人教A版高中数学必修第二册 第六章平 面向量及其应用检测试卷（含答案）

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人教A版高中数学必修第二册第六章检测卷
考试时间：100分钟 满分：150分
一、单选题（共8题，共40分）
（5分）下列说法中正确的是( )
A. 与线段的长度不相等
B. 对任一向量，总是成立的
C.
D. 若，且，，则
（5分）若向量，，，则等于( )
A. B. C. D.
（5分）已知，是两个不共线的向量，设，，，则共线的三点是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
（5分）已知，，若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
（5分）已知的内角，，的对边分别为，，，，，，则等于( )
A. B. C. 6 D. 5
（5分）一海轮从处出发，以每小时海里的速度沿南偏东的方向直线航行，分钟后到达处。在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔在其南偏东方向，在处观察灯塔在其北偏东方向，那么，两点间的距离是( )
A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里
（5分）已知的三边长分别是，，，若，则的形状是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都有可能
（5分）已知向量，满足，，，则向量与的夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（共3题，共18分）
（6分）设向量，满足，且，则以下结论正确的是( )
A. B. C. D.
（6分）下列关于平面向量的说法正确的是( )
A. 已知，均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得
B. 已知非零向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
C. 若且，则
D. 若点为的重心，则
（6分）在中，角，，所对的边为，，，则下列判断正确的是( )
A. 若，则为锐角三角形
B. 若，则
C. 若，，，则符合条件的有两个
D. 在锐角三角形中，不等式恒成立
三、填空题（共3题，共15分）
（5分）已知向量，满足，，，则向量在向量上的投影向量为______。
（5分）在等腰梯形中，已知，，，，点和分别在线段和上，且，，则的值为______。
（5分）如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点，测得塔顶的仰角为，由向塔前进米后到点，测得塔顶的仰角为，再由向塔前进米后到点，测得塔顶的仰角为，则______，塔高为______米。
四、解答题（共5题，共77分）
（13分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中。
(1)若，且，求；
(2)若，且与垂直，求实数的值。
（15分）某货船在航行中遭海盗袭击，发出求救信号。如图，海军护航舰在处获悉后，立即测出该货船在方位角为，距离为海里的处，并测得货船正沿方位角为的方向，以海里/时的速度向前行驶，海军护航舰立即以海里/时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间。
（15分）记的内角，，的对边分别为，，，已知，。
(1)求；
(2)若的面积为，求。
（17分）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，。
(1)求的值；
(2)若，求的面积。
（17分）如图所示，在中，，，与相交于点，的延长线与边交于点。
(1)用和分别表示和；
(2)如果，求实数和的值；
(3)确定点在边上的位置。
一、单选题
答案：C
解析：向量与是相反向量，它们的模长相等，即，线段与线段长度相等，A错误，C正确；零向量的模长，B错误；当时，与可能同向也可能反向，不一定等于 ，D错误。
答案：A
解析：设，即，则，两式相加得，解得，代入得，所以。
答案：A
解析：，，所以，与共线，又与有公共点，所以，，三点共线。
答案：A
解析：，因为，所以，即，，，解得。
答案：B
解析：由正弦定理及，可得，又，所以，解得，则。再根据余弦定理，所以。
答案：A
解析：由题意，海里，，，则。根据正弦定理，可得海里。
答案：A
解析：因为，则，且（三角形三边关系）。，为锐角，同理、也为锐角，所以是锐角三角形。
答案：C
解析：设向量与的夹角为，，，则。
二、多选题
答案：AC
解析：已知，则，即，因为，所以，解得，所以，A正确，D错误。
，B错误。
，C正确。
答案：AD
解析：根据向量共线定理，已知，均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得，A正确。
，因为与的夹角为锐角，则且与不共线，，解得，当与共线时，，解得，所以的取值范围是，B错误。
若且，则，只能说明，不能得出，C错误。
若点为的重心，则，D正确。
答案：BCD
解析：由，根据二倍角公式化简得，再由正弦定理得，只能说明为锐角，不能判定为锐角三角形，A错误。
由正弦定理将化为，又，所以，因为，所以，，B正确。
由正弦定理，，，所以符合条件的有两个，C正确。
在锐角三角形中，，所以恒成立，D正确。
三、填空题
答案：
解析：由得，即 ①；由得，即 ②。①②得，又，则，所以。①②得，。向量在向量上的投影向量为。
答案：
解析：在等腰梯形中，，，。。分别计算各项数量积：，，，，代入可得。
答案：；
解析：在中，，，，所以米；在中，，，，所以米。由余弦定理在中，因为，所以，。在中，，，所以米。
四、解答题
解：
(1) 因为，，，根据两向量平行坐标关系，解得，则，。
(2) ，。因为与垂直，所以，即，，，解得。
解：设所需时间为小时，
则，。
在中，，
根据余弦定理，
得，
可得，
整理得，
解得或（舍去）。
故护航舰只需小时靠近货船。
此时，，
又，所以，
所以护航舰航行的方位角为。
解：
(1) 由余弦定理，已知，则。
因为，所以。
又因为，，所以，解得。
由于，所以。
(2) 。
。
已知，，则，即 ①。
由正弦定理，即，化简得 ②。
将②代入①可得：，
，解得。
解：
(1) 因为，且，根据，可得。
已知，由正弦定理，可得，则。
(2) 由，设，。
根据余弦定理，将，代入可得：
，
，
，
，
由求根公式可得（负根舍去）。
所以。
则。
解：
(1) 因为，所以。
因为，所以。
(2) ，
。
则，
由得，代入可得：
，
，
，
，解得。
将代入，得。
(3) 设，。
设，则，
即，把代入得，
两式相除得，，，解得。
所以，即点在上靠近的三等分点处。