2024-2025学年山东省淄博市周村区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含答案）

2024-2025学年山东省淄博市周村区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填在题后的括号内，每小题4分，共40分）
1．（4分）下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．任意画一个三角形，其内角和为180°
B．打开电视机正在播放广告
C．在一个没有红球的盒子里，摸到红球
D．抛一枚硬币正面向上
2．（4分）在下列不等式中，解集为x＞﹣1的是（　　）
A．2x＞2 B．﹣2x＞﹣2 C．2x＜﹣2 D．﹣2x＜2
3．（4分）如图，直线m∥n，直线l分别交m，n于点A，B，过点A作AC⊥AB，交直线n于点C，如果∠1＝58°，那么∠ACB的度数为（　　）
A．58° B．42° C．32° D．22°
4．（4分）如果是关于x，y的二元一次方程3x+my＝5的一个解，那么m的值为（　　）
A．﹣1 B．5 C．2 D．1
5．（4分）如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（　　）
A．20 B．30 C．50 D．100
6．（4分）如图，△ABC≌△DEC，点E在AB边上，∠B＝70°，则∠ACD的度数为（　　）
A．30° B．40° C．45° D．50°
7．（4分）△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝a，下列数轴中表示的a的取值范围，正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．（4分）已知关于x的不等式组有以下说法：①当m＝1时，则不等式组的解集是﹣2＜x≤1；②若不等式组的解集是﹣2＜x≤0，则m＝0；③若不等式组无解，则m≤﹣2；④若不等式组的整数解只有﹣1，0，1，2，则m＝2．其中错误的说法是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
9．（4分）如图，在等边△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AC于点E，EF⊥AB于点F，已知BC＝16，则BF的长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
10．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，延长AC到点E，使CE＝CD，连接BE交AD的延长线于点F．给出下面四个结论：①AD＝BE；②BE＝2BF；③AB＝AC+CD；④△ABD的面积是△ACD的面积的2倍；上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
二、填空题：请将最终结果填入题中的横线上（每小题4分，共20分）
11．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝30°，则∠A＝ 　 　 ．
12．（4分）如图所示的网格为正方形网格，则∠2﹣∠1＝ 　 　 °．
13．（4分）如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的小扇形若把某些小扇形涂上红色，使转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是，则涂上红色的小扇形有 　 　 个．
14．（4分）已知关于x的方程3x﹣a＝x+5的解是正数，则实数a的取值范围是　 　 ．
15．（4分）如图，在△ABC中，ACB＝90°，AC＝BC＝5，点E在边BC上，点D在边AC上，当CD＝2CE时，正方形DEFG的顶点G恰好落在边AB上，则正方形DEFG的面积是 　 　 ．
三、解答题.解答要写出必要的文字说明或演算步骤.（共90分）
16．（10分）解方程组：
（1）；
（2）．
17．（10分）解不等式组：
（1）；
（2）．
18．（10分）解不等式：x1，并写出它的正整数解．
19．（10分）在某个闯关游戏中，选手需从3个游戏规则中任选一个，再从标有数字1，2，3， ，9的9张卡片中任意抽取一张，根据所选规则和抽到卡片上的数字决定选手是否闯关成功；三个游戏规则如下：
规则一：如果抽到卡片上的数字不大于5，那么选手闯关成功，否则闯关失败；
规则二：如果抽到卡片上的数字是偶数，那么选手闯关成功，否则闯关失败；
规则三：如果抽到卡片上的数字是3的倍数，那么选手闯关成功，否则闯关失败．
请你通过计算判断，如果你闯这一关，你会选择哪个规则进行闯关呢？并说明理由．
20．（12分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，E是BD上一点，EA⊥AB，且EB＝EC．
（1）如果∠ABC＝40°，求∠DEC的度数；
（2）求证：BC＝2AB．
21．（12分）体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，为引导学生在体育锻炼中享受乐趣，增强体质，学校积极开展大课间活动，七年级一班拟组织学生参加跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干，已知购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需105元；购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需215元．
（1）求A，B两种跳绳的单价；
（2）如果计划购买A，B两种跳绳共48根，B种跳绳根数不少于A种跳绳根数的2倍，那么所需最少费用是多少元？
22．（13分）如图，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE，延长EC交BD于点P．
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）连接AP，用等式表示线段AP，DP，EP之间的数量关系，并证明．
23．（13分）若不等式（组）只有n个正整数解（n为自然数），则称这个不等式（组）为n阶不等式（组）．
我们规定：当n＝0时，这个不等式（组）为0阶不等式（组）．
例如：不等式x+1＜6只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式．
不等式组只有3个正整数解，因此称其为3阶不等式组．
请根据定义完成下列问题：
（1）是 　 　 阶不等式；是 　 　 阶不等式组；
（2）若关于x的不等式组是4阶不等式组，求a的取值范围；
（3）关于x的不等式组的正整数解有a1，a2，a3，a4，…，
其中a1＜a2＜a3＜a4＜…．
如果是（m﹣3）阶不等式组，且关于x的方程2x﹣m＝0的解是的正整数解a3，直接写出m的值以及p的取值范围.
