人教A版高中数学必修第二册 7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 基础练习作业（含答案）

人教A版高中数学必修第二册基础练习作业
7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
一、单选题
复数是方程的一个根，则的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
复数经过次乘方后，所得的复数等于它的共轭复数，则的值等于（ ）
A. 3
B. 12
C.
D.
若复数，则=（ ）
A.1
B.
C.
D.
设复数满足，则=（ ）
A.
B. 2
C.
D. 4
复数，的共轭复数是，在复平面内，复数对应的点为，与为定点，则函数取最大值时，在复平面上以，，三点为顶点的图形是（ ）
A. 等边三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等腰三角形
二、多选题
设，是复数，，，则可能为（ ）
A.
B.
C.
D.
欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥。依据欧拉公式，下列说法中正确的是（ ）
A.
B.
C. 在复平面内对应的点位于第四象限
D.
已知复数，，，则下列结论正确的有（ ）
A.
B.
C.
D. 若，且，则
三、填空题
乘法运算法则
设，，则
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的，积的辐角等于各复数的辐角的________。
除法运算法则
设，，且，则______。
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的________。
四、解答题
将复数，表示成三角形式，其中，，，是复数的模，是复数的辐角。
(1)求方程的复数根，并用复数的三角形式表示虚部大于零的根；
(2)已知，，试推导复数的三角形式；
(3)在单位圆的内接六边形中，，，，分别为，，的中点，判断的形状并证明。
计算：
(1)；
(2)。
一、单选题
答案：D
解析：已知是方程的根，则。根据复数三角形式的乘方公式，可得，所以 。
答案：C
解析：复数的共轭复数为。由，可得，解得 。
答案：B
解析：先将化简，。根据复数模的计算公式（），可得 。
答案：A
解析：由，得。再根据复数模的计算公式， 。
答案：C
解析：因为，所以，。，又，则，当时，取最大值。当时，，，，， ，满足且 ，所以以，，三点为顶点的图形是等腰直角三角形 。
二、多选题
答案：ABC
解析：根据复数辐角的性质，设，与相差，且 。当时，；当时，；当时，（等价于 ），所以可能为， ， 。
答案：ABD
解析：
A选项：，正确。
B选项：，正确。
C选项：，因为 ，， ，所以在复平面内对应的点位于第三象限，错误。
D选项：，， ，所以，正确。
答案：BCD
解析：
A选项：设，， ，，错误。
B选项：设，，，， ，所以，正确。
C选项：根据复数模的乘法性质， ，正确。
D选项：由，且，两边同时除以，可得，正确。
三、填空题
答案：；积；和
答案：；商；差
四、解答题
11.
(1)解：由，得 。根据复数开方公式（为开方次数， ），这里，， ，则， 。当时，；当时，；当时， 。虚部大于零的根为 。
(2)解：，根据两角和的余弦公式 ，两角和的正弦公式 ，可得 。
(3)解：是等边三角形。证明如下：设单位圆的圆心为原点，以为坐标原点建立复平面。因为 ，所以 。设，，，，， 。根据中点对应的复数是两端点复数和的一半，可得，， 。计算（通过复数模的计算），所以是等边三角形 。
12.
(1)解：根据复数三角形式的乘法法则 ，这里，，， ，则 。
(2)解：根据复数三角形式的除法法则 ，这里，，， ，则 。