【2025秋人教九上数学情境课堂教学课件】22.1.1 二次函数（主题情境：运动会中的数学问题） 课件（共22张PPT）

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人教新版 九下 数学
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2025年秋人教九上数学情境课堂教学课件
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
主题情境·运动会中的数学问题
1.理解并掌握二次函数的概念和一般形式.
2.能根据实际问题中的数量关系列出二次函数解析式.
为了保障学生的身心健康，培养集体协作精神，锻炼坚强的毅力，某校举办了校运动会. 数学小组成员琳琳、婷婷和聪聪在校运动会期间分别发现了一些有趣的数学情境问题.
解：变量为半圆半径 x，两个半圆面积之和 y，
x为自变量，y为因变量.
问题1 如图，是琳琳画出的操场跑道示意图，可看成由两个半圆和一个矩形组成. 设半圆形的半径为 x，两个半圆的面积之和为 y.
（1）问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
（2）半径x与面积 y之间的关系该怎么表示？(π取3)
解：y = 3x2 . ①
问题2 婷婷发现在运动会期间，八年级共有n个班参加篮球比赛. 若每两班之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？
点拨：每支队伍都要与除自己之外的( n一1)支队伍比赛一次，则共比赛_________场(包含重复比赛场数),由于两支队伍比赛是相互的，应只算一次，所以去掉重复的次数，共比赛_________场.
解：比赛的场次数为
即 ②
问题3 聪聪通过调查发现，由于学生参加校运动会的积极性非常高，所以今年学校增加了每个项目的参赛人数. 已知今年有300名同学参赛，今年比去年的参赛人数增加了t 倍，若按照这样的增长速度，预计两年后的参赛人数 f 与 t 之间有怎样的关系？
点拨：这是一个等比增长的模式，推导出参赛人数与增长倍数之间的关系式，并确定增长倍数的值来进行求解.
解：两年后参赛人数 f = 300(1＋t)·(1＋t)=300(1＋t)2，
即 f = 300t2＋600t＋300. ③
思考1 针对以上三个式子：
是不是函数这一问题，琳琳和聪聪有了不同的看法，于是婷婷想寻求你的帮助，你认为谁说得对？
是函数，因为对于x(n, t)的每一个确定的值，y(m, f)都有唯一确定的值与其对应.
琳琳
不是函数，因为对于y(m, f)的每一个确定的值，x(n, t)的值不一定是唯一的.
聪聪
琳琳说得对，聪聪对于函数的概念记忆有误.
思考2 观察上面的关系式①②③，它们有什么共同点？
温馨提示：类比一次函数y=kx+b(k≠0)的特征.
1.函数关系式都是整式；
2.化简后自变量的最高次数是2；
3.二次项系数不为0.
上述概念中的a为什么不能是0？b和c可否为0？若b和c各自为0或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样呢？
当a=0时，可写成y=bx+c；
当b=0时，可写成y=ax +c；
当c=0时，可写成y=ax +bx；
当b=0，c=0时，可写成y=ax .
不是二次函数
温馨提示
(1)等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；
(2)a，b，c为常数，且a≠0，b，c任意；
(3)等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项，即a≠0.
归纳总结
一般地，形如 (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
二次项
一次项
常数项
同学们，可以自己举出具体的二次函数吗？
例1 (1)下列函数中，哪些是二次函数？为什么？
① y=ax2+bx+c ② y=3-2x ③y=x2 ④
⑤ ⑥y=x +x +25 ⑦ y=(x+3) -x ⑧y=(2x+1) -6x
不一定是，缺少a≠0的条件.
不是，x的最高次数是3.
不是、化简以后是一次函数
不是，等式右边不是整式
(2) 你能指出上述二次函数的二次项系数，一次项系数和常数项吗？
二次函数关系式 二次项系数 一次项系数 常数项
y=3-2x
y=x2
y=-x -2x
y=(2x+1) -6x
-2
0
3
1
0
0
-1
-2
0
4
-2
1
=-2x +3
=4x -2x+1
温馨提示
确定二次函数的各项系数要注意：
1.先化简成 的形式
2.注意各项系数的符号.
在判断二次函数时，必须满足：
1.函数的关系式是整式；
2.自变量的最高次数是2；
3.二次项系数不等于0.
方法总结
思考3 如何判断一个函数是不是二次函数？
例2 当m 取何值时，函数y=（m2+m）xm2-2m-1+（m-5）x+m2是关于x 的二次函数？并求出二次函数的解析式.
解：由题意，得
①m -2m-3=0，(m-3)(m+1)=0，m = 3或-1
②m(m+1) ≠ 0，m ≠ 0 或m ≠ -1
∴ m = 3.
∴当 m = 3 时，该函数是二次函数，
解析式为：y = (32+3)x32-2×3-1+(3-5)x+32，
即y = 12x2-2x+9.
1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　）
A．
B．
C．
D．
一次函数
当a≠0时为二次函数
函数右边为分式，不是整式，不是二次函数
C
2.下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是________．
①等腰三角形ABC的周长为16cm，底边BC长为y cm，腰AB长为x cm，y与x之间的关系；
②底面圆的半径为5cm的圆柱中，侧面积y(cm )与圆柱的高x(cm)的关系；
③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出（100-2x）件．利润y（元）与每件售价x（元）的关系．
③
③y=(x-80)(100-2x)=100x-2x2-8000+160x=-2x2+260x-8000，y是x的二次函数
①y=-2x+16，y是x的一次函数；
②y=2π×5x=10πx，y是x的正比例函数
3.己知函数 y=(a2-3)x2+(a+ )x-7．
(1)若这个函数是一次函数，求出a的值；
解：由题意得， ，解得
(2)若这个函数是二次函数，求出a的取值范围.
解：由题意得， ，解得 且
4.一农民用40 m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为x m，菜园的面积为y m2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围. 当x=12 m时，计算菜园的面积.
解：由题意得：y=x(40-2x)
即y=-2x +40x(0＜x＜20)
当x=12m时，菜园的面积为
y=-2x +40x
=-2×12 +40×12
=192(m )
x
40-2x
一般地，形如 y=ax +bx+c ( a，b，c是常数，a≠ 0 ) 的函数，叫做二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
1.函数的关系式是整式；
2.自变量的最高次数是2；
3.二次项系数不等于0.
判断方法
定义
二次
函数
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