【2025秋人教九上数学情境课堂教学课件】22.1.2 二次函数y=ax^2的图象和性质 课件（共27张PPT）

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2025年秋人教九上数学情境课堂教学课件
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
21.1.2 二次函数y=ax 的图象和性质
1. 会用描点法画出形如 y=ax 的二次函数图象，了解抛物线的有关概念.
2. 通过观察图象能说出二次函数 y=ax 的图象特征和性质.
3. 在类比探究二次函数 y=ax 的图象和性质的过程中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法和数形结合的思想.
重点
难点
1. 八年级我们学习了一次函数的什么内容？顺序是什么？
概念
图象
性质
2. 还记得如何研究图象和性质的吗？
列表、描点、连线 函数图象 图象的性质；
思考 (1)二次函数的图象是否仍是一条直线呢？若不是，那是什么呢？
(2)系数的符号(正负)与函数图象、性质是否有关呢？
本节课我们将从最简单的二次函数 y=x 开始，逐步深入地讨论一般二次函数的图象和性质.
做一做 画出二次函数 y=x 的图象.
1.列表：在 y = x2 中，自变量 x 可以是任意实数，
列表表示几组对应值；
9
4
1
0
1
4
9
为了便于计算和图象的准确性，我们取的x和y均为整数
x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
y = x2 ... ...
还记得如何用描点法画一个函数的图象吗？
点击查看：会变化的二次函数y=ax2的图象
2.描点：根据表中x， y 的数值在坐标平面中描出点(x，y)；
3.连线：再用平滑的曲线顺次连接各点，就得到 y=x 的图象.
-3 -2 -1 1 2 3
9
8
7
6
5
4
3
2
1
问题1 观察二次函数的图象，它的形状类似于什么？
投篮
掷铅球
二次函数 y=x 的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮时或掷铅球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上. 这条曲线叫做抛物线 y=x .
实际上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下.
一般地，二次函数 y=ax +bx+c的图象叫做抛物线 y=ax +bx+c.
-3 -2 -1 1 2 3
9
8
7
6
5
4
3
2
1
抛物线y = x2 与它的对称轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点，它是抛物线y = x2的最低点.
x取值关于原点对称时，y值相同——y轴是抛物线y = x2 的对称轴.
当取更多个点时，二次函数 y=x 的图象如下：
问题2 根据以往学习函数图象特征的经验，说说二次函数 y = x2 的图象有哪些特征
1. y＝x2 的图象是一条抛物线；
2. 图象开口向上；
3. 图象关于 y 轴对称；
4. 顶点 (0，0)；
5. 图象有最低点．
-3 -2 -1 1 2 3
9
8
7
6
5
4
3
2
1
问题3 观察二次函数 y=x 的图象，y 随 x 如何变化？
从二次函数 y=x 的图象可以看出：
在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降→当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小；
在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升→当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大.
-3 -2 -1 1 2 3
9
8
7
6
5
4
3
2
1
例1 在同一直角坐标系中，画出函数 ，y=2x2的图象.
8
4.5
2
0.5
0
0.5
2
x ... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ...
... ...
1.列表：
4.5
8
x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ...
y=2x2 ... ...
8
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
2.描点：
3.连线：
-4 -2 2 4
8
6
4
2
问题4 函数 ，y=2x2的图象与函数 y=x2 的图象相比，有什么共同点和不同点？
-4 -2 2 4
8
6
4
2
共同点：开口向上，对称轴是 y 轴，顶点是原点；
不同点：开口大小不同， x2的系数越大，抛物线的开口越小.
二次函数
a的符号
图象
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
最值
问题5 当a＞0时，二次函数 y=ax2 的图象有什么特点？
y=ax2(a≠0)
a＞0
向上
（0，0）
y轴
在对称轴的左侧（即x＜0），y随x的增大而减小
在对称轴的右侧（即x＞0），y随x的增大而增大
当x=0时，
a越大，抛物线的开口越小.
-9
-4
-1
0
-1
-4
-9
x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
y = -x2 ... ...
1.列表：
做一做 画出二次函数 y =- x2， ，y=-2x2 的图象.
-8
-4.5
-2
-0.5
0
-0.5
-2
x ... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ...
... ...
-4.5
-8
x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ...
y=-2x2 ... ...
-8
-4.5
-2
-0.5
0
-0.5
-2
-4.5
-8
2.描点：
3.连线：
y =- x2
问题6 函数 y=-x2， ，y=-2x2的图象之间，有什么共同点和不同点？
共同点：开口向下，对称轴是 y 轴，顶点是原点；
不同点：开口大小不同， x2的系数越小，抛物线的开口越小.
二次函数
a的符号
图象
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
最值
y=ax2(a≠0)
a＜0
向下
（0，0）
y轴
在对称轴的左侧（即x＜0），y随x的增大而增大
在对称轴的右侧（即x＞0），y随x的增大而减小
问题7 当a＜0时，二次函数y=ax2的图象有什么特点？
当x=0时，
a越小，抛物线的开口越小.
问题8 观察右边图象，抛物线y =ax2与y =-ax2 （a＞0） 的图象有什么特点？
二次项系数互为相反数时，开口方向相反，开口大小相同，它们关于x轴对称.
|a|越大，抛物线的开口越小.
y =- x2
变式 二次函数y =ax2 与y =-2x2 的形状相同，开口大小一样，开口方向相反，则a=_____.
2
例2 夕夕用软件绘制抛物线 y =4x2 时，将“4”按成了“5”，和原图象相比，发生改变的是( )
A.开口方向 B.开口大小
C.对称轴 D.顶点坐标
B
1.(2024广东)若点(0，y1)，(1，y2)，(2，y3)都在二次函数y=x2的图象上，则( )
A. y3>y2>y1
B. y2>y1>y3
C. y1>y3>y2
D. y3>y1>y2
A
解：根据题意，得k+2≠0且k2+k-4=2，
解得k1=-3，k2=2，
∵当x<0时，y随x的增大而增大，
∴二次函数的图象的开口向下，即k+2＜0，
∴k=-3.
2.已知函数 是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大.
(1)求k的值；
(2)直接写出顶点坐标和对称轴.
(2)由(1)得y=-x2，
∴顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴.
3. 已知二次函数 y = x2，若 x≥m 时，y 最小值为 0，求实数 m 的取值范围．
解：在二次函数 y = x2 中，
当 x = 0 时，y 有最小值，且 y最小值 = 0.
∵ 当 x≥m 时，y最小值 = 0，
∴ m≤0．
4.已知：如图，直线 y＝3x＋4 与抛物线 y＝x2 交于 A、B 两点，求出 A、B 两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积
B
解：由题意的
解得 或
∴ 此两函数的交点坐标为A (4，16)，B ( 1，1)．
∵ 直线 y＝3x＋4 与 y 轴相交于点 C (0，4)，即 CO＝4，
∴
∴ S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10.
二次函数 y=ax2(a≠0) a的符号 a＞0 a＜0
图象
顶点坐标 对称轴 增减性
最值
1.二次函数y=ax2的图象和性质：
（0，0）
y轴
当x=0时，y最小值=0
当x= 0时，y最大值=0
在对称轴的左侧（即x＜0），y随x的增大而减小；在对称轴的右侧（即x＞0），y随x的增大而增大
在对称轴的左侧（即x＜0），y随x的增大而增大；在对称轴的右侧（即x＞0），y随x的增大而减小
y=ax2
a 的符号决
定开口方向
的大小决
定开口大小
a＞0，
开口
向上
a＜0，
开口
向下
越大，
开口越小
2.二次函数y=ax2的开口方向及大小：
Thanks!
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