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16.2 整式的乘法（第3课时 多项式乘多项式）
教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课是在学生学习了单项式与多项式相乘的基础上，学习的“式”的另一种运算。它是将某些一元二次方程整理成一般形式的基础，也是学习因式分解的基础，它是本章的核心内容之一。
2. 内容分析
多项式与多项式相乘是整式乘法运算的重要组成部分，其学习建立在学生已掌握单项式乘以单项式，单项式乘以多项式法则的基础上，是对“式的运算”的进一步拓展。从知识逻辑来看，它通过将多项式乘法转化为单项式乘法，体现了“化未知为已知”的转化思想；从几何意义上来看，可用长方形面积的分割与拼接直观解释法则，渗透数形结合思想。从后续学习关联而言，这一内容是将一元二次方程整理为一般形式的关键工具，也是后续学习因式分解的基础，同时为分式运算、函数解析式化简等提供运算支持。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：多项式与多项式相乘的法则的概括。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）理解并掌握多项式与多项式相乘的法则，能运用多项式与多项式相乘的法则进行计算。
（2）理解算理，发展学生的运算能力和几何直观，体会转化、数形结合和程序化思想。
2. 目标解析
（1）通过具体例子推导并归纳出“先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加”的法则，明确运算的步骤和顺序；能准确应用法则进行多项式乘法计算，做到不重不漏、正确合并同类项，形成基本运算技能。
（2）“理解算理”要求学生明确法则的本质是乘法分配律的应用和转化思想的体现；“发展运算能力”指通过练习提升运算的准确性和熟练度；“几何直观观念”可通过图形面积验证法则，帮助学生从直观上理解抽象的运算；“体会转化思想”体现在将多项式转化为单项式的和，再将多项式乘多项式转化为单项式乘单项式；“程序化思想”则要求学生掌握运算的步骤，培养规范运算的意识。
三、教学问题诊断分析
1. 应用法则时漏乘多项式的项
学生可能在计算时忽略不含字母的项，导致运算错误。应对策略：在计算前先标出多项式的各项，并用箭头标注项与项的乘法关系；设计对比练习（如正确与错误过程的辨析），强化“不漏乘”的意识。
2. 多项式与多项式相乘时，符号或系数出错
在进行与负系数相关的计算时，学生可能混淆“减号”和“系数的负号”，导致符号判断错误。应对策略：分步书写，先确定符号，再进行后续运算，分步突破符号难点；设计含负系数、多字母的练习题，强化符号和系数运算的准确性。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：多项式与多项式相乘的法则的运用。
四、教学过程设计
（一）复习引入
问题1 你能说一说单项式与多项式的乘法法则吗？
答 一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
问题2 计算单项式乘以多项式时，需要注意：
1.把单项式与多项式相乘的问题转化为单项式与单项式相乘的问题.
2.按“先算乘方，再算乘法，最后加减”的顺序运算；
设计意图：通过问题1唤醒学生对旧知的记忆，为后续将多项式乘多项式逐步转化为单项式乘单项式做知识铺垫。问题2聚焦单项式乘多项式运算中的注意事项，帮助学生规避运算常见错误，提升运算准确性，为多项式乘多项式的准确计算筑牢习惯基础。
（二）合作探究
问题3 如图，为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长a m、宽p m的长方形绿地，加长了b m，加宽了q m．你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？
方法1 扩大后的绿地可以看成长为(a+b) m， 宽为(p+q) m的长方形，所以这块绿地的面积(单位：m2)为
(a+b)(p+q) . ①
方法2 扩大后的绿地可以分割成如图所示的两个长方形，所以这块绿地的面积(单位：m2)为
a(p+q)+b(p+q) ． ②
方法3 扩大后的绿地还可以看成由四个小长方形组成，所以这块绿地的面积(单位：m2)为
ap+aq+bp+bq． ③
由于①②③表示同一个数量，所以
(a+b) (p+q)
= a(p+q) + b(p+q)
= ap + aq + bp + bq .
