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16.3.1 平方差公式
第十六章 整式的乘法
人教版(新教材)数学八年级上册
目录
CONTENT
情景引入
1
合作探究
2
典例分析
3
巩固练习
4
归纳总结
5
感受中考
6
小结梳理
7
布置作业
8
学习目标
理解平方差公式，了解平方差公式的几何背景，能利用平方差公式进行简单的计算和推理.
一
在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象地研究问题的方法，在验证平方差公式的过程中，感知数形结合思想.
二
复习引入
问题1 多项式乘法的特殊化——以(a+b)(p+q)为例：
(a+b)(p+q)
(a+b)(a+q)
一项相同
一项相反
(a+b)(p b)
一项相同
一项相反
(a+b)(a b)
两项相同
(a+b)(a+b)
(a+b)( a b)
两项相反
复习引入
问题2 如何计算多项式乘以多项式？
一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
合作探究
探究 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（1）（x+1) ( x 1） = ；
（2）（m+2)( m 2）= ；
（3）（2x+1)(2x 1）= .
答 都是形如a+b的多项式与形如a b的多项式相乘.
x2 1
m2 4
4x2 1
追问1 三个等式的左侧有什么共同特征？
追问2 三个等式的右侧有什么共同特征？
答 都是相同项的平方(a2)减去相反项的平方(b2).
你能用符号语言描述这个规律吗？
(a+b)(a b)=a2 b2.
合作探究
证明 (a+b)(a b)
=a2 ab+ab b2
=a2 b2 .
问题3 你能证明(a+b)(a b)=a2 b2吗？
多项式乘以多项式
合并同类项
文字语言 两个数(式子)的和与这两个数(式子)的差的积，等于这两个
数(式子)的平方差．
你能用文字语言描述这个规律吗？
合作探究
（乘法的）平 方 差 公 式
文字语言 两个数(式子)的和与这两个数(式子)的差的积，等于这两个数(式子)的平方差．
(a+b)(a b)=a2 b2.
合作探究
思考 你能根据图中图形的面积说明平方差公式吗？
a+b
a b
红色区域的面积
(a+b)(a b)
合作探究
思考 你能根据图中图形的面积说明平方差公式吗？
a
b
红色区域的面积
(a+b)(a b)
(a+b)(a b)=a2 b2.
a2 b2
典例分析
例1 运用平方差公式计算：
(1) (3x+2)( 3x 2 ) ； (2)（ x+2y)( x 2y).
( 3x + 2 )( 3x 2 )=( )2 ( )2.
( a + b )( a b )= a 2 b 2 .
3x
2
典例分析
例1 运用平方差公式计算：
(1) (3x+2)( 3x 2 ) ； (2)（ x+2y)( x 2y).
( x + 2y )( x 2y )=( )2 ( )2.
( a + b )( a b )= a 2 b 2 .
x
2y
典例分析
例1 运用平方差公式计算：
(1) (3x+2)( 3x 2 ) ； (2)（ x+2y)( x 2y).
解 (1)原式=(3x)2 22
=9x2 4；
(2)原式=( x)2 (2y)2
=x2 4y2.
典例分析
解 (1)原式=(x2 1)(x2+1) =x4 1 ；
(2)原式=y2 22 (y2+4y 5)=y2 4 y2 4y+5= 4y+1 ；
(3)原式=(100+2)(100 2)=1002 22=10 000 4=9 996 .
例2 计算：
(1) (x 1)(x+1)(x2+1) ； (2) (y+2)(y 2) (y 1)(y+5) ； (3) 102×98.
典例分析
方法总结
应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项相同，另一项相反；
(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；
(3)公式中的a和b可以是数字，也可以是单项式或多项式．
巩固练习
1. 口答：
（1） ( a+b)(a+b) =_________.
（2） (a b) (b+a) =_________.
（3） ( a b)( a+b)=_________.
