人教A版高中数学必修第二册 6.3.1平面向量基本定理 基础练习作业（含答案）

人教A版高中数学必修第二册基础练习作业
6.3.1平面向量基本定理
一、单选题
设点是平行四边形两对角线的交点，下列向量组可作为该平面其他向量基底的是( )
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
设，是平面内两个不共线的向量，则以下，不可以作为该平面内基底的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
已知点是的边的中点，点在边上，且，则向量等于( )
A.
B.
C.
D.
已知，，三点共线，且对任意一点，有，则等于( )
A.
B.
C.
D.
已知向量，不共线，且，若，则，满足的关系式是( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题
若，是平面内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是( )
A. 可以表示平面内的所有向量
B. 对于平面中的任一向量，使的实数，有无数多对
C. ，，，均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使
D. 若存在实数，，使，则
如果是平面内一个基底，则下列向量能构成该平面基底的是( )
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
如图，在四边形中，，点满足，是的中点.设，，则下列等式正确的是( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题
若为平面内所有向量的一个基底，，，且不能作为一个基底，则的值为________。
在中，是边上靠近点的五等分点，过点的直线与射线，分别交于不同两点，，设，，则_______。
四、解答题
如图，在平行四边形中，点是的中点，，是，的三等分点，其中，，设，。
(1)用，表示，；
(2)如果，用向量的方法证明：。
设，是不共线的向量，且，。
(1)证明：可以作为平面内的一个基底；
(2)若，求，的值。
一、单选题
答案：C
解析：作为平面向量基底的两个向量需不共线。在平行四边形中， ， ，与共线，而与不共线，所以选C。
答案：B
解析：若两向量，不能作为基底，则与共线。对于， ，有 ，即与共线，不能作为基底。
答案：A
解析：因为是中点，所以 。又，则 。所以 。
答案：A
解析：因为，，三点共线，根据向量共线定理，对于 ，有 ，解得 。
答案：D
解析：由可得 。又 ， 。因为 ，所以 ，即 ，消去得 。
二、多选题
答案：BC
解析：
A选项：根据平面向量基本定理，平面内不共线的两个向量，，则可以表示平面内的所有向量，A正确。
B选项：由平面向量基本定理可知，若，不共线，对于平面中的任一向量，使的实数，是唯一确定的，B错误。
C选项：当时，若与共线 ，不一定存在实数使；当时，这样的也不一定唯一，C错误。
D选项：因为，不共线，若 ，则只能，D正确。
答案：ABD
解析：判断两个向量是否共线，若不共线则可作为基底。
A选项：假设与共线，则存在实数，使 ，即 ，因为，不共线，所以 ，无解，两向量不共线，可以作为基底。
B选项：假设与共线，设 ，可得 ，由，不共线，得 ，无解，两向量不共线，可以作为基底。
C选项：因为 ，所以与共线，不能作为基底。
D选项：与不共线，可以作为基底。
答案：BD
解析：
A选项： ，A错误。
B选项：因为 ，所以 ， ，B正确。
C选项： ， ， ，C错误。
D选项： ，D正确。
三、填空题
答案：
解析：因为不能作为一个基底，则与共线。设 ，即 ，所以 ，解得 。
答案：
解析： 。因为，，共线，所以 ，通分得到 ，即 ，两边同时除以得 ，所以 。
四、解答题
11.(1) 答案：，
解析：因为， ，根据向量减法 。
， ， 。
(2) 证明：
已知 ，要证 ，只需证 。
将代入上式得：
由于平行四边形中与夹角不确定，但在计算中可消去，最终可得 ，所以 。
12.(1) 证明：
假设，共线，则存在实数，使 ，即 。
所以 ，此方程组无解，所以与不共线，故可以作为平面内的一个基底。
(2) 答案：，
解析：因为 。
所以 ，
由可得 ，将其代入得：
，
，
，解得 。
把代入得 。