必修一第五章三角函数单元测试卷（培优卷）（含解析）

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必修一第五章三角函数单元测试卷（培优卷）
一、选择题(共8题；共40分)
1．的值为（　　）
A． B． C． D．
2．已知角的始边在轴的非负半轴上，终边经过点，则（　　）
A． B． C． D．
3．若，则（　　）．
A． B． C． D．
4．已知，则的值为（　　）
A．-5 B．5 C． D．
5．已知集合，，则（　　）
A． B．
C． D．
6．已知函数的部分图象如图所示，，是的两个零点，若，则下列为定值的量是（　　）
A． B． C． D．
7．为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上（　　）
A．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度
B．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度
C．各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度
D．各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度
8．定义在区间 的函数 的值域是 ，则 的最大值与最小值之和为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题(共3题；共18分)
9．已知函数 ，则（　　）
A． 的最大值为
B． 的最小正周期为
C． 是偶函数
D．将 图象上所有点向左平移 个单位，得到 的图象
10．潮汐现象是由于海水受日月的引力在一定的时候发生涨落的现象，一般早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞卸货后落潮时返回海洋，现有一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，根据安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与海底的距离），已知某港口在某季节的某一天的时刻（单位：小时）与水深（单位：）的关系为：，则下列说法中正确的有（　　）
A．相邻两次潮水高度最高的时间间距为
B．18时潮水起落的速度为
C．该货船在2：00至4：00期间可以进港
D．该货船在13：00至17：00期间可以进港
11．已知函数的部分图象如图所示，则（　　）
A．
B．在区间上单调递增
C．将函数图象上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，可得函数的图象
D．函数的零点个数为7
三、填空题(共3题；共15分)
12．已知一扇形的圆心角为2，半径为r，弧长为l，则的最小值为　 　．
13．已知，则的值为　 　.
14．已知是边长为2的等边三角形.如图，将的顶点与原点重合，在轴上，然后将三角形沿着轴正方向滚动，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个点之间的距离称为“一个周期”，则完成“一个周期”时，顶点的路径长度为　 　.
四、解答题(共5题；共77分)
15．已知一扇形的圆心角为 ，所在圆的半径为R.
（1）若 ， ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角 等于多少弧度时，这个扇形的面积最大
16．已知函数 .
（1）求函数 的最小正周期及单调增区间；
（2）将函数 的图象向右平移 个单位，再将横坐标扩大为原来的2倍得到 的图象，求函数 在 上的值域.
17．已知函数，．
（1）求的最小正周期；
（2）求的单调递增区间；
（3）当时，求的最大值和最小值．
18．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在（单位：）时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度（单位：）由关系式确定，其中，，．在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为．且最高点与最低点间的距离为．
（1）求小球相对平衡位置的高度（单位：）和时间（单位：）之间的函数关系；
（2）小球在内经过最高点的次数恰为50次，求的取值范围．
19．函数 = 的部分图像如图所示.
（1）求函数 的单调递减区间；
（2）将 的图像向右平移 个单位，再将横坐标伸长为原来的 倍，得到函数 ，若 在 上有两个解，求 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】，
故答案为：B.
【分析】利用诱导公式以及特殊角的三角函数值，即可求出答案.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意可得.
故答案为：D.
【分析】根据任意角的三角函数的对于直接运算求解即可.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故选：D.
【分析】先由诱导公式与同角的平方和关系求得sinα，cosα，再代入同角的商数关系求得tanα.
4．【答案】B
【解析】【解答】，故选B.
【分析】主要考查诱导公式和弦化切.
5．【答案】B
【解析】【解答】解： ，求得 ，，求得 ，
，，
.
故答案为：B.
【分析】先分别求出和的解，再求 .
6．【答案】A
【解析】【解答】解：令f（x）=0，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵
∴解得，
因此为定值.
故选：A.