（4） (a b) ( a b) =_________.
a2 b2
a2 b2
b2 a2
b2 a2
巩固练习
2. 下面的计算是否正确 如果不正确，应当怎样改正
(1) (x+2)(x 2)=x2 2； (2) ( a 2)(a 2)=a2 4；
(3) (x+2y)( x 2y)=x2 4y2； (4) (3a+4b)(3a 4b)=9a2 4b2.
不正确
不正确
不正确
原式=x2 4
原式=4 a2
原式= x2 4xy 4y2
不正确
原式=9a2 16b2
3. 计算：
(1) (a+3b)(a 3b) ； (2) (3+2a)( 3+2a) ；
(3) (xy+1)(x2y2+1)(xy 1) ； (4) (3x+4)(3x 4) (2x+3)(3x 2).
巩固练习
解 （1）原式=(a)2 (3b)2=a2 9b2.
（2）原式=(2a)2 (3)2=4a2 9.
巩固练习
（3）原式=(xy+1)(xy 1)(x2y2+1)
=(x2y2 1)(x2y2+1)
=x4y4 1.
3. 计算：
(1) (a+3b)(a 3b) ； (2) (3+2a)( 3+2a) ；
(3) (xy+1)(x2y2+1)(xy 1) ； (4) (3x+4)(3x 4) (2x+3)(3x 2).
乘法交换律
多次使用平方差公式
巩固练习
（4）原式=(9x2 16) (6x2 4x+9x 6)
=9x2 16 6x2+4x 9x+6
=3x2 5x 10.
3. 计算：
(1) (a+3b)(a 3b) ； (2) (3+2a)( 3+2a) ；
(3) (xy+1)(x2y2+1)(xy 1) ； (4) (3x+4)(3x 4) (2x+3)(3x 2).
此处需要添括号
解 （1）原式=(50+1)(50 1)
=502 12
=2 500 1
=2 499.
4. 运用平方差公式计算：
(1) 51×49 ； (2) 200×199 .
巩固练习
两数之和乘以两数之差
（2）原式=(200+)(200 )
=2002 ( )2
=40 000
=39 999.
4. 运用平方差公式计算：
(1) 51×49 ； (2) 200×199 .
巩固练习
两数之和乘以两数之差
归纳总结
整式的乘法公式——平方差公式 符号语言 (a+b)(a b)= .
文字语言 两个数(式子)的 与这两个数(式子)的 的 ，等于这两个数(式子)的 ．
注意事项 公式中的a和b可以是 ，也可以是 或 ．
a2 b2
和
差
平方差
积
数字
单项式
多项式
感受中考
1.(2025·黑龙江)下列运算正确的是( )
A. a4·a3=a6 B. 2a+3b=6ab
C.( 2a2b3)3 = 8a6b9 D.( a+b)(a+b)=a2 b2
C
感受中考
2.(2022·内蒙古赤峰)已知(x+2)(x 2) 2x=1，则2x2 4x+3 的值为( )
A. 13 B.8
C. 3 D.5
A
感受中考
3.(2025·甘肃兰州)计算:(a+2)(a 2)+a(3 a).
解 原式=a2 4+3a a2
=3a 4.
小结梳理
单项式÷单项式
幂的运算性质
am · an =am+n
(am)n =amn
(ab)n =anbn
整式的乘法
整式的除法
am ÷ an =am-n
互逆运算
多项式÷单项式
基
础
基
础
单项式×单项式
单项式×多项式
多项式×多项式
互逆运算
特殊
乘法公式
平方差公式
？
布置作业
必做题：习题16.3 第1题.
1
探究性作业：习题16.3 第8题.
