×( 2)4×( 2)3 ； (4) xm·x3m+1 .
a=a1
解 (1)原式= x2+5=x7 ；
(2)原式=a1+6=a7 ；
(3)原式=( 2)1+4+3=( 2)8=256 ；
(4)原式=xm+3m+1=x4m+1.
巩固练习
1. 下面的计算是否正确 如果不正确，应当怎样改正
(1) a3·a2=a6 ； (2) a·a3=a0+3=a3 ；
(3) m3·m3=2m3 ； (4) x2m·x4n 2=x2m+4n 2 .
原式=a5
原式=a1+3=a4
原式=m6
不正确
不正确
不正确
正确
巩固练习
2.下列计算正确的是( )
;
.
D
3. 计算：
(1) a2·a6 ； (2) b5·b ； (3) y2n·yn+1 ； (4).
巩固练习
解 （1）原式 =.
（2）原式 =.
（3）原式 =.
（4）原式 = .
4. 计算：
(2).
(1);
解 (1)原式 ;
(2)原式 =.
整体
转化
巩固练习
5. 填空：
巩固练习
性质的逆用
(m，n 都是正整数).
归纳总结
幂的运算——同底数幂的乘法 法则 文字 同底数幂相乘，底数 ，指数 .
符号 am · an = (m，n 都是正整数).
推广 = .(m，n，p都是正整数) (m，n 都是正整数). 逆用 不变
相加
am+n
am · an
感受中考
1.(2025 ·湖南)计算a3·a4的结果是( )
A. 2a7 B. a7
C. 2a4 D. a12
B
感受中考
2.(2023·四川德阳)已知3x=y，则3x+1=( )
A．y B．1+y
C．3+y D．3y
D
感受中考
3.(2022·湖北随州)2022年6月5日10时44分07秒，神舟14号飞船成功发射，将陈冬、刘洋、蔡旭哲三位宇航员送入了中国空间站．已知中国空间站绕地球运行的速度约为7.7×103m/s，则中国空间站绕地球运行2×102s走过的路程（m）用科学记数法可表示为( )
A．15.4×105 B．1.54×106 C．15.4×106 D．1.54×107
B
感受中考
4.(2022·河南)《孙子算经》是我国传统数学的重要著作，书中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆.”说明了大数之间的关系，1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，那么1兆等于( )
A B C D
C
幂的运算
同底数幂的乘法
幂的乘方
小结梳理
积的乘方
同底数幂的除法
am · an =am+n
布置作业
必做题：习题16.1 第1题，第7题.
1
探究性作业：
从四个单项式中任选两个，构造加法、减法或乘法算式，并计算.
2
人教版八年级上册
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16.1.1 同底数幂的乘法 教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本课是在学生已经学习了数的乘方的基础上，进一步研究同底数幂的乘法的性质，为后续学习整式乘法的计算打基础。
2. 内容分析
整式的乘法以单项式的乘法为基础，而单项式的乘法又以幂的运算为基础，所以同底数幂的乘法在整式的乘法中具有基础地位，同底数幂的乘法的学习经历为后续学习幂的乘方和积的乘方提供重要的经验保障，学好了同底数幂的乘法，对幂的乘方和积的乘方以及整式的乘除法的学习形成了正迁移。
本节课的主要内容是在大单元教学的理念下，先建构知识结构，说明同底数幂的乘法是整式的乘法的“基础的基础”；然后经历观察、猜想、验证、归纳的过程，得出同底数幂的乘法的运算性质，并能熟练掌握运用运算性质进行拓展和应用。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：同底数幂的乘法的运算性质。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）理解并掌握同底数幂的乘法法则，能够运用同底数幂的乘法法则进行相关计算。
（2）体会数式通性和从具体到抽象的数学方法在研究数学问题中的作用。
（3）经历探究和运用同底数幂的乘法法则的过程，感知数学归纳、转化等数学思想方法。
2. 目标解析
（1）学生能根据乘方的意义推导出同底数幂的乘法的运算性质，会用符号语言和文字语言描述这个性质，会用性质进行同底数幂的乘法计算。
（2）学生在发现和推导法则的过程中，认识到具体例子在发现结论的过程中所起的作用，体会从“数”到“式”的过渡，体会数式通性在推导结论时的意义。
（3）经历探索同底数幂的乘法的运算性质的过程，掌握解决规律性问题的一般思路，进一步培养学生的观察、猜想、验证和概括的能力。
三、教学问题诊断分析
学生已经学过有理数的加减乘除及乘方运算、整式的概念和加减运算，从数式通性的角度而言，学生学习同底数幂的乘法的基础是很牢固的。学生已经体会过类比、分类、归纳、整体、转化等数学思想方法，具备了学习本课时内容的较好基础。
七年级上学期，学生已经掌握了用字母表示数，会把简单问题中的数量关系用代数式表示出来，并会利用去括号和合并同类项进行整式的加减。但是用字母表示幂抽象程度较高，不易理解，所以在教学时，要引导学生复习乘方的意义，从数式通性的角度理解字母表示的幂的意义，进而明白算理。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：同底数幂的乘法的运算性质的理解与推导。
四、教学过程设计
（一）复习引入
问题1 在七上学习了有理数，有理数有哪些基本运算？
追问1 我们已经学习了整式的加减，类比有理数的运算，接下来要学习哪一种运算？
设计意图：通过思维导图，回顾已经学过的有理数的基本运算，类比得到整式的基本运算，体会数式通性。
追问2 整式包括单项式和多项式，思考整式的乘法有哪几种类型？
设计意图：借助直观、形象的思维导图，帮助同学们更好地对整式的乘法进行分类，为引入本节课做好铺垫。
问题2：有一块边长为a的正方形绿地，面积如何列式？