【分析】 令f（x）=0，可求函数f（x）的零点，根据已知条件、，可确定，，结合，可求出，因此可知为定值．
7．【答案】B
【解析】【解答】解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到的图象，
再向左平移个单位得，
所以为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上，
各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位，
故答案为：B.
【分析】根据三角函数周期变换与相位变换的性质，逐一验证四个选项即可得结果.
8．【答案】D
【解析】【解答】 ，因为 ，
所以 ，由函数 在区间 上的值域为 ，
不妨令 ，则 ，
所以 的最大值为 ；
最小值为 ，所以
故答案为：D
【分析】利用辅助角公式化简函数解析式为三角型函数，再利用三角型函数的图象，借助函数单调性和值域的条件求出b－a的最值，从而求出最值之和。
9．【答案】A,C
【解析】【解答】 ，
因为 ，所以 ，因此 ，则 ，A符合题意；
最小正周期为 ，B不符合题意；
，所以 是偶函数，即C符合题意；
将 图象上所有点向左平移 个单位，得到 ，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】首先利用辅助角公式进行化简，再结合三角函数的最值、周期以及三角函数的图象变换对选项逐一判断即可得出答案。
10．【答案】B,C,D
【解析】【解答】A：的最小正周期，所以相邻两次潮水高度最高的时间间距为，A不符合题意；
B：由题意，，所以，
由导数的几何意义可得18时潮水起落的速度为，B符合题意；
CD：由题意可知该船进出港时，水深应不小于，
所以当时货船就可以进港，即，
所以，即，
解得，
又，所以或，即该船一天之内在港口内待的时间段为1时到5时和13时到17时，停留的总时间为8小时，CD符合题意；
故答案为：BCD
【分析】根据题意求得的最小正周期，可判定A不符合题意；求得，结合导数的几何意义，可判定B符合题意；由当时货船就可以进港，得到，求得的取值范围，可判定CD符合题意.
11．【答案】A,B,D
【解析】【解答】观察图象知，函数的周期，则，而，
即有，由知，，因此，A符合题意；
显然，当时，，因此单调递增，B符合题意；
将图象上各点横坐标变为原来的得，再将所得图象向右平移个单位长度，得，
而，C不符合题意；
由，得，令，则，
令，显然当时，，即恒有，函数在上无零点，
当时，，令，，
函数在上都递减，即有在上递减，，
，因此存在，，
当时，，当时，，有在上递增，在递减，
，，
于是存在，，当时，，当时，，
则函数在上递减，在递增，，，
从而函数在上存在唯一零点，而函数周期为，在上单调递增，如图，
，，，
从而函数在上各有一个零点，又0是的零点，即函数在定义域上共有7个零点，
所以函数的零点个数为7，D符合题意.
故答案为：ABD
【分析】由已知观察图象知，函数的周期，可求出，进而可求出φ，判断A；当时，，可判断B；利用图象变换可得，可判断C；判断，判断的解的情况，可判断D.
12．【答案】4
【解析】【解答】解：，，当且仅当，即时取等.
故答案为：4.
【分析】将弧长用半径表示，代入 结合基本不等式求最小值.
13．【答案】3
【解析】【解答】。
故答案为：3。
【分析】利用已知条件结合诱导公式和同角三角函数基本关系式，进而得出 的值 。
14．【答案】
【解析】【解答】解：由题意可知：“一个周期”的轨迹为：点A先以2为半径绕点B顺时针旋转弧度，再以2为半径绕点顺时针旋转弧度，
如图所示，其轨迹图如图所示，所以路径长度为.
故答案为：.
【分析】根据题意作出相应的轨迹图，结合弧长公式运算求解可得.
15．【答案】（1）解：设扇形的弧长为l，弓形面积为S，则
， ， ，
（2）解：设扇形弧长为l，则 ，即 ，
∴扇形面积 ，
∴当 时，S有最大值 ，此时 ， .