2
人教版八年级上册
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16.3.1 平方差公式 教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课是在学生学习了多项式乘法与合并同类项知识的基础上，对特殊形式的乘法运算概括出乘法公式——平方差公式，平方差公式也是因式分解中公式法的重要基础，在代数中具有广泛的应用。
2. 内容分析
本节课聚焦于特殊形式的多项式乘法的规律提炼，最终概括出平方差公式（(a+b)(a b)=a2 b2）。该公式不仅简化了特定整式乘法的运算过程，更是后续学习因式分解中公式法的核心基础，在代数运算、方程求解等领域有着广泛应用，同时其几何背景的探究也为学生体会数形结合思想提供了载体，起到了承前启后、连接代数与几何的关键作用。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解平方差公式，了解平方差公式的几何背景。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）理解平方差公式，了解平方差公式的几何背景，能利用平方差公式进行简单的计算和推理。
（2）在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象地研究问题的方法，在验证平方差公式的过程中，感知数形结合思想。
2. 目标解析
（1）学生需从本质上把握公式的结构特征：左边是两个二项式的乘积，且这两个二项式中一项相同，另一项相反；右边是相同项的平方减去相反项的平方。同时，通过图形面积的割补等方式直观感知公式的几何意义，将代数表达式与几何图形建立联系。在应用层面，学生应能识别符合公式特征的算式，准确代入公式进行计算，并能结合公式进行简单的代数式变形与推理，如判断多项式是否符合平方差形式、解决与公式相关的基础问题。
（2）学生经历从具体实例出发，通过观察、计算、对比等步骤，发现这些特殊乘法运算的共同规律，进而归纳抽象出平方差公式的一般形式，体会从具体算式到一般公式的提炼过程，培养抽象概括能力。在验证公式时，引导学生通过拼摆图形，将公式的代数形式与图形的面积关系对应起来，从而感知数与形之间的内在联系，初步建立数形结合的思维方式。
三、教学问题诊断分析
学生可能出现的问题：对平方差公式的结构特征识别不清，一是容易混淆公式中的“相同项”和“相反项”，或在计算时误写成a2 + b2；二是对公式中“a”“b”的含义理解局限于具体数字或单独字母，难以将其拓展到多项式。
应对策略：教学中可通过对比一组不同形式的算式（符合与不符合公式特征），引导学生标注“相同项”和“相反项”，强化结构识别；利用换元思想，结合具体例子说明a、b可以是数、字母或多项式，通过分层练习（从数字到字母再到多项式）逐步加深理解。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：能利用平方差公式进行简单的计算和推理。
四、教学过程设计
（一）复习引入
问题1 多项式乘法的特殊化——以(a+b)(p+q)为例：
问题2 如何计算多项式乘以多项式？
一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
设计意图：以多项式乘法特殊化为切入点，借问题1梳理多项式乘法的特殊情况，为新知识的产生提供研究思路，让新课衔接自然；问题2明确多项式相乘的运算规则，让学生掌握基础方法，为后续探究平方差公式筑牢认知根基。
（二）合作探究
探究 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（1）（x+1) ( x 1） = x2 1 ；
（2）（m+2)( m 2）= m2 4 ；
（3）（2x+1)(2x 1）= 4x2 1 .
追问1 三个等式的左侧有什么共同特征？
答 都是形如a+b的多项式与形如a b的多项式相乘.
追问2 三个等式的右侧有什么共同特征？
答 都是相同项的平方(a2)减去相反项的平方(b2).
追问3你能用符号语言描述这个规律吗？
答 (a+b)(a b)=a2 b2.
问题3 你能证明(a+b)(a b)=a2 b2吗？
证明 (a+b)(a b) 多项式乘以多项式
=a2 ab+ab b2 合并同类项
=a2 b2 .
追问 你能用文字语言描述这个规律吗？
答 两个数(式子)的和与这两个数(式子)的差的积，等于这两个数(式子)的平方差．
归纳 （乘法的）平方差公式
(a+b)(a b)=a2 b2.
文字语言 两个数(式子)的和与这两个数(式子)的差的积，等于这两个数(式子)的平方差．
思考 你能根据图中图形的面积说明平方差公式吗？
红色区域的面积： (a+b)(a b)=a2 b2.