2024-2025学年山东省淄博市周村区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C D C B A D C B
二、填空题：请将最终结果填入题中的横线上（每小题4分，共20分）
11．解：在△ABC中，∠C＝90°，
则∠A+∠B＝90°，
由题意得，
解得：∠A＝60°，∠B＝30°，
故答案为：60°．
12．解：如图，设正方形网格的单位为1，
∴AC＝2，BC＝1，DE＝1，CE＝2，∠ACB＝∠CED＝90°，
∴AC＝CE，BC＝DE，
在△ACB和△CED中，
，
∴△ACB≌△CED（SAS），
∴∠1＝∠DCE，
∵∠2＝∠DCE+∠CED，
∴∠2＝∠1+∠CED，
∴∠2﹣∠1＝∠CED＝90°，
故答案为：90．
13．解：123（个）．
故涂上红色的小扇形有3个．
故答案为：3．
14．解：3x﹣a＝x+5，
解得x，
∵方程3x﹣a＝x+5的解是正数，
∴，
解得a＞﹣5．
故答案为：a＞﹣5．
15．解：过点G作GH⊥AC于点H，如图，
∴CD＝2CE，
∴设CE＝x，则CD＝2x，
∵四边形CDEF为正方形，
∴DG＝DE，∠GDE＝90°，
∴∠GDH+∠CDE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CDE+∠CED＝90°，
∴∠GDH＝∠DEC．
在△GDH和△DEC 中．
，
∴△GDH≌△DEC（AAS），
∴DH＝CE＝x，GH＝CD＝2x，
∴AH＝AC﹣DH﹣CD＝5﹣3x，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵GH⊥AC，
∴△AHG为等腰直角三角形，
∴AH＝HG，
∴5﹣3x＝2x，
∴x＝1，
∴DH＝1，GH＝2，
∴DG2＝DH2+GH2＝5，
∴正方形DEFG的面积为DG2＝5，
故答案为：5．
三、解答题.解答要写出必要的文字说明或演算步骤.（共90分）
16．解：（1），
①﹣②，得6y＝﹣6，
解得y＝﹣1，
把y＝﹣1代入①，得3x+4×（﹣1）＝2，
解得x＝2，
所以方程组的解为；
（2），
①×3，得3x﹣3y＝9③，
③﹣②，得5y＝﹣5，
解得y＝1，
把y＝﹣1代入①，得x＝2，
所以方程组的解是．
17．解：（1），
由①得：3x+3＞x﹣1，
3x﹣x＞﹣1﹣3，
2x＞﹣4，
x＞﹣2，
由②得：x﹣9＜4x，
x﹣4x＜9，
﹣3x＜9，
x＞﹣3，
∴不等式组的解集为：x＞﹣2；
（2），
由①得：5x+2＞4x﹣4，
5x﹣4x＞﹣4﹣2，
x＞﹣6，
由②得：4x﹣3＜3x，
4x﹣3x＜3，
x＜3，
∴不等式组的解集为：﹣6＜x＜3．
18．解：x1，
去分母得：4x﹣2（x+1）＜4﹣（x﹣3），
去括号得：4x﹣2x﹣2＜4﹣x+3，
移项得：4x﹣2x+x＜2+4+3，
合并同类项得：3x＜9，
系数化成1得：x＜3，
∴不等式的正整数解为：1，2．
19．解：抽到卡片上的数字不大于5的数字卡片为：1，2，3，4，5，
所以成功的可能性为：；
抽到卡片上的数字是偶数的数字卡片为：2，4，6，8，
所以成功的可能性为：；
抽到卡片上的数字是3的倍数的数字卡片为：3，6，9，
所以成功的可能性为：．
∵，
∴选择规则一进行闯关．
20．（1）解：∵∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，
∴，
∵EB＝EC，
∴∠ECB＝∠EBC＝20°，
∵∠DEC是△EBC的一个外角，
∴∠DEC＝∠ECB+∠EBC＝40°；
（2）证明：过点E作EF⊥BC于点F，
∵BD平分∠ABC，EA⊥AB，
∴EA＝EF，
在Rt△AEB 和Rt△FEB中，
∵
∴Rt△AEB≌Rt△FEB （HL），
∴AB＝FB（全等三角形的对应边相等），
∵EB＝EC，EF⊥BC，
∴BC＝2FB，
∴BC＝2AB．
21．解：（1）设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元，
由题意得：，
解得：，
答：A种跳绳的单价为25元，B种跳绳的单价为30元；
（2）设购进A种跳绳a根，总费用为w元，
由题意得：2a≤48﹣a，
解得：a≤16，
∵w＝25a+30（48﹣a）＝﹣5a+1440，
∵﹣5＜0，
∴w随a的增大而减小，
当a＝16时，w有最小值为：﹣5×16+1440＝1360（元），
答：购买跳绳所需最少费用是1360元．
22．（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形
∴AD＝AE＝DE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
（2）解：EP＝AP+DP，理由如下：
如图，设AD、EP相交于点Q，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ADB＝∠AEC，
又∵∠DQP＝∠AQE，
∴∠DPE＝∠DAE＝60°，
在PE上截取PM＝PD，
∴△PDM是等边三角形，
∴DP＝DM＝PM，∠PDM＝60°＝∠ADE，
∴∠ADP＝∠EDM，
在△ADP和△EDM中，
，
∴△ADP和≌△EDM（SAS），
∴AP＝EM，
∵EP＝EM+PM，
∴EP＝AP+DP．
23．解：（1）不等式x有0个正整数解，因此x是0阶不等式；
不等式组的解集为1＜x＜3，这个不等式组有1个正整数解，因此不等式组是1阶不等式；
故答案为：0，1；
（2）∵关于x的不等式组是4阶不等式组，
∴关于x的不等式组有4个正整数解，即1≤x＜a有4个正整数解，
∴4＜a≤5；
（3）由题意得，m是正整数，且p≤x＜m有（m﹣3）个正整数解，
∴2＜p≤3，5，
∴m＝10.
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