因此当 时，这个扇形面积最大
【解析】【分析】 (1)根据弧长的公式和扇形的面积公式，即可求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
(2)根据扇形的面积公式，结合一元二次函数的性质即可得到结论.
16．【答案】（1）解： ，
所以函数 的最小正周期为 ，
由 ，得单调增区间为
（2）解：函数 的图象向右平移 个单位，
得到 ，再将横坐标扩大为原来的2倍得到 ，
令 ，
【解析】【分析】(1)根据题意由两角和的正弦公式整理化简函数的解析式，然后由正弦函数的周期公式和单调性利用整体思想即可得出答案。
(2)由函数平移的性质即可得出函数g(x)的解析式，然后由正弦函数的单调性即可得出，由此即可得出函数的值域。
17．【答案】（1）解：的最小正周期．
（2）解：由，，得，．所以函数的单调递增区间为，．
（3）解：∵，∴．
当，即时，．
当，即时，.
【解析】【分析】（1）由周期公式直接可得；
（2）利用正弦函数的单调区间解不等式可得；
（3）由 得到，然后由正弦函数的性质可得.
18．【答案】（1）解：因为小球振动过程中最高点与最低点的距离为，所以．
因为在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为，所以周期为2，
即，所以．
所以，．
（2）解：由题意，当时，小球第一次到达最高点，
以后每隔一个周期都出现一次最高点，
因为小球在内经过最高点的次数恰为50次，
所以．
因为，所以，
所以的取值范围为．
（注：的取值范围不考虑开闭）
【解析】【分析】（1）首先根据题意得到，，从而得到 ，；
（2）根据题意，当时，小球第一次到达最高点，从而得到，再根据周期为2，即可得到.
19．【答案】（1）解：由题得 .
所以
所以 .
令
所以函数的单调递减区间为 .
（2）解：将 的图像向右平移 个单位得到 ，再将横坐标
伸长为原来的 倍，得到函数 = ，若 在 上有两个解，
所以 ，所以 所以
所以a的取值范围为 .
【解析】【分析】（1）先由已知函数的部分图象，得到 ，再利用余弦函数的单调性，即可求出单调递减区间；
（2）先利用三角函数的平移规律，得到函数 = ，再由 在已知区间上解的情况列式，即可求出a的范围.
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：150分
分值分布 客观题（占比） 68.0(45.3%)
主观题（占比） 82.0(54.7%)
题量分布 客观题（占比） 13(68.4%)
主观题（占比） 6(31.6%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
选择题 8(42.1%) 40.0(26.7%)
填空题 3(15.8%) 15.0(10.0%)
解答题 5(26.3%) 77.0(51.3%)
多项选择题 3(15.8%) 18.0(12.0%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (42.1%)
2 容易 (47.4%)
3 困难 (10.5%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 三角函数诱导公式二~六 5.0(3.3%) 4
2 正弦函数的性质 52.0(34.7%) 8,9,11,16,17
3 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 45.0(30.0%) 7,9,11,16,19
4 两角和与差的正弦公式 20.0(13.3%) 9,16
5 三角函数模型的应用-潮汐现象 6.0(4.0%) 10
6 任意角三角函数的定义 5.0(3.3%) 2
7 函数的最大（小）值 14.0(9.3%) 15
8 三角函数模型的简单应用 14.0(9.3%) 18
9 交集及其运算 5.0(3.3%) 5
10 余弦函数的性质 14.0(9.3%) 19
11 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式 25.0(16.7%) 6,11,19
12 余弦函数的图象 5.0(3.3%) 5
13 正弦函数的图象 19.0(12.7%) 5,16
14 同角三角函数基本关系的运用 15.0(10.0%) 3,4,13
15 基本不等式 5.0(3.3%) 12
16 运用诱导公式化简求值 15.0(10.0%) 1,3,13
17 扇形的弧长与面积 24.0(16.0%) 12,14,15
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