设计意图：通过让学生计算具体多项式的乘法，引导观察式子左右特征，自主发现规律，再用符号语言归纳，结合代数证明与几何图形面积验证，让学生经历“特例探究—归纳猜想—逻辑证明—几何直观验证”的完整过程，深度理解平方差公式的结构、本质，掌握公式推导方法，提升归纳推理、逻辑证明能力，借助几何图形渗透数形结合思想，强化对公式的直观认知。
（三）典例分析
例1 运用平方差公式计算：
(1) (3x+2)( 3x 2 ) ； (2)（ x+2y)( x 2y).
解 (1)原式=(3x)2 22=9x2 4；
(2)原式=( x)2 (2y)2=x2 4y2.
例2 计算：
(1) (x 1)(x+1)(x2+1) ； (2) (y+2)(y 2) (y 1)(y+5) ； (3) 102×98.
解 (1)原式=(x2 1)(x2+1) =x4 1 ；
(2)原式=y2 22 (y2+4y 5)=y2 4 y2 4y+5= 4y+1 ；
(3)原式=(100+2)(100 2)=1002 22=10 000 4=9 996 .
方法总结
应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项相同，另一项相反；
(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；
(3)公式中的a和b可以是数字，也可以是单项式或多项式．
设计意图：通过例1 让学生掌握公式中 “a、b” 可代表单项式的情况，精准识别 “相同项” 与 “相反项”；例2 进一步拓展，涉及公式连续应用、与多项式乘法混合运算和数字乘法的简便运算，使学生学会灵活调用公式，解决复杂运算问题，深化对平方差公式的理解与应用。同时，培养学生规范书写解题过程的习惯，提升运算能力与逻辑思维。
（四）巩固练习
1. 口答：
（1） ( a+b)(a+b) = b2 a2 .
（2） (a b) (b+a) = a2 b2 .
（3） ( a b)( a+b) = a2 b2 .
（4） (a b) ( a b) = b2 a2 .
2. 下面的计算是否正确 如果不正确，应当怎样改正
(1) (x+2)(x 2)=x2 2； (2) ( a 2)(a 2)=a2 4；
不正确，原式=x2 4. 不正确，原式=4 a2.
(3) (x+2y)( x 2y)=x2 4y2； (4) (3a+4b)(3a 4b)=9a2 4b2.
不正确，原式= x2 4xy 4y2. 不正确，原式=9a2 16b2.
3. 计算：
(1) (a+3b)(a 3b) ； (2) (3+2a)( 3+2a) ；
(3) (xy+1)(x2y2+1)(xy 1) ； (4) (3x+4)(3x 4) (2x+3)(3x 2).
解 （1）原式=(a)2 (3b)2=a2 9b2.
（2）原式=(2a)2 (3)2=4a2 9.
（3）原式=(xy+1)(xy 1)(x2y2+1)=(x2y2 1)(x2y2+1)=x2y2 1.
（4）原式=(9x2 16) (6x2 4x+9x 6)=9x2 16 6x2+4x 9x+6=3x2 5x 10.
4. 运用平方差公式计算：
(1) 51×49 ； (2) 200×199 .
解 （1）原式=(50+1)(50 1)=502 12=2 500 1=2 499.
（2）原式=(200+ )(200 )=2002 ( )2=40 000 =39 999.
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略。
归纳总结
（六）感受中考
1．（2025·黑龙江）下列运算正确的是（ C ）
A． B．
C． D．
2．（2022·内蒙古赤峰）已知，则的值为（ A ）
A．13 B．8 C．－3 D．5
3．（2025·甘肃兰州）计算： ．
解：
．
设计意图：在学习完新知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。
（七）小结梳理
设计意图：用思维导图帮助学生梳理整式乘法的相关知识，构建清晰、完整的知识网络，让学生直观感知知识之间的联系。同时体现乘法公式是“多项式×多项式”的特殊形式。
（八）布置作业
1.必做题：习题16.3 第1题.
2.探究性作业：习题16.3 第8题.
五、教学反思
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