设计意图：问题3用“长方形绿地拓宽”的生活场景，让学生用三种方法表示面积。借助几何图形的直观性，把抽象的多项式乘多项式运算，转化为可观察、易理解的面积计算，降低法则理解难度，为后续从乘法分配律推导一般法则，提供直观、具体的依托，让学生先从几何角度“看见”法则的存在。
追问1 你能根据乘法分配律得到这个等式吗？
追问2 想一想如何计算多项式乘以多项式？
归纳 多项式与单项式的乘法法则：
一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
设计意图：追问1引导学生用乘法分配律解释(a+b) (p+q)= a(p+q) + b(p+q)=ap+aq+bp+bq.把“多项式乘多项式”和已学的“乘法分配律”关联，让学生明白，多项式乘多项式的本质是乘法分配律的应用，实现“未知”到“已知”的转化。追问2引导学生自主归纳“多项式乘多项式”的运算方法，把零散的感知，提炼成清晰、可操作的运算步骤，让学生从“理解算理”过渡到“掌握算法”，学会规范运用法则解题。
（三）典例分析
例1 计算：
(1) (a+3)(a 2) ； (2) (3x+1)(x+2) ；
(3) (x 8y)(x y) ； (4) (a+b)(a2 ab+b2) .
解 (1) 原式=a·a+a·( 2)+3·a+3×( 2)
=a2 2a+3a 6
=a2+a 6 ；
(2) 原式=(3x)·x+(3x)·2+1·x+1×2
=3x2+6x+x+2
=3x2+7x+2 ；
(3) 原式=x2 xy 8xy+8y2
=x2 9xy+8y2 ；
(4) 原式=a3 a2b+ab2+a2b ab2+b3
=a3+b3 .
方法总结
(1)把多项式与多项式相乘的问题转化为单项式与单项式相乘的问题．
(2)计算时不要漏乘.
(3)多项式每一项的系数都包含前面的符号.
(3)最后结果应化成最简形式.
设计意图：通过具体例题，让学生熟悉多项式与多项式相乘的运算步骤，理解运算法则，掌握将多项式乘法转化为单项式乘法的转化思想。通过方法总结提炼思想方法、梳理运算体系，让学生从“会做题”到“懂方法、明体系”，为后续整式混合运算筑牢基础。
（四）巩固练习
1. 计算：
(1) (2x+1)(x+3) ； (2) (m+2n)(3n m) .
(3) (a 1)2 ； (4) (a+3b)(a 3b) .
(5) (2x2 1)(x 4) ； (6) (x2+2x+3)(2x 5) .
解 (1)原式=2x2+6x+x+3=2x2+7x+3.
(2)原式=3mn m2+6n2 2mn= m2+mn+6n2.
(3)原式=(a 1)(a 1)=a2 a a+1=a2 2a+1 .
(4)原式=a2 3ab+3ab 9b2=a2 9b2.
(5)原式=2x3 8x2 x+4.
(6)原式=2x3 5x2+4x2 10x+6x 15=2x3 x2 4x 15.
2. 计算：
(1) (x+2)(x+3) =x2+5x+6； (2) (x 4)(x+1) =x2 3x 4；
(3) (x+4)(x 2) =x2+2x 8； (4) (x 5)(x 3) =x2 8x+15.
由上面计算的结果找规律，观察右图，填空：
(x+p)(x+q) =(x)2+(p+q)x+(pq).
先化简，再求值：(x y)(x2+xy+y2) (x+y)(x2 y2)，其中x= ，y=5 .
解 原式=x3+x2y+xy2 x2y xy2 y3 (x3 xy2+x2y y3)
=x3 y3 x3+xy2 x2y+y3
=xy2 x2y.
当x= ，y=5时，原式= ×52 ()2×5= .
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略。
归纳总结
（六）感受中考
1．（2025·黑龙江绥化）下列计算中，结果正确的是（ B ）
A． B．
C． D．
2．（2023·湖北随州）设有边长分别为a和b()的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要C类纸片的张数为( C )
A．6 B．7 C．8 D．9
3．（福建泉州）先化简，再求值：(x 2)(x+2)+x2(x 1)，其中x= 1．
解：原式=x2 4+x3 x2
=x3 4，
当x= 1时，原式= 5．
设计意图：在学习完新知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。
（七）小结梳理
设计意图：用思维导图帮助学生梳理幂的运算性质与整式乘法的联系，让学生直观感知幂的运算性质的基础作用。同时体现“单项式×单项式”，“单项式×多项式”和“多项式×多项式”的联系，构建清晰、完整的知识网络，强化对整式乘法相关知识的整体认知。
（八）布置作业
1.必做题：习题16.2 第3题，第5(3)题.
2.探究性作业：习题16.2 第11题
五、教学反思
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