追问1：为了扩大绿地面积，其中一边增加b，扩大后的绿地面积如何列式？
追问2：为了进一步扩大绿地面积，另一边也增加b，扩大后的绿地面积如何列式？
设计意图：通过一组图形的面积展示整式乘法的三种类型之间的关系。学生提前预习，列式表示三个图形的面积，上课分享自己的答案。
追问3 如果边长扩大到原来的a倍，面积如何列式？
追问4 如果边长扩大到原来的倍，面积如何列式？
设计意图：通过两个变式，引导学生发现幂的运算包括同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，而幂的运算又以同底数幂的乘法为基础，感受学习同底数幂的乘法的必要性。
（二）合作探究
探究 根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律
（1）= 107 ；（2）= a5 ；（3）= 5m+n .(m，n是正整数)
设计意图：三个算式具有代表性和层次性，第一个底数和指数都是数字，然后分别把底数换成字母、指数换成字母，通过乘方的意义和乘法结合律进行有步骤、有依据的计算，让学生明确每一步的算法和算理，为探索一般的结论奠定基础。
猜想 = am+n .(m，n是正整数)，你能证明这个猜想吗？
追问1 你能用文字语言描述这个规律吗？
答 同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
追问2 在探究过程中，体会到了什么数学思想方法？
答 从特殊到一般的数学思想方法，数学归纳思想.
归纳 同底数幂的乘法的运算性质
一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，我们有：am · an = am+n (m，n 都是正整数).
师生活动：教师板书同底数幂的乘法的运算性质的内容，学生默读两遍，加深记忆.对于的计算过程，教师运用公式再次板书，通过对比，使学生发现利用同底数幂的乘法的运算性质进行计算比利用乘方的意义更加简便，让学生更加理解学习的必要性。
问题3：=(m，n都是正整数)是两个同底数幂相乘，对于三个或者三个以上的同底数幂相乘，等于什么？
设计意图：对性质进行推广，促进学生对公式的结构特征的深度理解。
（三）典例分析
例1 一种电子计算机每秒可进行1亿亿(1016)次运算，它工作103s可进行多少次运算
解 它工作103s可进行运算的次数为1016×103.
∵1016×103=1016+3=1019，
∴它工作103s可进行1019次运算.
例2 计算：
(1) x2·x5 ； (2) a·a6 ； (3) ( 2)×( 2)4×( 2)3 ； (4) xm·x3m+1 .
解 (1)原式= x2+5=x7 ；
(2)原式=a1+6=a7 ；
(3)原式=( 2)1+4+3=( 2)8=256 ；
(4)原式=xm+3m+1=x4m+1.
设计意图：对运算性质进行熟练应用。
（四）巩固练习
1. 下面的计算是否正确 如果不正确，应当怎样改正
(1) a3·a2=a6 ； (2) a·a3=a0+3=a3 ；
解：不正确，原式=a5. 解：不正确，原式=a1+3=a4.
(3) m3·m3=2m3 ； (4) x2m·x4n 2=x2m+4n 2 .
解：不正确，原式=m6. 解：正确.
2.下列计算正确的是( D )
A.a5+a3=a8 B.x4·x4=x16
C.b5·b=b5 D.( x)2·( x)4=x6.
3. 计算：
(1) a2·a6 ； (2) b5·b ； (3) y2n·yn+1 ； (4) ()×()2×()3.
解 （1）原式=a2+6 =a8.
（2）原式=b5+1 =b6.
（3）原式=y2n+n+1 =y3n+1.
（4）原式=()1+2+3 =()6=()6= .
4. 计算：
(1) (a+b)2·(a+b)5 (2) ( x)2·x5.
解 (1)原式=(a+b)2+5 =(a+b)7;
(2)原式=x2·x5=x2+5=x7.
5. 填空：a5=a3·( a2 )=a·( a4 ).
性质的逆用：am+n=am·an .(m，n 都是正整数).
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略。
归纳总结
感受中考
1．（2025·湖南）计算的结果是（ B ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川德阳）已知，则（ D ）
A．y B． C． D．
3．（2022·湖北随州）2022年6月5日10时44分07秒，神舟14号飞船成功发射，将陈冬、刘洋、蔡旭哲三位宇航员送入了中国空间站．已知中国空间站绕地球运行的速度约为，则中国空间站绕地球运行走过的路程（m）用科学记数法可表示为（ B ）
A． B． C． D．
4.(2022河南中考)《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆.”说明了大数之间的关系，1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，那么1兆等于( C )
A . B. C. D.
数学文化 《孙子算经》是我国南北朝时期的数学著作，书中记载了古代大数的计法：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京，万万京曰垓，万万垓曰秭，万万秭曰穰，万万穰曰沟，万万沟曰涧，万万涧曰正，万万正曰载.”这种计数方式是古人智慧的结晶. 在现代，随着时代的进步，用科学记数法记录大数更为简便.
设计意图：在学习完新知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。
（七）小结梳理
（八）布置作业
1.必做题：习题16.1 第1题，第7题.
2.探究性作业：
从四个单项式a2，2a2，a3， a4中任选两个，构造加法、减法或乘法算式，并计算.
五、教学反思
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